精品解析：山东省济宁市曲阜市2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

2024~2025学年度第二学期期中教学质量监测考试 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置． 3．答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 7，24，25 C. 6，8，10 D. 5，12，13 4. 如图，矩形的边，分别落在直角坐标系y轴和x轴上，且，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，一副三角尺摆放置在矩形纸片的内部，三角形的三个顶点恰好在矩形的边上，若，则等于（　） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点，，分别是，，边的中点，且，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是(　　) A. 13 cm B. 4cm C. 4cm D. 52 cm 9. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，，，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿，方向，向点B匀速移动（到点B为止），点的速度为，点的速度为，经过t秒为等边三角形，则t的值为（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 当_________时，有意义． 12. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中正方形对角线的长为_____． 13. 阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 已知：如图1，及边的中点，求作：平行四边形． 小静的作法如下： 在数学课上，老师提出如下问题： ①连接并延长，在延长线上截取； ②连接．所以四边形就是所求作的平行四边形． 老师说：“小静的作法正确”． 请回答：小静的作法正确的理由是________． 14. 菱形的面积为24，其中的一条对角线长为6，则此菱形的周长为________． 15. 已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为、，计算结果为斜边，同理计算可以看成直角边分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为____． 三、解答题共8小题，共75分． 16. 计算 （1）； （2）． 17. 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口如图，向北偏东方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西的某个方向航行，已知它们离港口后相距30海里（即海里），问另一艘轮船航行的方向是北偏西多少度 18. 如图，E为正方形ABCD内一点，且EBC是等边三角形，求∠EAD的度数. 19. 先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： （1）在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； （2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 20. 如图，点是矩形的边延长线上一点，连接，交于点，作交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 21. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6． （1）实践操作：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． ①作∠ABC的角平分线交AC于点D． ②作线段BD的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点F，连接DE、DF． （2）推理计算：四边形BFDE的面积为　 　． 22. “将军饮马”问题探究与拓展：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我们想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得，两点到河边的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是________． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在轴上确定一点，使的值最小，并求出的最小值． 23. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．已知，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期中教学质量监测考试 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置． 3．答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数含能开得尽方的因数，，故不属于最简二次根式，选项A不符合题意； B、被开方数含分母，，故不属于最简二次根式，选项B不符合题意； C、被开方数12含有开得尽方的因数4，，故不属于最简二次根式，选项C不符合题意； D、的被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数，故属于最简二次根式，选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式，满足被开方数不含分母及被开方数不含能开得尽方的因数或因式这两个条件的二次根式是最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题关键． 2. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由，，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意； B．由，，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意； C．由，不能判定四边形是平行四边形，故C不符合题意； D．由，，能判定四边形是平行四边形，故D符合题意． 故选：D． 3. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 7，24，25 C. 6，8，10 D. 5，12，13 【答案】A 【解析】 【分析】欲判断能否构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、22＋32≠42，不能构成直角三角形； B、72＋242＝252，能构成直角三角形； C、62＋82＝102，能构成直角三角形； D、52＋122＝132，能构成直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了利用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法．在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 4. 如图，矩形的边，分别落在直角坐标系y轴和x轴上，且，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标平面内的点的坐标特征，同时也考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握平面直角坐标系各个象限的点的坐标特征是解答本题的关键．先由勾股定理得到，结合矩形的性质及点所在象限即可得解； 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∵，，在直角三角形中，由勾股定理得： ， 又点到y轴的距离为的长度4，到x轴的距离为的长度3． 