专题01 中考压轴题思维培养Ⅰ-平行篇（高效培优专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题01 中考压轴题思维培养Ⅰ-平行篇 题型一：压轴过渡题Ⅰ（三角形中位线；构造平行初步） 题型二：压轴过渡题Ⅱ（三角形一边平行线的性质的初步应用） 题型三：构造多重平行 题型四：截长补短+构造平行综合 题型五：梯形中构造平行 题型六：三角形一边的平行线的综合应用 题型七：填空压轴题（新定义+动态几何） 注：共16题；学习背景——三角形一边的平行线 题型一：压轴过渡题Ⅰ（三角形中位线；构造平行初步） 1．如图，在中，，，E是上一动点，以为直角边构造等腰直角，，交于点F． (1)与的位置关系是 ； (2)若，当F为的中点时，求的长． 2．定义：如图①满足的几何图为“梅氏三角”． (1)如图①．证明的几何图为梅氏三角． (2)如图②．证明． 题型二：压轴过渡题Ⅱ（三角形一边平行线的性质的初步应用） 3．阅读填空：如图①中，是的角平分线，它具有一些和边有关的特殊性质，下面我们一块来研究． (1)如图②，作，，垂足分别为E、F，易得． 如图③，作，垂足为G，易得． 综合图②图③可得中，当平分时，______． (2)如图④，，作交延长线于M，请你利用图④，填空 ∵，∴，，又∵ ∴，∴______，∵， ∴，∴______． (3)应用如图⑤： 在中，，平分，，，则______，______． 4．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．    证明：如图②，过点作，交的延长线于点． ，…… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图①，在中，是角平分线，．求的长． (3)如图③，中，是中点，是的平分线，交于，若，直接写出线段的长． 5．小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连结，交于点G，求的值． （1）小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程： 解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 请你补全余下的证明过程． 【尝试应用】 （2）如图图2，在中，E、F分别是、的中点，连接分别交、于M、N，求证：． 【拓展提高】 （3）如图图3，点D、E分别是、边的中点，、交于F，，，，求四边形的面积． 题型三：构造多重平行 6．已知是等边三角形，D是直线上的一点． (1)问题背景：如图1，点D，E分别在边，上，且，与交于点，求证：； (2)点G，H分别在边，上，与交于点，且． ①尝试运用：如图2，点D在边上，且，求的值； ②类比拓展：如图3，点D在的延长线上，且，直接写出的值． 7．综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    题型四：截长补短+构造平行综合 8．【问题背景】一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．已知是的角平分线．求证：． (1)【初步探究】小慧想到了构造角平分线的平行线来解决问题，所以她给出的证明思路是：如图1，过点C作，交的延长线于点E，……就可以运用所学知识予以证明．请你沿着小慧提供的思路写出下面的证明过程； (2)【类比研究】小慧类比上面的思路继续研究，如图2，已知是一个外角的平分线，是否还成立？请说明理由； (3)【应用拓展】直接利用上面的结论解决问题：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，请直接写出的长． 9．【问题初探】 在数学活动课上，张老师给出如下问题：“如图1，在中，是的角平分线，求证：”，有两名同学给出了不同的解答思路： ①如图2，小丽同学从结论出发给出如下解题思路：过点C作的平行线交的延长线于点E，运用等腰三角形和相似等知识解决问题． ②如图3，小强同学从“是的角平分线”给出了另一种解题思路：在上截取，连接，过点C作的平行线交的延长线于点G，也是利用相似等知识解决问题． （1）请你选择一名同学的解答思路，写出证明过程． 【类比分析】 张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将两组线段比值问题转化为两三角形相似的对应边的比．为了帮助学生更好地领悟这种转化思想，张老师将问题进行了改编，提出下面问题，请你解答． （2）如图4，若的外角平分线交的延长线于点D，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在四边形中，，，，平分，求的长． 题型五：梯形中构造平行 10．如图1，梯形ABCD中，，，，，，点P是AD延长线上一点，F为DC的中点，连接BP，交线段DF于点G． (1)当时，求DP的长． (2)如图2，点E为BP中点，连接EF． ①若设，，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围． ②连接DE和PF，若，求DP长. 题型六：三角形一边的平行线的综合应用 11．在平行四边形中，E、F两点分别在和边上，，连接和，分别交于G，H两点． (1)如图1，若平行四边形为菱形． ①求证：． ②若，求的长． (2)如图2，分别记的面积为，求证：． 12．（1）数学张老师在数学活动课上出示了一道探究题： 如图，在和中，，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在同侧，若，求证：． 张老师分别从问题的条件和结论出发分析这道探究题： ①如图1，从条件出发：过A作交于M，过D作交于N，依据等腰三角形的性质“三线合一”分析与之间的关系，可证得结论； ②如图2，从结论出发：过D作交于P，依据三角形全等的判定，证明，可证得结论； 请你运用其中一种方法，解决上述问题． （2）小明同学经过对探究题及张老师分析方法的思考，提出以下问题： 如图3，在中，，在中，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在同侧，且A，D，E三点在同一直线上，若，，的面积为7，求的长． （3）在小明同学的问题得到解决后，张老师针对之前的解题思路提出了下面问题： 如图4，在四边形中，，，点E为中点，连接，若，，，求的长． 13．综合与实践 【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形中，E是对角线上一动点，过点D作的垂线，过点C作的垂线，两垂线相交于点F，作射线，分别交边，于点G，H．