专题01 计数原理（6大题型提分练）（天津专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题01 计数原理 题型概览 题型01 分类加法原理 题型02 分步乘法原理 题型03 排列数与组合数公式 题型04 排列组合的实际应用—分情况讨论 题型05 涂色问题 题型06 二项式定理中的特定项与系数问题 分类加法原理题型01 1．（23-24高二下·天津西青·期末）某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·天津西青·期末）解一道数学题有三种方法，有3个人只会用第一种方法解答．有4个人只会用第二种方法解答，有3个人只会用第三种方法解答，从这10个人中选一个人解答这道题目，则所有不同的选法有（    ） A．20种 B．10种 C．21种 D．36种 分步乘法原理题型02 3．（23-24高二下·天津滨海新·期末）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（    ） A．10种 B．60种 C．125种 D．243种 4．（23-24高二下·天津西青·期末）一个火车站有6股岔道，如果每股岔道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，不同的停放方法为（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．（23-24高二下·天津·期末）某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往A，B，C，D四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（    ） A．72 B．78 C．68 D．80 6．（23-24高二下·天津·期末）2024年汤姆斯杯需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（    ） A．102种 B．105种 C．210种 D．288种 7．（22-23高二下·天津·期末）从1，2，3，4，5五个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（    ） A．24个 B．36个 C．48个 D．54个 排列数与组合数公式题型03 8．（24-25高二下·天津·期中）（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 9．（23-24高二下·天津·期末）已知，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（23-24高二下·天津·期末）若，则 . 排列组合的实际应用—分情况讨论题型04 11．（23-24高二下·天津·期末）甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（    ） A．96种 B．132种 C．168种 D．204种 12．（22-23高二下·天津·期末）从5名医生和2名护士中选出3人，要求医生护士都需要参加，将这3人分别分配到3个医院参加交流活动，则不同的安排方法种数为（    ） A．300 B．240 C．180 D．150 13．（23-24高二下·天津·期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 14．（23-24高二下·天津·期末）某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（    ） A．72 B．78 C．126 D．240 15．（23-24高二下·天津和平·期末）某校举办“中华颂”朗诵比赛，现有3名男生和3名女生报名，需将这6名同学分为3组，每组由1名男生和1名女生组成，则有 种分组方法.（请用数字作答） 16．（23-24高二下·天津·期末）1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有 种排法. 涂色问题题型05 17．（24-25高二下·天津和平·期末）如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有 种不同的着色方法.(用数字作答) 18．（23-24高二下·天津·期末）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种 ．（以数字作答） 二项式定理中的特定项与系数问题题型06 19．（23-24高二下·天津·期末）的展开式中，含项的系数为，则（   ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·天津西青·期末）的展开式的第7项的系数为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二下·天津·期末）的展开式中的常数项为（    ） A．20 B．15 C． D． 22．（23-24高二下·天津·期末）的展开式中的系数为（    ） A．85 B．5 C．-5 D．-85 23．（23-24高二下·天津·期末）若展开式中的常数项为，则实数 . 24．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知二项式关于x的展开式中，所有项的系数之和为32，则展开式中的系数为 ．（用数字作答） 25．（23-24高二下·天津西青·期末）二项式展开式的各二项式系数之和为 ；该展开式中项的系数为 ． 26．（23-24高二下·天津·期末）展开式中的系数为 .（结果用数字表示） 27．（23-24高二下·天津·期末）已知展开式中的常数项是，则实数的值为 28．（23-24高二下·天津·期末）已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为 ． 29．（23-24高二下·天津·期末）若ax2+的展开式中x5的系数是—80，则实数a= . 30．（24-25高二上·天津红桥·期末）已知展开式的二项式系数和为64. (1)求n的值； (2)若展开式中的常数项为20，求m的值. 31．