又因为点在第一象限，所以点的坐标为． 故选择：B 5. 如图所示，一副三角尺摆放置在矩形纸片的内部，三角形的三个顶点恰好在矩形的边上，若，则等于（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得∠C=90°，AD∥BC，利用直角三角形的两个锐角互余求出∠GFC，从而求出∠EFB，然后根据平行线的性质可得∠AEF＋∠EFB=180°，从而求出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形 ∴∠C=90°，AD∥BC ∵ ∴∠GFC=90°－∠FGC=74° 由三角尺可知：∠EFG=60° ∴∠EFB=180°－∠GFC－∠EFG=46° ∵AD∥BC ∴∠AEF＋∠EFB=180° ∴∠AEF=180°－∠EFB=134° 故选D． 【点睛】此题考查的是矩形的性质、直角三角形的性质和平行线的性质，掌握矩形的性质、直角三角形的两个锐角互余和平行线的性质是解决此题的关键． 6. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用及在数轴上表示实数，关键是先利用勾股定理求出的长度，再根据圆的半径相等得到的长度，最后结合数轴上点的位置关系求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴； ∵于点，， ∴是直角三角形，， 由勾股定理得：； ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 7. 如图，点，，分别是，，边的中点，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行线的性质求出、，进而求出，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵点，，分别是，，边的中点， ∴，， ， 同理可得：，，， ， ， ， ， ， 故选：A． 8. 如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是(　　) A. 13 cm B. 4cm C. 4cm D. 52 cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决..要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【详解】如图， 由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为xcm， ∵∵易拉罐底面周长是12cm，高是20cm， ∴x2=(12×4)2+202∴x2=(12×4)2+202， 所以彩带最短是52cm． 故选D． 【点睛】本题考查了平面展开−−最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高， 9. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小， 此时， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是掌握矩形的性质并理解垂线段最短的意义． 10. 如图，在菱形中，，，，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿，方向，向点B匀速移动（到点B为止），点的速度为，点的速度为，经过t秒为等边三角形，则t的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题为考查菱形性质以及动点问题的综合题，难度适中，熟练掌握菱形的性质以及三角形全等的判断是解题关键．连接BD，利用菱形性质、等边三角形的性质可证，进而得到；根据题意，，即可求出． 【详解】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 当_________时，有意义． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的意义求解． 【详解】解：∵当时，有意义， ∴当时，有意义， 故答案为． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的意义是解题关键 ． 12. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中正方形对角线的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质． 如图1，图2中，连接．在图1中，证是等边三角形，得出．在图2中，由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图1，图2中，连接． 图1中，∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 在图2中，∵四边形是正方形， ， ∴是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 13. 阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 已知：如图1，及边的中点，求作：平行四边形． 小静的作法如下： 在数学课上，老师提出如下问题： ①连接并延长，在延长线上截取； ②连接．所以四边形就是所求作的平行四边形． 老师说：“小静的作法正确”． 请回答：小静的作法正确的理由是________． 【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】由题意可得，，然后由对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：是边的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形， 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形，是解此题的关键． 14. 菱形的面积为24，其中的一条对角线长为6，则此菱形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理；根据菱形的面积公式可求出另一条对角线的长．再根据菱形的性质可求出，的长，然后根据勾股定理求出菱形的边长，从而可以求出菱形的周长． 【详解】如图，． 菱形的面积， ， 菱形的对角线互相垂直平分， ，，， ， 菱形的周长为． 故答案为：． 15. 已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为、，计算结果为斜边，同理计算可以看成直角边分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】在一条长为的线段上取一点，将线段分为两条线段，以这个点为锐角顶点，这两条线段为直角边，在线段的两旁建立两个直角三角形，这两个直角三角形的另一条直角边分别为和，利用两点之间线段最短和勾股定理求出这两个直角三角形另一个锐角顶点连线的长度即为所求的最小值． 【详解】构造两直角三角形如图， ，，，，点为上一个动点，，，则： ，，， 由图可知：， ∴的最小值为线段的长， 过点作交的延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了最短路线问题，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是用数形结合思想，构造出图形． 三、解答题共8小题，共75分． 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据二次根式的性质化简，再进行加减运算即可； （2）根据平方差公式，完全平方公式展开，再进行加减运算即可 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式． 17. 