试探究线段与的数量关系． 小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下． 【观察猜想】 小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究． （1）如图1，若E是对角线的中点，则线段与的数量关系为______． 【推理验证】 （2）小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图2的情形判断他的说法是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为3，以点E为线段的三等分点时，请直接写出线段的长．        题型七：填空压轴题（新定义+动态几何） 14．如图，已知正方形纸片，E为延长线上一点，F为边上一点，将纸片沿翻折，点C恰好落在边上的点H，连接，，．交于点N，、、恰好交于一点M．若，，则线段的长度为 ． 15．折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片，其中，，，找出的中点，在上找任意一点，以为对称轴折叠，得到，点的对应点为点，小明发现，当点的位置不同时，与的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当时，的长为 ． 16．阅读：对于线段与点O（点O与不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线与线段交于点Q，且，那么称点P为点O关于线段的“准射点”．问题：如图，矩形中，，点E在边上，且，连接．设点F是点A关于线段的“准射点”，且点F在矩形的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d的取值范围为 ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 中考压轴题思维培养Ⅰ-平行篇 题型一：压轴过渡题Ⅰ（三角形中位线；构造平行初步） 题型二：压轴过渡题Ⅱ（三角形一边平行线的性质的初步应用） 题型三：构造多重平行 题型四：截长补短+构造平行综合 题型五：梯形中构造平行 题型六：三角形一边的平行线的综合应用 题型七：填空压轴题（新定义+动态几何） 注：共16题；学习背景——三角形一边的平行线 题型一：压轴过渡题Ⅰ（三角形中位线；构造平行初步） 1．如图，在中，，，E是上一动点，以为直角边构造等腰直角，，交于点F． (1)与的位置关系是 ； (2)若，当F为的中点时，求的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据，得，据此可得与的位置关系； （2）过点F作于H，先求出得，再由勾股定理求得的长，证为的中位线得，，证为等腰直角三角形得，据此可得的长． 【详解】（1）解：与的位置关系是：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：过点F作于H，如图所示： 在中，，，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 又∵点F为的中点， ∴， ∴点H为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵为等腰三角形，且， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，理解直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 2．定义：如图①满足的几何图为“梅氏三角”． (1)如图①．证明的几何图为梅氏三角． (2)如图②．证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线分线段成比例，是解题的关键： （1）过点作交于点，根据平行线分线段成比例，得到，两式相乘，得到，即可得证； （2）作，同（1）法可得：，结合，两式相乘即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作交于点， ∴ ∴， ∴； （2）作， 同（1）法可得：① 由（1）知：② ，得：． 题型二：压轴过渡题Ⅱ（三角形一边平行线的性质的初步应用） 3．阅读填空：如图①中，是的角平分线，它具有一些和边有关的特殊性质，下面我们一块来研究． (1)如图②，作，，垂足分别为E、F，易得． 如图③，作，垂足为G，易得． 综合图②图③可得中，当平分时，______． (2)如图④，，作交延长线于M，请你利用图④，填空 ∵，∴，，又∵ ∴，∴______，∵， ∴，∴______． (3)应用如图⑤： 在中，，平分，，，则______，______． 【答案】(1) (2)；； (3)， 【分析】（1）利用同高三角形的面积比等于底的比进行计算解题； （2）作交延长线于M，则有，根据平行线分线段成比例得到，然后等量代换解题即可； （3）先利用勾股定理求出长，然后利用（1）中结论解题即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）如图④，，作交延长线于M，请你利用图④，填空 ∵， ∴，， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；；； （3）解：∵，，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查三角形的面积，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 4．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．    证明：如图②，过点作，交的延长线于点． ，…… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图①，在中，是角平分线，．求的长． (3)如图③，中，是中点，是的平分线，交于，若，直接写出线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，由，可求证 ，，，可得，即可求解； （2）根据（1）中的结论即可求解． （3）根据（1）可得，进而得出，根据是中点,得出，进而根据平行线分线段成比例得出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：如图②，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴ ，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是角平分线， ∴ ， ∵，，， ∴， 解得cm．