（23-24高二下·天津南开·期末）已知展开式中的常数项为. (1)求实数的值； (2)若展开式中各项系数的和为，求该展开式中的系数. 32．（23-24高二下·天津·期末）已知二项式的展开式中，二项式系数之和为128，系数和为1. (1)求与的值； (2)求其展开式中所有的有理项. 33．（22-23高二下·天津南开·期末）在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值a，b，c满足. (1)求展开式的第四项； (2)求展开式中各项的系数和. 34．（23-24高二下·天津红桥·期末）已知展开式中各二项式系数之和为16. (1)求正整数的值； (2)求展开式中含的系数. 1．（23-24高二下·天津南开·期末）为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目．某宿舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且每个项目至多三人参加，则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为（    ） A．2730 B．10080 C．20160 D．40320 2．（23-24高二下·天津·期末）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用 A．288种 B．264种 C．240种 D．168种 3．（22-23高二下·天津西青·期末）在的展开式中共有7项，则下列叙述中正确的结论个数为（    ） ①二项式系数之和为32；②各项系数之和为0；③二项式系数最大项为第四项；④的系数为15 A．4 B．3 C．2 D．1 4．（23-24高二下·天津·期末）已知为正数，的展开式中各项系数的和为1，则常数项为 . 5．（23-24高二下·天津·期末）已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是． （1）求n的值； （2）求展开式的各项系数的和； （3）求展开式中所有的有理项． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 计数原理 题型概览 题型01 分类加法原理 题型02 分步乘法原理 题型03 排列数与组合数公式 题型04 排列组合的实际应用—分情况讨论 题型05 涂色问题 题型06 二项式定理中的特定项与系数问题 分类加法原理题型01 1．（23-24高二下·天津西青·期末）某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由分类计数原理得，不同的选法种数为：， 故选：A 2．（22-23高二下·天津西青·期末）解一道数学题有三种方法，有3个人只会用第一种方法解答．有4个人只会用第二种方法解答，有3个人只会用第三种方法解答，从这10个人中选一个人解答这道题目，则所有不同的选法有（    ） A．20种 B．10种 C．21种 D．36种 【答案】B 【详解】根据分类加法计数原理可得，不同的选法共有（种）. 故选：B 分步乘法原理题型02 3．（23-24高二下·天津滨海新·期末）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（    ） A．10种 B．60种 C．125种 D．243种 【答案】D 【详解】五人去看三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有种， 故选：D． 4．（23-24高二下·天津西青·期末）一个火车站有6股岔道，如果每股岔道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，不同的停放方法为（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【详解】第一列火车有6种选择，第二列火车有5种选择，第三列火车有4种选择，第四列火车有3种选择， 所以满足题意的不同的停放方法为种. 故选：A. 5．（23-24高二下·天津·期末）某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往A，B，C，D四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（    ） A．72 B．78 C．68 D．80 【答案】B 【详解】先把5人分到四个小学，排除小学安排了甲，乙，丙的情况（分为小学只去1人是甲，乙，丙中的一个，B小学去了2人，其中1人是甲，乙，丙中的一个，或2人都是甲，乙，丙中的一个），因此方法数为： , 故选：B． 6．（23-24高二下·天津·期末）2024年汤姆斯杯需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（    ） A．102种 B．105种 C．210种 D．288种 【答案】C 【详解】先从8名志愿者中任意选出3名， 分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，有种， 其中甲、乙、丙3人有一人负责语言服务工作，有种， 故符合条件的选法共有种. 故选：C 7．（22-23高二下·天津·期末）从1，2，3，4，5五个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（    ） A．24个 B．36个 C．48个 D．54个 【答案】B 【详解】先从2个偶数中选出1个，再从3个奇数中选出2个，先选后排，共有（个）. 故选：B. 排列数与组合数公式题型03 8．（24-25高二下·天津·期中）（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【详解】. 故选：B 9．（23-24高二下·天津·期末）已知，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】，化简得：，解得：或（舍去）. 故选：B 10．（23-24高二下·天津·期末）若，则 . 