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口如图，向北偏东方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西的某个方向航行，已知它们离港口后相距30海里（即海里），问另一艘轮船航行的方向是北偏西多少度 【答案】度 【解析】 【分析】根据题意得：，海里，海里，再由勾股定理的逆定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，海里，海里， ∵海里， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 即另一艘轮船航行的方向是北偏西度． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 18. 如图，E为正方形ABCD内一点，且EBC是等边三角形，求∠EAD的度数. 【答案】15° 【解析】 【分析】根据正方形和等边三角形的内角性质计算即可. 【详解】△EBC是等边三角形， ∴∠ABE=∠ECD=90°-60°=30°， EB=BC=AB, ∴，△ABE是等腰三角形， ∴∠AEB=∠BEA=（180°-30°）÷2=150°÷2=75°， ∴，∠EAD=90°-75°=15° 【点睛】本题考查了正方形和等边三角形的性质，得到△ABE是等腰三角形是解题关键. 19. 先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： （1）在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； （2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【答案】（1）④， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【小问1详解】 解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 如图，点是矩形的边延长线上一点，连接，交于点，作交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质． （1）根据矩形性质证明四边形是平行四边形； （2）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，利用勾股定理求出，连接，根据菱形的性质证明，然后根据勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴平行四边形是菱形． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴， 解得：． 21. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6． （1）实践操作：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． ①作∠ABC的角平分线交AC于点D． ②作线段BD的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点F，连接DE、DF． （2）推理计算：四边形BFDE的面积为　 　． 【答案】 (1)如图，DE、DF为所作； (2). 【解析】 【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角和作已知线段的垂直平分线）作出BD和EF； （2）先证明四边形BEDF为菱形，再利用含30度的直角三角形三边的关系求出BF和CD，然后利用菱形的面积公式求解． 【详解】（1）略 （2）∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，AB=2BC=12． ∵BD为∠ABC的角平分线，∴∠DBC=∠EBD=30°． ∵EF垂直平分BD，∴FB=FD，EB=ED，∴∠FDB=∠DBC=30°，∠EDB=∠EBD=30°，∴DE∥BF，BE∥DF，∴四边形BEDF为平行四边形，而FB=FD，∴四边形BEDF为菱形． ∵∠DFC=∠FBD+∠FDB=30°+30°=60°，∴∠FDC=90°－60°=30°．在Rt△BDC中，∵BC=6，∠DBC=30°，∴DC=．在Rt△FCD中，∵∠FDC=30°，∴FC=2，∴FD=2FC=4，∴BF=FD=4，∴四边形BFDE的面积=4×2=8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 22. “将军饮马”问题探究与拓展：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我们想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得，两点到河边的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是________． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在轴上确定一点，使的值最小，并求出的最小值． 【答案】（1）“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米 （2） （3）如图， 的最小值 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据轴对称的性质确定“将军饮马”的位置点P，过点作并交于点，根据矩形的性质分别求出米，米，，根据勾股定理求出，得到，即可求解； （2）连接，设与交于点，得出最小，即在与的交点上时，最小，为的长度，再由勾股定理可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，利用对称的性质得到，则，的值最小；点关于轴对称的点的坐标为，进而可得出答案． 【小问1详解】 解：问题1：作点关于直线的对称点，连接，过点作并交于点， ∴米， 在中，米， 米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米； 【小问2详解】 问题2：如图，连接，设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴点与关于对称， ∴， ∴最小． 即在与的交点上时，最小，为的长度． ∵中，，，， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 问题3．作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求． 利用对称的性质得到， 则，的值最小； 点关于轴对称的点的坐标为， 的最小值． 23. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．已知，，求的长． 【答案】 (1) 解：四边形是垂美四边形． 证明：连接AC，BD， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即四边形是垂美四边形； (2)猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 如图2，已知四边形中，，垂足为， 求证： 证明：∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴； 故答案为． (3) . 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理，可证直线是线段的垂直平分线，结合“垂美四边形”的定义证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）连接、，先证明，得到，可证，即，从而四边形是垂美四边形，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】(1)略 (2)略 (3)连接、， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，又， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， 由(2)得，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $