第1节 整数-【一本】2025年小学数学知识大盘点

第一章 第1节整数 数的认识 园盘 知识结构 整数的分类 01整数的意义 自然数…>最小的自然数是0 计数单位 02数位顺序表 数位和位数 数级 整数的读法 依据 03整数的读写 整数的写法 04整数的大小比较 整数的改写 整数 05整数的改写和近似数 近似数 改写整数和省略尾数的区别 因数和倍数的意义 找一个数的因数和倍数的方法 06因数和倍数 2、5、3的倍数的特征 偶数和奇数>是否为2的倍数(0除外) 07质数、合数和分解质因数 最小的质数是2 最小的合数是4 08公因数和最大公因数 09公倍数和最小公倍数 ◆001◆ 核心考点 01整数的意义 (2)每相邻两个计数单位之间的进率都是 整数的分类 10,这样的计数方法叫作十进制计数法。 像一2，一1,0,1,2，…这样的数叫作整数。 1×1010×10100 大于0的整数是正整数，小于0的整数是负 2 数位和位数 整数。正整数、负整数和0统称为整数，其 (1)在记数时，计数单位要按照一定的顺序 中0和止整数都是白然数。 排列起来，它们所占的位置叫作数位。同一 正整数 个数字所在的数位不同，表示的意义也不同。 自然数 整数0 在千位上 表示2个千 负整数 2024 在十位上 表示2个十 2自然数 (2)位数是指一个白然数中含有数位的个 (1)表示物体个数的1,2,3,4,5，…都是自 数。一个白然数含有儿个数位，就是儿位数。 然数。一个物体也没有，用0表示，0也是 3数级 自然数。 按照我国的计数习惯，从个位起，每四个数 (2)所有的自然数都是整数，但自然数只是 位为一级。个位、十位、白位、千位称为个 整数的一部分，不能说“整数都是自然数”。 级，万位、十万位、百万位、千万位称为万级， 是整数，但 亿位、十亿位、百亿位、千亿位称为亿 不是自然数。 级…；个级、万级、亿级…统称为数级。 (3)最小的白然数是0，没有最大的白然数。 4 整数的数位顺序表 自然数的个数是无限的。 数 .... 亿级 万级 个级 (A)自然数既可以表小物体的多少（基数）， 级 又可以表示物体的次序（序数）。 数 T 下百十个 及00 亿位 百亿位 位 百万位 位 位位位位 (1)“0”不仅可以表示没有，还 可以表示特定的数值。“ 亿 身 万 百十 (2)在写数、运算时，“0”有占位 位 的作用。 303 整数的读写 (3)在测量工具上，“刻度0”一般是测量的起，点。 ①整数的读法 (4)“0”是正敏和负数的分界，点。 读万以内（个级）的数，按照数位顺序从高位 02数位顺序表 到低位位位地读，木尾不管有几个0， 计数单位 都不读，其他数位上有一个0或连续几个 (1)一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、 0,都只读一个0。读力以上的数，先分级， 亿…都是计数单位。 再从最高位读起。读亿级或万级的数时，先 ◆002 按照个级的数的读法来读，中在后面加上· (1)整万或整亿数的改写 个“亿”或“万”字 改写整万或整亿数时，直接去掉万位后面的 2整数的写法 4个0或亿位后面的8个0，再在后面加上 从高位到低位，一级一级地往下写，数位上 “万”或“亿”字。 是几就写几，哪个数位上一个计数单位也没 22110000=2211万 有，就在那个数位上写0。 (2)非整万或非整亿数的改写 04整数的大小比较 如果要改写的多位数不是整万或整亿的数， 那么在要改写的数的万位或亿位数字的 比较两个整数的大小时，先看位数，位数不 下角点上小数点，去掉小数部分末尾的0， 相同的两个数，位数多的数就大：位数相同 再在后面加上“万”或“亿”字。 的两个数，从最高位比起，最高位上的数大 8025000000=80.25亿 的那个数就大，如果最高位上的数相同，就 比较下一个数位上的数…直到比出两个 2近似数 (1)准确数和近似数 数的大小为止。 在人类的实践活动中，常遇到各种各样的数 网比较8530900与8271006的大小。 