【答案】6 【详解】，即， 由题意可得，，解得且， ∴，解得． ∴． 故答案为：6． 排列组合的实际应用—分情况讨论题型04 11．（23-24高二下·天津·期末）甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（    ） A．96种 B．132种 C．168种 D．204种 【答案】C 【详解】依题意其余位主播有两种情况： ①位主播去一个景点，位主播去另外一个景点；②分别都是位主播去一个景点； 所以不同游玩方法（种）. 故选：C 12．（22-23高二下·天津·期末）从5名医生和2名护士中选出3人，要求医生护士都需要参加，将这3人分别分配到3个医院参加交流活动，则不同的安排方法种数为（    ） A．300 B．240 C．180 D．150 【答案】D 【详解】由题意，先选出三人分两种情况， 即2名医生和1名护士，有种选法， 或1名医生和2名护士，有种选法， 再将选出的三个人全排列即可， 所以，共有种安排方法. 故选：D 13．（23-24高二下·天津·期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【详解】①游泳场地安排2人，则不同的安排方法有种， ②游泳场地只安排1人，则不同的安排方法有种， 所以不同的安排方法有种. 故选：C 14．（23-24高二下·天津·期末）某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（    ） A．72 B．78 C．126 D．240 【答案】B 【详解】要求每所小学至少去一位教师，则需要将5人分成4组， 则①甲，乙，丙中有2位教师去同一所学校有： 种情况， ②甲，乙，丙中有1位教师与丁去同一所学校有： 种情况， ③丁，戊两人选择同一所学校有：种情况， 所以满足题意的情况为：， 故选：B. 15．（23-24高二下·天津和平·期末）某校举办“中华颂”朗诵比赛，现有3名男生和3名女生报名，需将这6名同学分为3组，每组由1名男生和1名女生组成，则有 种分组方法.（请用数字作答） 【答案】6 【详解】依题意，将6名同学分为3组，每组由1名男生和1名女生组成， 可视3名男同学为3个位置，将3名女同学安排到3个位置，不同安排方法数为种. 故答案为：6 16．（23-24高二下·天津·期末）1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有 种排法. 【答案】72 【详解】第一步：先从4名同学中选2人排在两端，有种排法， 第二步：剩余3人（包括老师）在中间的3个位置任意排列，有种排法. 根据分步乘法计数原理，所有的排法有：种. 故答案为：72 涂色问题题型05 17．（24-25高二下·天津和平·期末）如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有 种不同的着色方法.(用数字作答) 【答案】480 【详解】先给地区I染色有6种选择，再给地区II染色有5种选择，然后给地区III染色有4种选择，最后给地区IV染色也有4种选择， 综上所述，满足题意的染色方法共有种． 故答案为：480． 18．（23-24高二下·天津·期末）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种 ．（以数字作答） 【答案】72 【详解】按照使用颜色的种类分类， 第一类：使用了4种颜色，2,4同色，或3,5同色，则共有(种)， 第二类：使用了三种颜色，2,4同色且3,5同色，则共有(种) 所以共有48+24=72(种) 故答案为：72 二项式定理中的特定项与系数问题题型06 19．（23-24高二下·天津·期末）的展开式中，含项的系数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的展开式的通项公式为， 令，可得， 所以含项的系数为，即，解得. 故选：C. 20．（23-24高二下·天津西青·期末）的展开式的第7项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的展开式的第7项为：， 则第7项的系数为：， 故选：B 21．（23-24高二下·天津·期末）的展开式中的常数项为（    ） A．20 B．15 C． D． 【答案】B 【详解】展开式通项， 令得， 所以，展开式中的常数项为. 故选：B 22．（23-24高二下·天津·期末）的展开式中的系数为（    ） A．85 B．5 C．-5 D．-85 【答案】A 【详解】的展开式的通项为， 则，， 从而的展开式中的系数为． 故选：A． 23．（23-24高二下·天津·期末）若展开式中的常数项为，则实数 . 【答案】1 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，可得， 代入通项公式可得，解得. 故答案为：1. 24．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知二项式关于x的展开式中，所有项的系数之和为32，则展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【详解】由所有项的系数之和为32，令，，所以， 所以展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数为， 故答案为：． 25．（23-24高二下·天津西青·期末）二项式展开式的各二项式系数之和为 ；该展开式中项的系数为 ． 【答案】 【详解】因为二项式展开式的各二项式系数之和为，即，解得， 所以展开式的通项为（且）， 令，解得，所以展开式中项的系数为. 故答案为：； 26．（23-24高二下·天津·期末）展开式中的系数为 .（结果用数字表示） 【答案】28 【详解】因为展开式的通项公式为， 所以展开式中的系数为. 故答案为：28 27．（23-24高二下·天津·期末）已知展开式中的常数项是，则实数的值为 【答案】 【详解】由题意得，的展开式的通项为， 令，解得，， 所以的展开式中的常数项为， 解得. 故答案为：. 28．（23-24高二下·天津·期末）已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为 ． 