经检验符合题意． （3）解：∵是角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 5．小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连结，交于点G，求的值． （1）小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程： 解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 请你补全余下的证明过程． 【尝试应用】 （2）如图图2，在中，E、F分别是、的中点，连接分别交、于M、N，求证：． 【拓展提高】 （3）如图图3，点D、E分别是、边的中点，、交于F，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12 【分析】此题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例等知识， （1）根据平行线分线段成比例定理和中点的定义进行解答即可； （2）连接交于点，则点为的中点，点为的中点．根据（1）问可得．同理可得,由点为的中点得到，即可证明结论成立； （3）求出，得到，．根据即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 是的中点 ． 又 （2）证明：连接交于点，则点为的中点，点为的中点． 为的中点，根据（1）问可得 ． 同理可得 点为的中点 ． （3）由第（1）问可知 ， 同理可得， ． 题型三：构造多重平行 6．已知是等边三角形，D是直线上的一点． (1)问题背景：如图1，点D，E分别在边，上，且，与交于点，求证：； (2)点G，H分别在边，上，与交于点，且． ①尝试运用：如图2，点D在边上，且，求的值； ②类比拓展：如图3，点D在的延长线上，且，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①3；②或 【分析】（1）利用证明，再由等量代换证明； （2）①在上截取，连接交于点，过点作交于点，由（1）可知，则，再由平行线的性质可得，即设，，则，由，可得，，从而得到等式，求出，即可求；②延长至，使，连接交于点，过点作交于点，由（1）可知，则，可得，设，，则，可知，再由，分别得到，，从而得到方程，求出或，即可求或． 【详解】（1）解：证明：是等边三角形， ，， ， ， ， ； （2）①在上截取，连接交于点，过点作交于点， 由（1）可知， ， ， ，， ， ， ， 设，，则， ， ，即， ， ， ， ， 解得或（舍）， ； ②延长至，使，连接交于点，过点作交于点， 由（1）可知， ， ， 设，，则， ， ， ， ，， ，， 解得或， 或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行分线段，熟练掌握性质定理是解题的关键． 7．综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点H．根据可得，根据可得，再次利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （2）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （3）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作交于点H．   ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点C作交于点H．   ∴  ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：的值为． 如图3，过点C作交于点H．   ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 题型四：截长补短+构造平行综合 8．【问题背景】一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．已知是的角平分线．求证：． (1)【初步探究】小慧想到了构造角平分线的平行线来解决问题，所以她给出的证明思路是：如图1，过点C作，交的延长线于点E，……就可以运用所学知识予以证明．请你沿着小慧提供的思路写出下面的证明过程； (2)【类比研究】小慧类比上面的思路继续研究，如图2，已知是一个外角的平分线，是否还成立？请说明理由； (3)【应用拓展】直接利用上面的结论解决问题：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理可得，角平分线的概念和平行线性质可得出，再根据等角对等边得出，最后根据等量代换即可得证； （2）过点C作，交于点E，根据平行线分线段成比例定理可得，角平分线的概念和平行线性质可得出，再根据等角对等边得出，最后根据等量代换即可得证； （3）由勾股定理可得，由折叠的性质得出，，由（1）知，，从而求得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ； （2）成立；理由如下： 过点C作，交于点E， 证明： ，， 是的角平分线， ， ， ； ， ， ； （3）在中，，，， ， 由折叠性质可知：，， 由（1）可知：， ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理、灵活转化比例关系是解题的关键． 9．【问题初探】 在数学活动课上，张老师给出如下问题：“如图1，在中，是的角平分线，求证：”，有两名同学给出了不同的解答思路： ①如图2，小丽同学从结论出发给出如下解题思路：过点C作的平行线交的延长线于点E，运用等腰三角形和相似等知识解决问题． ②如图3，小强同学从“是的角平分线”给出了另一种解题思路：在上截取，连接，过点C作的平行线交的延长线于点G，也是利用相似等知识解决问题． （1）请你选择一名同学的解答思路，写出证明过程． 【类比分析】 张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将两组线段比值问题转化为两三角形相似的对应边的比．为了帮助学生更好地领悟这种转化思想，张老师将问题进行了改编，提出下面问题，请你解答． （2）如图4，若的外角平分线交的延长线于点D，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在四边形中，，，，平分，求的长． 