据。有的数据与实际完全相符，叫作准确 位敏相同，最高位上都是8 8530900 8274006-8530900>8274006 数；有的数据只是与实际大体相符，或接近 十万位上5>2 实际的数，叫作近似数：>准确数 05整数的改写和近似数6哈 例六(3)班有39名学生，他们每天大约用 掉0页演草纸。>近似数 整数的改写 (2)因为近似数是接近准确数的数，大小发生 为了读写方便，可以把一个较大的多位数改 了变化，所以近似数与准确数中间不能用“=” 写成用“万”或“亿”作单位的数。 连接，应用“”（约等号，读作：约等于）连接。 (3)求整数的近似数的几种情况 类别 具体做法 特点 举例 取近似数时，若省略的尾数最高 “四合”得到的近 我省略千位 位上的数小于5，用“四含”，把尾 后面的尾数 似数比准确数 “四仑五 数改写成O:若省略的尾数最高 是8000. 8050 小，“五人”得到 入”法 位上的数大丁或等于5，丹“五 的近似数比准确 入”，先向前一位进1，再把尾数 我也是。 数大 7900 政写成0 把790mL橙汁倒入容量为 250m的杯子里，至少需要几个这 样的杯子？ 取近似致时，不管要省略的尾数 得到的近似数总 “进一”法 790÷250=3(杯)…40(m1) 是多少，都向前一位进1，再舍去 比准确数人 剩余的40mL 还需要用1个 杯子。 ◆003◆ 续表 类别 具体做法 特点 举例 制作一个风车需要3张硬卡纸，14 张硬卡纸能制作几个风车？ 取近似数时，不管要省略的尾数 得到的近似数总 “去尾”法 14÷3=4(个)…2（张） 是多少，都直接舍去 比准确数小 剩的硬卡纸不 够制作一个风 车啦。 3改写整数和省略尾数的区别 类划 改写整数 省略尾数 在要改写的整数的万位或亿位数字的右 用“四舍五入”法省略万位或亿位后面的 力法 下角点上小数点，去掉小数部分末尾的 尾数，再在后加上“”或“亿”字 0,再在后面加上“万”或“亿”字 结果 得到准确数 得到近似数 与原数的关 与原数相等，用“一”连接 与原数近似相等，用“≈”连接 举例 354200=35.42万 167000000=1.67亿 354200≈35万167000000≈2亿 06 因数和倍数白 因数和倍数的意义 类别 因数 倍数 如果非零白然数A和非零白然数B的乘积是C,即AXB=C,那么A、B都是C的因数，(C 定义 是A、B的倍数 个数的因数的个数是有限的 一个数的倍数的个数是尤限的 区别 个数的最小因数是1，最大因数是它本身 个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数 联系 因数和倍数是相互依存的，不能单独说某一个数是因数或倍数 6 没有余数时，这些除数和商就是这个数的 因数。 为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所 30÷1=30 说的数指的是非零自然数。 30÷2=15 30的因数有1， 30÷3=10 2,3,5,6, ②找一个数的因数的方法 10,15,30. 30÷5=6 方法一：列除法算式。用这个数作被除数， 方法二：列乘法算式。把这个数尽可能多地 写成两个整数相乘的形式，这些整数就是这 变换除数（非零自然数），所得的商是整数且 个数的因数。 ◆004◆ 30=1×30 奇数士奇数=偶数奇数×奇数=奇数 30=2×15 30的因数有1. 2,3,56, 偶数士偶数=偶数偶数×偶数=偶数 30=3×10 10,15,30 30=5×6 07质数、合数和分解质因数 ③找一个数的倍数的方法 ①质数 方法一：列乘法算式。用这个数依次与非零 ·个数，如果只有1和它本身两个因数，挪 白然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 么这样的数叫作质数（或素数）。最小的质 数是2。 3×1=3 3X2=6 10以内3的倍数 2合数 有3,6,9。 3×3=9 一个数，如果除了1和它本身还有其他的因 方法二：列除法算式。能被这个数整除的数 数，那么这样的数叫作合数。最小的合数 就是这个数的倍数。 是4。 3÷3=1 6÷3=2 10以内3的倍数 思9e06 9÷3=3 行3,6,9。 I既不是质数，也不是合数：2是所有质数中唯 一的偶数。 ④2、5、3的倍数的特征 (1)2的倍数的特征：个位上是0,2,4,6,8 ③判断质数的方法 的数都是2的倍数。 方法一：对照质数表进行判断。100以内的 质数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31， (2)5的倍数的特征：个位上是0或5的数 37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83, 都是5的倍数。 89,97。 (3)3的倍数的特征：如果一个数各数位上 方法二：用试除法进行判断，即用2,3,5,7， 的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的 11,13等质数去除这个数，如果某个质数可 倍数。 以整除这个数，这个数就不是质数。如果不 及08地● 能整除，当除得的商比除数小时，就不用再 如果一个数各数位上的数的和是9的倍数，那 试除了，这个数就是质数。 么这个数就是9的倍数。雪要注意，如果一个 149÷2=74…1149÷3=49…2 数是3的倍数，那么它不一定是9的倍数；如 149÷5=29…4149÷7=21…2 149÷11=13…6149÷13=11…6 果一个数是9的倍敏，那么它一定是3的 倍数。 149是质数 ⑤偶数和奇数 4④分解质因数 (1)整数中，是2的倍数的数叫作偶数(0也 (1)每个合数都可以与成几个质数相乘的形 是偶数)，不是2的倍数的数叫作奇数。 式，这几个质数叫作这个合数的质因数。 (2)奇偶性的判断 (2)把一个合数用其质因数相乘的形式表示 奇数士偶数一奇数奇数×偶数一偶数 出来，叫作分解质因数。 ◆0054 (3)分解质因数的方法 60的最大公因数为2×2×3=12。 ①塔式分解法 ②短除法 09公倍数和最小公倍数 2 24 21 ①公倍数和最小公倍数的意义 26 22 几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍 24=2×2×2×3 2M=2×2×2X3 数：其中最小的公倍数叫作这几个数的最小 08公因数和最大公因数 公倍数。 ②求两个数的最小公倍数的方法 ①公因数和最大公因数的意义 列举法、短除法和分解质因数法是求两个数 几个数公有的因数，叫作这几个数的公因 的最小公倍数的三种常用方法。 数：其中最大的公因数叫作这儿个数的最大 例求12和18的最小公倍效。 公因数。 方法一：列举法 2互质数 12的倍数：12,24,36,48,60,72， 公因数只有1的两个数，叫作互质数。 18的倍数：18,36,54,72,90，… 及80@6 12和18的公倍数：36,72， 互质的两个数不一定都是质数。例如，4和9 所以12和18的最小公倍数为36。 是互质数，但4和9都不是质数。 方法二：短除法 21218 ③求两个数的最大公因数的方法 369 列举法、短除法和分解质因数法是求两个数 23 12和18的最小公倍数：2×3×2X3=36 的最大公因数的三利常用方法。 方法三：分解质因数法 例求36和60的最大公因数。 12=2×2×318=2×3×3 方法一：列举法 12和18公有的质因数有2,3，独有的质因 36的因致 60的因敏 数分别是2和3，所以12和18的最小公倍 数为2×3X2×3=36。 1,2,3, 5,10,15 9,18,36 4,6,12 20.30.60 ③有特殊关系的两个数的最大公因数和 最小公倍数 (1)如果两个数中的较小数是较大数的因 36和60的公因数有1,2,3,4,6,12，所以36 数，即两个数成倍数关系，那么较小数就是 和60的最大公因数为12。 这两个数的最大公因数，较大数就是这两个 方法二：短除法 数的最小公倍数。 2L3660 21830 阿4和6都是非零自然敏，且8a=b,那么 3915 35 u和b的最大公因数是a,最小公倍数是b。 36和60的最大公因数：2×2×3=12 (2)如果两个数是互质数，那么它们的最大 方法三：分解质因数法 公因数是1，最小公倍数是这两个数的积。 36=2×2×3×3 60=2×2×3×5 例7和8是互质数，它们的最大公因数是 36和60的质因数都含有2,2,3，所以36和 1,最小公倍数是7×8=56。 ◆006 ④公因数和公倍数的区别与联系 类别 公因数 公倍数 公闪数的个数是有限的，最小公闪数是 公倍数的个数是无限的，有最小公倍数，无 区别 1,有最大公因数 最大公倍数 联系 都可用列举法、短除法分解质因数法米求 将36本练习本和48支铅笔分别平均分 某兴趣小组采购了一批相同的练习本，每名 给若干名同学。如果练习本和笔都没 举例 同学分3本或5本练习本都正好分完，这批 有剩余，那么可以分给多少名同学？最 练习本可能有多少本？最少有多少本 多能分给多少名同学 36和48的公因数有1,2,3,4,6,12，最 3和5的公倍数有15,30,45，·，最小公倍数 分析 大公因数是12 是15 可以分给2名、3名，4名、6名或12名 这批练习本可能有15本、30本、45本…最 结果 同学，最多能分给12名同学 少有15本 盘 典型例题 考点1>计数单位和位数 放在个级末尾，又要使组成的数最大，就要 ®典型例题1 尽量把8放在高位上，即880800。 580173是一个( )位数，它是出( 答案880800 个十万、( )个万、( )个百、( )个 考点3整数的大小比较 十和()个组成的。 国典型例题3 解析580173这个数有6个数位，所以它是 下列各组数巾，排列正确的是( 一个六位数：其中十万位上是5，表示5个 A.6120>6100>614 十万；万位上是8，表示8个万；百位上是1， B.40504005<4500 表示1个百；十位上是7，表示7个十：个位 上是3，表示3个一。 C.348029994380 答1案六58173 ID.989>1234>1020 考点2整数的读写 解析整数比较大小，位数多的数大于位数 ©典型例题2 少的数；四位数与四位数比较大小，先比较 用三个8和三个0组成的六位数中，只读 千位上的数字，千位上的数字大的那个数就 个袋的最大六位数是( )。 大；若千位上的数字相同，再比较百位上的 解析六位数包括万级和个级，要符合“只 数字，百位上的数字大的那个数就大… 读一个零”的条件，则三个0不能连在一起 答案A ◆0074 考点4>整数的改写和近似数 解析(1)是5的倍数，个位只能选回，十位 金典型例题4 可选2、3、⑦。(2)同时是2和3的倍 在下面的口里填上最小的数字。 数，个位只能选0或2，同时还要满足两张 9☐8630000>≈9亿 9☐8630000≈10亿 卡片上的数字相加的和是3的倍数。(3)同 解析 9☐8630000 时是2、3、5的倍数，个位只能选0，且要满 足三张卡片上的数字相加的和是3的倍数。 9亿比原数小 10亿比原数大 答案(1)20,30,70(2)30,72 采用“四会”法 采用“五入”法 (3)270,720 ☐里可以填小于 口里可以填等于或 考点7最大公因数的应用 5的数字，其中最 大于5的数字，其中 小的是0 最小的是5 窗典型例题7 有两根钢管，它们的长度分别是240厘米和 答案05 200厘米。如果把它们截成同样长的小段 考点5>奇数、偶数、质数和合数的特征 且没有剩余，每小段最长是多少厘米？此时 ®典型例题5 共可以截成多少段？ 一个长方形的长是a厘米，宽是b厘米，其 解析 中a、b都是质数，这个长方形的面积是 240厘米和200厘米的钢管成成同样长的小段 c平方厘米，c不可能是()。 A.合数B.