【答案】80 【详解】由题意，令，则，解得， 则的展开式第项， 令，解得，所以. 故答案为： 29．（23-24高二下·天津·期末）若ax2+的展开式中x5的系数是—80，则实数a= . 【答案】-2 【详解】试题分析：因为，所以由，因此 30．（24-25高二上·天津红桥·期末）已知展开式的二项式系数和为64. (1)求n的值； (2)若展开式中的常数项为20，求m的值. 【答案】(1)6； (2)1. 【详解】（1）因为展开式的二项式系数和为，所以； （2）因为展开式中的通项公式为，整理得， 令，得， 则，解得. 31．（23-24高二下·天津南开·期末）已知展开式中的常数项为. (1)求实数的值； (2)若展开式中各项系数的和为，求该展开式中的系数. 【答案】(1) (2)0 【详解】（1）根据题意，的通项, 令，得，则，解得； （2）由（1）得， 因为其展开式中各项系数的和为， 令，得，解得， 所以， 因为展开式的通项为， 则展开式中项为， 故该展开式中的系数为0. 32．（23-24高二下·天津·期末）已知二项式的展开式中，二项式系数之和为128，系数和为1. (1)求与的值； (2)求其展开式中所有的有理项. 【答案】(1)； (2)有理项为，， 【详解】（1）二项式系数之和为，解得：， 令可得二项式的展开式的系数和为：， 解得：. （2）的展开式的通项为： ， 当为整数时，是有理项，则时，满足题意， 所以有理项为：，，. 33．（22-23高二下·天津南开·期末）在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值a，b，c满足. (1)求展开式的第四项； (2)求展开式中各项的系数和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为的展开式为， 由题意可知：，，，且，， 则，即，解得或（舍去）， 第四项. （2）由（1）可得二项式， 令，得展开式的各项系数的和为. 34．（23-24高二下·天津红桥·期末）已知展开式中各二项式系数之和为16. (1)求正整数的值； (2)求展开式中含的系数. 【答案】(1)4 (2)54 【详解】（1）解：由题意得，， 解得. （2）解：由（1）得二项式的展开式的通项为， 令，解得，    所以含项的系数为. 1．（23-24高二下·天津南开·期末）为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目．某宿舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且每个项目至多三人参加，则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为（    ） A．2730 B．10080 C．20160 D．40320 【答案】B 【详解】若没有人参加“打埂作畦”，则有种不同的方法， 若有一人参加“打埂作畦”，则有种不同的方法， 所以这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为. 故选：. 2．（23-24高二下·天津·期末）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用 A．288种 B．264种 C．240种 D．168种 【答案】B 【详解】先分步再排列 先涂点E，有4种涂法，再涂点B，有两种可能： (1)B与E相同时，依次涂点F，C，D，A，涂法分别有3，2，2，2种； (2)B与E不相同时有3种涂法，再依次涂F、C、D、A点，涂F有2种涂法，涂C点时又有两种可能： （2.1）C与E相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能： ①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法； ②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法． （2.2）C与E不相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能： ①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法； ②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法． 所以不同的涂色方法有 4×{3×2×2×2+3×2×[1×(1×2+1×2)+1×(1×2+1×1)]}=4×(24+42)=264． 3．（22-23高二下·天津西青·期末）在的展开式中共有7项，则下列叙述中正确的结论个数为（    ） ①二项式系数之和为32；②各项系数之和为0；③二项式系数最大项为第四项；④的系数为15 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由条件在的展开式中共有7项，可得①二项式系数之和为，①错误； 令，各项系数之和为，②正确； 二项式系数最大项为第四项，③正确； ， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为，的系数为15，④正确. 故选：B. 4．（23-24高二下·天津·期末）已知为正数，的展开式中各项系数的和为1，则常数项为 . 【答案】60 【详解】因为的展开式中各项系数的和为1，且为正数， 所以，则， 故的展开式的通项为， 令，解得， 所以的展开式中常数项为， 故答案为：60. 5．（23-24高二下·天津·期末）已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是． （1）求n的值； （2）求展开式的各项系数的和； （3）求展开式中所有的有理项． 【答案】（1）；（2）；（3）有理项为，，． 【详解】（1）解：依题意得， 所以解得． （2）解：令，则有， 所以展开式的各项系数和为． （3）解：， 其通项为． 当时，为有理项，故或或． 所以，展开式中的有理项为，和． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$