【答案】（1）小丽同学的解题思路；证明见解析（2）证明见解析（3） 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． （1）小丽同学，由平行线分线段成比例得到，再证即可；小强同学，证明，则，得到，，则，，即可得到结论； （2）过点D作交于点M，则，，，由比例的性质得到，证明，即可得到结论； （3）延长交的延长线于点F，求出，，，进一步得到，．过点E作于点G，证明是等腰直角三角形，，则，，求得，即可得到答案； 【详解】解：（1）证明：小丽同学， ∵， ∴，； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 小强同学， 在上截取，连接，过点C作的平行线交的延长线于点G， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴． （2）证明：如图4，过点D作交于点M， ∴，，， ∴，则； ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图5，延长交的延长线于点F， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，． ∴ 过点E作于点G， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 解得， ∴． 题型五：梯形中构造平行 10．如图1，梯形ABCD中，，，，，，点P是AD延长线上一点，F为DC的中点，连接BP，交线段DF于点G． (1)当时，求DP的长． (2)如图2，点E为BP中点，连接EF． ①若设，，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围． ②连接DE和PF，若，求DP长. 【答案】(1)2 (2)①；②或4． 【分析】（1）设，勾股定理求得，根据已知等式建立方程，解方程求解即可； （2）①连接DE并延长交BC于点M，过D作于点H，证明，勾股定理求得，，，，代入化简整理即可求得函数解析式； ②当时，四边形DEFP为平行四边形，当时，四边形DEFP为等腰梯形，过E作于点Q，，由，，根据平行线分线段成比例可得,则，解方程求解即可． 【详解】（1）设， ∵在直角三角形ABP中，，，， ∴. ∵. ∴， 解得：， ∴DP=2； （2）①连接DE并延长交BC于点M， ∵F为DC的中点，， ∴， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴， 过D作于点H，则， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴. ②∵，， 当时，四边形DEFP为平行四边形． ∴， ∴. 当时，四边形DEFP为等腰梯形， 过E作于点Q，. ∵，， ∴， ∴. ∴， 解得：. ∴PD的长为或4. 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键． 题型六：三角形一边的平行线的综合应用 11．在平行四边形中，E、F两点分别在和边上，，连接和，分别交于G，H两点． (1)如图1，若平行四边形为菱形． ①求证：． ②若，求的长． (2)如图2，分别记的面积为，求证：． 【答案】(1)①见解析；②的长为 (2)见解析 【分析】（1）①先根据平行线的性质得出，再利用菱形的性质得出，然后可利用等边对等角，得出，再说明，从而可利用证明，再利用证明，从而可利用全等三角形的性质得出结论成立； ②先证明四边形为平行四边形，从而可得，列出比例式，得到关于的方程求解，求出的长； （2）先利用由平行线截得的线段成比例，列出比例式，，，从而可利用比例的性质得出，结合两点到的距离相等，得出结论成立． 【详解】（1）解：①证明：∵， ． 平行四边形为菱形， ． ． 在和中， ． ． 在和中， ， ． ②如图，连接， ，， 四边形为平行四边形． ∴， ． 设，则 ，解得或（不合题意，舍去）． 即的长为． （2）证明：， ， ． 又， ． ． 又两点到的距离相等， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，菱形的性质，等边对等角，全等三角形的判定与性质，由平行线截得的线段成比例等知识点，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 12．（1）数学张老师在数学活动课上出示了一道探究题： 如图，在和中，，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在同侧，若，求证：． 张老师分别从问题的条件和结论出发分析这道探究题： ①如图1，从条件出发：过A作交于M，过D作交于N，依据等腰三角形的性质“三线合一”分析与之间的关系，可证得结论； ②如图2，从结论出发：过D作交于P，依据三角形全等的判定，证明，可证得结论； 请你运用其中一种方法，解决上述问题． （2）小明同学经过对探究题及张老师分析方法的思考，提出以下问题： 如图3，在中，，在中，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在同侧，且A，D，E三点在同一直线上，若，，的面积为7，求的长． （3）在小明同学的问题得到解决后，张老师针对之前的解题思路提出了下面问题： 如图4，在四边形中，，，点E为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【分析】（1）解法1：证明四边形为矩形，根据矩形的性质即可得出结论；解法2：证明四边形为平行四边形，得出，，再证明得出，即可得出结论． （2）过A作交于M，过D作交于N，过D作交于P，由等腰三角形的性质得出，，从而得出，再证明是等直角三角形，由勾股定理求得，然后证明四边形为矩形，求得，设，则，，由三角形面积公式得，求解得出，即可求解． （3）延长与延长线交于点F，过A作交于G，过B作交于H，根据等腰三角形的与性质得出，，再根据，从而可证得，设，则，利用平行线分线段成比例求得，，，然后用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：（1）解法1：∵，， 又∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 解法2：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）过A作交于M，过D作交于N，过D作交于P，如图， ∵，， 又∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解，得：，不合题意，舍去， ∴， ∴． （3）延长与延长线交于点F，过A作交于G，过B作交于H，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理．此题属三角形与四边形综合题目，综合性较强，正确作出辅助线构造特殊四边形是解题的关键． 13．综合与实践 【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形中，E是对角线上一动点，过点D作的垂线，过点C作的垂线，两垂线相交于点F，作射线，分别交边，于点G，H．试探究线段与的数量关系． 小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下． 【观察猜想】 小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究． （1）如图1，若E是对角线的中点，则线段与的数量关系为______． 【推理验证】 （2）小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图2的情形判断他的说法是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为3，以点E为线段的三等分点时，请直接写出线段的长．        【答案】（1）；（2）正确．理由见解析；（3）或． 【分析】（1）先证得四边形是正方形，得到，再通过“”证得，得到，从而得证； （2）根据正方形的性质和垂直的定义证得，得到，根据，，得到，证得，从而得证； （3）由正方形的边长为3可求得，由点E是的三等分点，得到或．分两种情况讨论：①当时，，在中，，从而，根据得到，从而求得，进而即可解答；②当时，同①思路即可解答． 【详解】（1）∵在正方形中，，又点E是的中点， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵在正方形中，，又点E是的中点， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）正确． 理由如下：过点E作于点M，过点F作于点P，如图所示．    ∵四边形ABCD是正方形， ∴，，，． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． （3）∵在正方形中，，， ∴ ∵点E是的三等分点， ∴或． ①当时，由（2）可得， ∵， ∴在中，， ∵， ∴，即， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，由（2）可得， ∵， ∴在中，， ∵， ∴，即， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查正方形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，综合运算相关知识是解题的关键． 题型七：填空压轴题（新定义+动态几何） 14．如图，已知正方形纸片，E为延长线上一点，F为边上一点，将纸片沿翻折，点C恰好落在边上的点H，连接，，．交于点N，、、恰好交于一点M．若，，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】作于P，首先证明，，推出，设正方形边长为a，在中利用勾股定理求出a，再由，得，由，得，分别求出、即可解决问题． 【详解】解：作于P， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 由翻折性质可知，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴，， ∴，， ∴， 设正方形边长为a，在中，∵， ∴， ∴或（舍弃）， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 15．折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片，其中，，，找出的中点，在上找任意一点，以为对称轴折叠，得到，点的对应点为点，小明发现，当点的位置不同时，与的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】分情况讨论，于没有交点时和于有交点时，根据含角的直角三角形的性质，结合平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】解：是直角三角形，，， ，， ①如图，当时，设的延长线交于点，则， ， ， 由翻折的性质可知，，， ， 又点是的中点， ， ，即， ； ②如图，当时，设交于点，则， 同理可得，， ， ，即， ； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折的性质，中点的性质，含角的直角三角形的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 16．阅读：对于线段与点O（点O与不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线与线段交于点Q，且，那么称点P为点O关于线段的“准射点”．问题：如图，矩形中，，点E在边上，且，连接．设点F是点A关于线段的“准射点”，且点F在矩形的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设交于点Q，由点F是点A关于线段的“准射点”可得，过点F作交于点G，交于点H，由平行线分线段成比例定理得，，连接，求出的长，作于M，求出的长即可． 【详解】解：如图，设交于点Q， ∵点F是点A关于线段的“准射点”， ∴， ∴Q是的中点，即， 过点F作交于点G，交于点H， ∴， ∴，， 连接，由矩形性质可得：，，， 则． 作于M， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴d的取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义，矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式，平行线分线段成比例定理，以及平行四边形的判定与性质，判断出点F的位置是解答本题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$