奇数 C.质数 D.偶数 每小段的长度是240 求每小段最长是多 解析迭项A:质数X质数=合数，C一定是 和200的公因数 少厘米 合数。选项B:如果a=5,b=3,那么c= 240和200的最大公因数 5×3=15,c可能是奇数。选项C:质数× 答案240=2×2×2×2×3×5 质数一合数，c不可能是质数。选项D:如 200=2×2×2×5X5 果a=3,b=2,那么c=3X2=6,c可能是 240和200的最大公因数：2×2×2×5=40 偶效。 240÷40+200÷40=11(段) 答案C 答：每小段最长是40厘米，此时共可以截 考点62、5、3的倍数的特征 成11段。 典型例题6 按要求选数字卡片组数。 方陆强 可2③7 解决最大公因数问题的方法 (1)组成是5的倍数的两位数： 解决此美问题时，要抓住题目中“同样长”“ (2)组成既是2的倍数又是3的倍数的两位 样多”等关键字眼，进而找到解决问题的方法。 数： 例如本题中，“战成同样长”也就是求两个数的 (3)组成同时是2,3,5的倍数的三位数： 公因数，进而根据“每小段最长”确定是要求最 大公因数。 ◆008 考点8最小公倍数的应用 答案12=2×2×318=3×3×2 ©典甲例题8 12和18的最小公倍数：2×3×2×3=36 彩旗队的同学在操场上进行列队训练，每行 答：这个彩旗队至少有36人。 12人或18人都正好站成整数行。这个彩 外方法但鱼 旗队至少有多少人？ 解决最小公倍数问题的方法 解析每行12人或18人都正好站成整数行 解决此类问题时，要抓住题目中“正好”“刚好” “最少”“至少”等关健字眼，进而找到解决问题 总人数是12和 求彩旗队至少 18的公倍数 有多少人 的方法。在本题中，“正好站成整数行”也就是 求两个数的公倍数，进而根据“至少”骑定是要 12和18的最小公倍数 求最小公倍数。 考试真题 基础练 数是奇数，那么弟弟分得的红包钱数是奇 数还是偶数？( 一、填空。 理由是 1.光在其空中的传播速度大约是299800 「米/秒。横线上的数读作( ), 5随着网络的发展和人们消费观念的转变， 是一个( )位数，最高位是( 人们的购物方式也发生了变化。佳佳的 位。右起第个“9”表示( ),第二 妈妈比较喜欢网购，去年她在某购物平台 个“9”表示( ）。在该数的两个“9” 上的消费总额约为2万元。约等于2万 之间添( )个“0”，这个数就变成了 的最大的整数是( ),最小的整数 九位数，读作( ） 是( )。 写作( ),省略方位后面的尾数约 6在409的末尾添上( )个0，这个数才 是( 万。 读作四百零九万。在5和3之间添上 2.一个数的最小倍数是24，这个数的因数有 ( )个0，得到的数才读作五千力袋三。 )。 7.652至少加上( )才能使它成为5的倍 3.在10以内的非零白然数巾，最小的质数 数，至少减去( )才能使它成为3的倍 是( ),最小的合数是( ),既是合 数，至少减去( )才能使它同时含有因 数又是奇数的是( ),既是质数又是偶 数2、3和5。 数的是()。 8.已知A=6n,B=9,其中n不等于0，那 4“六”儿童节这天，妈妈给姐弟2人共发 么A和B的最大公因数是( ),最小 了31元的红包。如果姐姐分得的红包钱 公倍数是()。 ◆0094 二、选择。 2李兵和爸爸晨练，两人绕运动场各跑 1.下面各数巾，只读出一个零的是( 圈，爸爸要用6分钟，李兵要用8分钟。 A.800000503 B.806500300 如果两人可时从问一起点向相向方向跑， C.8003065000 D.856030000 那么至少多少分钟后两人在该起点再次 2下列各数中，“8”表示8个百万的是 相遇？此吋两人各跑了多少图？ ）。 A.80001297 B.48250123 C,3289009 D.12345867 3.要使二位数56□☐能被3整除，☐里最大能 填( A.7 B.8 C.9 D.6 4完亮在方格纸上画出一个长5厘米，宽3 能力练 厘米的长方形和一个边长5厘米的正方 形。