探索规律-【一本】2025年小学数学知识大盘点

p078 的顺序排列的：算式的结果分别是22 11 1.A2.B3.D4.C p079 30”,它们的分母分别对应算式里的加数的 5.(1)正理由：树的高度和树的影长的比值一定。 分母之积，即1×2,3X4,5X6,…,按照这样的 (2)解：设这棵树的高度是xm。 1 1 1.50.5=x1.5 规律，2021+202()-2021X2022是 x=4.5 第2022÷2=1011（个）算式，括号里应该填的 答：这棵树的高度是4.5m。 数是1011。 6.(1)正(2)4(3)10 二、1.C2.D3.B4.D5.D (4)快车速度：360÷(6一2)-90（千米/时） 6B【解析】观察图形可知，第一阶段，积木的 慢车速度：120÷2=60（千米/时） 块敏是3,3=3×1：第二阶段，积木的块数是 60×(15-12)=180(千米) 6,6=3×2:第三阶段，积木的块数是9,9=3× 180÷(90+60)=1.2(时) 3…据此可得，第n阶段时，积木的块数是 答：再经过1.2小时会跟慢车相遇。 3n。当n=8时，3×8=24（块），故第入阶段需 P083 要24块积木。 -、1.52.(1)51(2)19 三、 321(2)号 【解析】(1)从第二个数开 始，后一个数比前一个数分别多1,2,3,4，…， 2.a=15b=30【解析】观察表1，发现第n 这是相邻两个数之间差的规律，所以16的后 行（列）是第1行（列）的n倍。观察表2，它截 取的是表1的一列，按照表1的规律，9=3× 一个数是16+5=21。(2)1可以看作行，再分 3,12=4×3,所以a=5×3=15。观察表3，它 别根据分子与分母的变化情况找出规律：分母 截取的是表1中相邻的两行两列，按照表1的 依次加1，分子依次加2。 规律，25=5×5,30=-5×6,36=6×6，所以b 4.100 的位置是第6行第5列，b=6×5=30. 5.41【解析】第一个加数分别为2,8,14， P085 20,…,后一个数都比前一个数大6，则第6个 3.(1)123 算式的第一个加数为20+6+6=32：第二个 048 加数分别为4,5,6,7，，后一个数都比前一 (2)第n个图形中有n个正方形，有(4n一4)个 个数大1，则第6个算式的第二个加数为7十1十 三角形 1=9。所以第6个算式的结果是32十9=41。 【解析】找规律，随着图形序号的增加，正方形 P084 每增加1个，三角形就增加4个。所以第n个 6.417【解析】观察图中规律可知，(3十5)÷ 图形中，有n个正方形，在第1个正方形的基 2=4,(3+6)÷3=3,(3十7)÷2=5，因此(7+ 础上增加了(n一1)个正方形，所以有4(n一1)= m)÷6=8,(21十35)÷n=8,所以m=41,n=7。 (4n一4)个三角形。 7.83 四、900÷(25+5+30)=15（米/秒） 8.1011【解析】各算式中的加数部分分别为 15×3600÷1000=54(千米/时) 1叶号+日+日…，可以看出它 答：他至少要把速度提高到54千米/时。 们的分母是按1,2,3,4,5，…这样的顺序排列 【解析】把每次红绿灯的变化看成一个周期， 先求出红绿灯循环一个周期是多少秽，只要行 的：而各算式中的减数部分分别为1,2,3 11 驶的时间是一个周期即可。用两个红绿灯之 1 间的距离除以一个周期的时间就是这位司机师 …,它们的分母也是按1,2,3,4,5，…这样 傅至少要提高到的速度。 ◆199◆ 五、1.(n十1)×m 三、1. 2.观察图形，列得方程： 120°（画法不唯一） -2+Dx号-3a-1 2.(1)(2)如图所示。 x=0.2 六、22【解析】如图： 6 P095 每多一个点就多剪出2个三角形，以此类推 3 四边形内有10个，点时，最多可以剪出4十2× 总管道 (10-1)=22(个)三角形. ·楼房 P086 说明：从直线外一点到这条直线上的所有线段 中，垂直线段最短，所以从楼房到总管道作垂 1.(1)3548 1 (2)1020 845号 5 直线段最节约材料。 2.23 3.C4.B 图1 图2 图3 5.(1)610 (图1、图3画法不唯一) P087 5.