通过分析，他发现这两个图形的周长 四、·个自然数，各个数位上的数之和是 和面积的数值都是( )。 21,并且各个数位上的数都不相同。符 A奇数B.偶数C合数 D.质数 合条件的最大数是儿？该数读作什么？ 5.下列各数中，最按近310万的是( A.3091000 B.3109999 C.3100050 LD.3099991 6有4个六位数，分别是xxxyxx、 xyxyxy、xyyzyy、xyyxyx,并且x是比 10小的非零自然数，y是0。这4个数中 一定能同时被2、3、5整除的是( ）。 A.xxxyxx B.ryzyxy C.zyyxyy D.zyyzyz 五、土兵在操场上列队，人数在90到110之 7.甲数=2X5×7×a,乙数=2X3×5Xa, 间，且这些人排成3列没有剩余，排成5 当a=( )时，甲、乙两数的最大公因 列差2人，排成7列差4人。操场上共 数是30。 有十兵多少人？ A.2 B.3 C.5 D.4 三、解决问题。 1.阳光小学五年级共有48名男生、36名女 生参加研学旅行，带队老师要将男、女生 分别分成若干组，并且使每组的人数相 同，至少能分成几组？ ◆010参考答案 P009 【解析】排成3列没有剩余，说明人数是3的 一、1.二十九万九千八百六十万9个T 倍数：排成5列差2人，说明人数比5的倍数 9个万3二亿九千万九千八百 少2，也就是比5的倍数多3：排成7列差4 29000980029001 人，说明人数比7的倍数少4，也就是比7的倍 2.1,2,3,4,6,8,12,243.2492 数多3。人数在90到110之间，比5和7的公 4偶数两个数的和是奇数，因为奇数一奇数= 倍数多3，且是3的倍数。5和7在90到110 偶数，所以弟弟分得的红包钱数是偶数。 之间的公倍数是5×7×3=105,105十3=108， 5.24999150006.467.3122 108恰好也是3的倍数，符合题意。 8.3n18n P016 P010 1112 二、1.D2.B3.A4.C5D6.B 、写 7B【解析】由题意可知，甲敛和乙数公有的 3 4.z y x 质因数有2,5和a,则甲数和乙数的最大公因 数是2×5×a-l0a。如果甲数和乙数的最大 5.5 【獬糊】爱的分子减去12是15-12=3， 公因数是30，那么a=3。 15÷3=5,根据分数的基本性质，要使分数的 三、1.48和136的最大公因数是12. 48÷12+36÷12=7(组) 大小不变，分母应除以5，即25÷5=5。 答：至少能分成7组。 6.17 【解析】国为后是真分数，所以工小于 2.6和8的最小公倍数是24。 24÷6-4(图)24÷8-3（圈） 18。又周为后是假分数，所以x大于或等于 答：至少24分钟后两人在该起点再次相遇；此 17。故x只能是17。 时爸爸跑了4圈，李兵跑了3圈。 二、1.B2.C3C4.C 四、21-0=2121-1=2020-2=1818-3=15 P017 15-4-1111-5-66-6-0 0<1<2<3<4<5<6,则符合条件的最大数 5.C6.A 是6543210。 三、1王欣：3÷5=（千瓦时） 读作：六百五十四万三千二百一十 【解析】要使这个自然数最大，应使这个自然 刘丽：7÷10=10(T瓦时) 数的位数最多。从0开始，依次减0、减1、减 2…一直减到差是0为止，然后将这些减数 张玲：5÷6=6（千瓦时） 按从大到小的顺序排列组成一个最大的自然 数即可。 含品8 五、5和7在90到110之间的公倍数是5×7×3= 答：王欣家的空平均每天的用电量最少。 105。 2.小明的书包超重了。 5-2=3(人)7-4=3（人） 511039109 105+3-108(人) 因为1660200800所以小 90<108<110,且1十0+8=9,9是3的倍数， 明的书包超重了。 符合题意 3.(1)9÷3-3(千米) 答：操场上共有士兵108人。 答：这列动午平均每分钟行3干米。 ◆193◆