∠1=180°-130°=50 (2)2128 ∠3=180°-50°-20°=110 (3)任意一个“正方形数”都可以拆成两个相邻 ∠4=180°-130°=50° 的“三角形数”的和。 四、我同意文文的说法。 6.由图二的规律可知，每增加一个三角形，需要增 理由：∠A+∠B+∠ACB=180 加2根小棒，因此10个三角形需要： ∠1+∠ACB-180° 3+(10-1)×2=21(根) 所以∠1+∠ACB=∠A十∠B+∠ACB。 答：至少需要21根小棒。 等号两边同时诚去∠ACB,得∠1=∠A十∠B, 7.215m+140 即∠1=30°+50°=80°，所以我同意文文的 8.(1)183042126(2)12n+6 说法。 (3)解：设捆红这个竹排用了x根竹材。 五、7+6+5+4+3+2+1=28（个） 12x+6=498 答：图中有28个锐角。 x=41 P103 答：捆扎这个竹排用了41根竹材。 一、1.三角平行四边梯 P093 2.16【解析】根据三角形的特征，两边之和 -、1.ab2.103.906或18 大于第三边，两边之差小于第三边，检验得出 4.754530【解析】钟面上一大格对应的 边长为8厘米的边不能为腰，则和它不相等的 角为30°，半个大格是15°。因为下午3时30 一条边的长是(40一8)÷2=16（厘米）。 分时，时针指向3和4的中间，分针指向6，所以 3.三角平行四边（第2空答案不唯一） 时针和分针所成的较小角是2×30°+15°=75°。 4.30【解析】涂色部分四个三角形的周长之 5.36【解析】因为∠1+∠2=∠AOB=90°， 和等于长方形的周长。 ∠2+∠3=∠DC=90°，所以∠1=∠3=36°. 5.6【解析】圆规两脚之间的距离等于圆的 二、1.B2.C 半径。 P094 3.D4.B5.B6.B7.A8.C9D10.B 645:2:372783143房 ◆200◆第六章 探索规律 探索规律 盘 知识结构 相邻数的差的规律 相邻数的倍数的规律 以组为单位的数的规律 58数列中的规律 计算得到的规律 分解数列后的规律 各项与项数的规律 算式组成要素中的规律 59算式中的规律 综合分析 探索规律 算式结果的规律 60周期中的规律一关键：确定周期 图形的变化规律 61图形中的规律 数图形的规律 数形结合的规律 盘 核心考点 58数列中的规律 ③前后几个数为一组，以组为单位蕴含 规律蕴含在相邻两数的差中 一定的规律 1+2.3+5 12345… "、 、。升。.、。. 3 5 十1+1+1+1 8* ②规律蕴含在相邻两数的倍数中 1+12+3 124816… 从第三个数开始，每个数都是它前面两个 。。,到、。.升 ×2×2×2×2 数的和。 ◆080◆ 4对数列中的数进行加、减、乘、除等 (2)探索周期中的规律，关键是要确定周期， 运算，发现规律 明确周期的特征。 1214 18 24 32 例(1)每周有7天，可以看作以7天为一个 +2 +4 十6 +8 周期，每一天都可以作为一个周期的开始。 ⑤对数列本身进行分解，通过对比发现 (2)3,1,0,3,1,0,3,1,0,,从前往后，每三 规律 个数为一组重复出现，3就是这列数的 +15+15 周期。 121517302245. (3)□△△△□△△△☐△△△…这组图 +5 +5 形以“1个蓝色正方形、3个白色三角形”的 奇数项依次增加5，偶数项依次增加15。 顺序依次排列并重复出现，4就是这组图形 ⑥数列的各项分别是项数的平方或立方 的周期。 1 8 27 644 61 图形中的规律 2 33 43 ①图形的变化规律 59算式中的规律哈 一般来说，在观察图形的变化规律时，可以 寻找数学算式中的规律，可以在算式的组成 抓住以下几点来考虑问题： 要素巾去探索，也可以利用计算器在算式的 (1)图形数量的变化。 结果巾去探索。 (2)图形形状的变化。 例12345679×9=111111111 (3)图形大小的变化。 12345679×18=222222222 ()图形颜色的变化。 12345679×27=7 (5)图形位置的变化。 在这一组算式中，第一个因数都是 (6)图形繁简的变化。 12345679(缺数字8)。在第一个算式中， 12345679与9相乘，得到一个各个数位都 是1的九位数。在第二个算式中，12345679 上面的规律是方框中的所有小图形每次整 不变，9变成18，扩大到原来的2倍，积变成 各个敏位都是2的九位数，也扩大到原来的 体逆时针旋转90°。那么第4个是○☐ 2倍。也就是说，这组算式的规律实际上是 21 数图形的规律 一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几 倍，积也就扩大到原来的几倍。因此， 数图形的个数时，适当分类，然后逐类计数， 才能做到不重复、不遗漏，正确地数出图形 12345679×27=333333333。 的个数 60周期中的规律 例(1) (1)在日常生活中，有一些现象按照一定的 规律不断地重复出现，这种规律就是周期中 数上图中的线段，一共有2十1=3（条）。 的规律。 当直线上有n个点时，直线上的线段总条数 ◆0814 是(n一1)十(n一2)+…十2十1。与数线段 1)+(n-2)++2+1] 类似，一些数角和三角形的问题也可以用这 ③数形结合的规律 样的方法。 在探索数形结合的规律时，一方面需要考虑 (2) 数的规律（如图形的个数、边数，数字本身之 问的关系、运算等)，另一方面需要考虑图形 的规律（如形状、数量、颜色、位置等），把两 数上图中的长方形，一共有(2十1)X(2十 者结合起来思考问题、解决问题。 1)=9(个). 在长方形的长上有m个点，宽上有n个点， ®图哥FE1 先用数线段的方法数出长和宽上分别有多 上面的规律是上格中的数与左下格中的数的 少条线段，再计算有多少个长方形，可列式 差的2倍等于右下格中的数。“？”处填14。 为[(m-1)+(m-2)+.+2+1]×[(n一 典型例题 考点1>数列中的规律 考点2算式中的规律 @典型例题1 ©典刊例题2 先找出下面数列的规律，再根据规律在括号 有一列算式按照某利刚规律排列：1+1,2十3， 里填上适当的数。 3+5,4+7,1+9,2+11,3+13,4+15,1+ (1)1,4,10,22,46,( 17,…。 ),190,… (1)第13个算式的和是多少？ e号是 ）,… (2)第2021个算式是什么？ 解析观察这列算式，每个算式都由两个数 解析(1)4=1×2+2,10=4×2+2,22 相加而成：第一个加数分别是1,2,3,4,1， 10×2十2，…，这个数列从第二个数开始，每 2,3,4,…,是按周期排列的，周期为4；第 一个数都比它前一个数的2倍多2。所以 个加数分别是1,3,5,7,9，·，任意相邻两 括号里填46×2十2的结果。 个数的差是2。 (2)这是一个分数数列。先观察分子上的规 (1)13÷4=3…1,所以第13个算式的第 律，从第二个数的分子开始，分子上的数= -个加数是1，第二个加数是1十2×(13 前一个分数分子上的数十分母上的数。再 1)=25,则第13个算式的和是1十25=26。 观察分母上的规律，从第二个数的分母开 (2)2021÷4=505…1,所以第2021个算 始，后一个分数分母上的数=前一个分数分 式的第一个加数是1，第二个加数是1十2X 母上的效十后一个分数分子上的数。 (2021一1)=4041，则第2021个算式是 图置(a需 1+4041. 答案(1)26(2)1+4041 ◆082 考点3周期中的规律 共有333×2+1=667（个）. 国典型例题3 答案(1)2(2)667 填空。 考点4图形中的规律 (1)化成小数是一个循环小数，它的小数 @典刊例题4 州小棒按照下面的方式摆图形。 点后面第2021位上的数字是( )。 o000 4 (2)有一列数为1,1,2,3,5,8,13,21,34， 55,…,在这列数的前1000个数中，有 (1)摆n个这样的八边形需要( )根 ( )个奇数 小棒。 醒而(1号=0.571428，它的绣环节是 (2)照这种方式，用2010根小棒可摆出 )个八边形。 “57128”,即号化成小盛后，它的小数点后 解析(1)通过观察发现，摆好第一个八边 面的数字是以6为周期循环出现的。2021÷ 形后，以后每增加一个八边形，都与前一个 6=336…5,所以它的小数点后面第2021 八边形共用一条边，所以相邻两个图形之间 位上的数字和第5位上的数字相同，即2。 相差7根小棒。因此摆n个这样的八边形， (2)只考虑数的奇偶性，则这列数是按照 需要8十(n一1)×7=(7n十1)根小捧。 “奇、奇、偶、奇、奇、偶…”的规律排列的， (2)用2010根小棒，求能摆出多少个八边 周期为3，且每个周期中有2个奇数。1000÷ 形，列式为7n十1=2010，解得n=287。 3=333…1,所以前1000个数中，奇数一 答案(1)7n+1(2)287 考试真题 基础练 3.找规律填数。 1)6,7,9,12,16,( ),27,… 一、填空。 357 1.循环小数0.1234512345…的小数点后第 (21,234《 ）,… 100位上的数字是( )。 4.有一列数为1,4,9,16,25,36，…，照这样 2有一列图形，每2个△中间有1个○。 排列，第10个数是( )。 △O△O△O△○△ 5.有一列算式按规律排列是这样的：2十4， (1)上图巾一共画出了( )个△，调 8+5,14+6,20+7,…。 出的○的个数比△少( )个。 这列算式中第6个算式的结果是 (2)如果像这样共画20个△，那么中间 ）。 一共要画( )个O。 ◆083◆ 6根据下图的规律可得，m是( 5.如图，摆1个正方形需要4根火柴棒，摆2 n是( )。 个正方形需要7根火柴棒…按此规律， 摆n个正方形需要( )根火柴棒。 A.3n B.1m+2 C.3m-1 D.3n+1 7.如果1十3+5=3,1十3+5+7=4，那么 6一个搭积木游戏的规则：每一阶段增加的 7+9+11+13+15=( )2一 积木的块数和位置相同。所搭起来的积 )2 木的形状如图所小，搭到第八阶段吋，需 8.先找规律，再填空。 耍( )块积木。 1+1- 1上111 3+4-2-12 11111 第一 第 第 第四 7+8456 阶段阶段 阶段 阶段 A.23 B.24 C.25 D.26 : 三、解决问题。 1 20212022( )2021×2022 1.下面图形中的涂色部分的变化是有规律 二、选择。 的，请根据这个规律把第四幅图的涂色部 分画出来。 1.有一列数：1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6，… 按照这个规律，第135个数是( A.66 B.67 C.68 D.69 2找规律：一3,6，一9,12，-15,18，…，这列 2观察表1，寻找规律。表2、表3分别是从 数的第1007个数是( ）。 表1中鐵取的一部分，a、b的值分别是 A.-1007 B.1007 多少？ C.3021 D.-3021 3 3.校园道路的一侧，按“3面红旗、2面黄旗、 1面蓝旗”的顺序插了一行彩旗。第100 9 面应该是( ）。 12 25 30 A红旗 B.黄旗 36 C蓝旗 D.尤法确定 表1 表2 表3 4.有这样一列算式：0十30,1十30,2十30，…，第 n个算式为( )。 A.n+30 B.n+1+30 C.n+2+30 D.n-1+30 ◆084 3如图，图1是·个正方形，分别连接这个 五、如图，下列各图形中的三个数之间均具 正方形各边的巾点得到图2，再分别连接 有相同的规律。 图2中的小正方形各边的中点得到图3。 ②-③（⑦-32（⑤-⑧ 1探索上述规律，用含有m、n的代数式表 示P=( )； 图1 图2 图3 2如果在上述规律中，有一幅图如下所示， (1)观察上面的图形，寻找规律，填写 请求出字母x的值。 下表。 图形序号 2 3 正方形的个数 三角形的个数 (2)按照上面的规律，第n个图形中有多 少个正方形？有多少个三角形？ 六、·张四边形的纸上共有10个点，如果把 四边形的顶点算在一起，那么一共有 14个点。已知这些点中的任意3个点 能力练 都不在同一直线上。按下面的要求把这 张纸剪成些三角形：每个三角形的顶 四、某条路上有若干个红绿灯，相邻两个红 点都是这14个点巾的3个，且每个三角 绿灯之间间隔900米，一位司机师傅开 形内都不再有其余的点。那么这张四边 着汽车以10米/秒的速度通过红绿灯， 形的纸最多可以剪出( )个三角形。 每个红绿灯都以“红灯25秒、黄灯5秒、 绿灯30秒”的间隔变化。如果这位司机 师傅想在每个有红绿灯的路口都遇到绿 灯，那么他至少要把速度提高到多少 千米/时？ ◆085◆