精品解析：2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟押题卷（湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学)数学试题（三）

2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟押题卷 数学（三） 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知函数的定义域为，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的焦点为，准线为，点与点关于直线对称，则的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个沙漏模型正好放进一个棱长为2的正方体中，使得沙漏底面与正方体底面位于同一平面内，且其底面所在的圆是正方体底面的内切圆，则该沙漏的体积是（ ） A. B. C. D. 5. 已知某批零件的尺寸服从正态分布，其中的零件为合格品，且，现从这批零件中随机抽取200个，用表示这200个零件中合格品的个数，则（ ） A. 180 B. 185 C. 190 D. 195 6. 已知函数与的图象在上恰有5个公共点，且其中一个公共点的坐标为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 已知定义域为的函数满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在直角梯形中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 一定不存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. ，使得为常数列 B. 若，则 C. 若，使得时， D. 若，则为递增数列 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 已知双曲线的渐近线与曲线有且仅有一个公共点，则的离心率为__________. 14. 甲､乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各自随机投掷质地均匀的骰子一次，规定点数大的得分，点数小的得分，点数相同时各得分，三轮比赛结束后，甲得分的概率为__________. 四､解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若构成等差数列，且的面积为12，求的值. 16. 如图，已知正三棱柱的底面边长为2，高为4，点满足，． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）若，证明：函数在上单调递增； （2）若函数有三个零点，求的取值范围． 18. “猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地在元宵节举办形式多样的猜灯谜比赛活动，比赛规则如下：以个人形式参加比赛，每轮猜一个灯谜，猜中加1分，猜不中则减1分，每位参赛者的初始积分均为1分.假设参赛者在每轮比赛中猜中与猜不中的概率均为0.5，参赛者会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才终止比赛：一种是参赛者积分为0分；一种是参赛者积分达到10分.同时举办方规定积分达到10分的参赛者可获得奖品一份. （1）求参赛者参与4轮比赛后积分为3分的概率； （2）设参赛者积分为分时，最终获得奖品的概率为. （i）求； （ii）求参赛者最终获得奖品的概率. 19. 已知，点满足. （1）求动点的轨迹方程； （2）在二次曲线中，我们常把存在相同对称轴和焦点的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“组合曲线”.已知曲线与抛物线构成“组合曲线”.设过点的直线交“组合曲线”于两点，记. （i）若直线的斜率为，求的值； （ii）试问是否存在最值？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟押题卷 数学（三） 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算性质直接化简，即可判断结果. 【详解】由，得， 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 2. 已知函数的定义域为，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求两个集合，再求交集. 【详解】由题意知， 所以. 故选：D 3. 已知抛物线的焦点为，准线为，点与点关于直线对称，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与点关于直线对称列出方程，求解即可． 【详解】由题意知，准线方程为， 根据对称性得，因此， 故的方程为， 故选：C． 4. 如图，一个沙漏模型正好放进一个棱长为2的正方体中，使得沙漏底面与正方体底面位于同一平面内，且其底面所在的圆是正方体底面的内切圆，则该沙漏的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意代入圆锥体积即可. 【详解】由题得沙漏的体积. 故选：A 5. 已知某批零件的尺寸服从正态分布，其中的零件为合格品，且，现从这批零件中随机抽取200个，用表示这200个零件中合格品的个数，则（ ） A. 180 B. 185 C. 190 D. 195 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求得，进而有，应用二项分布的期望公式求期望. 【详解】由，可得， 则，故. 故选：C 6. 已知函数与的图象在上恰有5个公共点，且其中一个公共点的坐标为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据经过点，得出只能为整数，排除选项A，C；再结合图像可验证选项B满足题意，选项D不满足题意. 【详解】由题意知经过点， 因此，得：， 即只能为整数，排除选项A，C； 当时，作出与在上的图象： 由图像可得：与的图象在上有5个公共点，满足题意. 当时，作出与在上的图象： 由图象可得：与的图象在上有7个公共点，不满足题意. 故选：B. 7. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：先利用关系式，求出公差，进而用等差数列求和公式即可求出答案. 方法二：利用等差数列的性质即为等差数列求解. 【详解】方法一：由题意得：，， 则等差数列的公差， 则，， 所以. 方法二：因为等差数列的性质即为等差数列， 则，得，解得. 故选：C 8. 已知定义域为的函数满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出的大致图象，数形结合求解不等式即可. 【详解】由得， 故当时，，从而， 同理，当时，， 当时，. 作出函数图象如图所示，令， 解得或，结合图象可知. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在直角梯形中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题意可证为平行四边形，由此判断A；对于B，将用，来表示，再利用数量积进行运算即可求解；对于C，将用来表示，将用，来表示，再利用数量积进行运算即可求解；对于D，验证数量积是否为0即可判断. 【详解】 对于A，由，且， 得四边形为平行四边形，因此，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，， 因此，故D正确. 故选：ABD 10. 一定不存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】取特殊值得到矛盾排除，利用函数的奇偶性和对称性判断BC，存在，判断D. 【详解】对于选项A，因为， 而，不符合函数概念，所以A一定不满足； 对于选项B，一定为偶函数，所以B一定不满足； 对于选项C，函数的图象是关于直线对称的， 而的图象不关于直线对称， 所以不存在这样的函数，所以C一定不满足； 对于选项D，令，则， 所以，再令， 所以函数，存在函数满足选项D. 故选：ABC 11. 已知数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. ，使得为常数列 B. 若，则 C. 若，使得时， D. 若，则为递增数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，令，可判断选项正误；对于BCD，由题可得，令，可得当时，通项公式，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，令，解得或，故A正确； 由，得，令，则. 若，则，此时；若，则当时，. 所以当时，有，所以， 即当时，. 对于B，若，则，当时，. 因函数在R上单调递减，又，则. 故当时，，故B正确； 对于C，若，则，当时，. 因函数在R上单调递增，又，则当当时，，故C错误； 对于D，若，则，且， 所以.又当时，. 则当时，. 因函数在R上单调递增，又，则当时，单调递增， 则也单调递增，所以当时，单调递增，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：对于数列单调性相关问题，常见思路为求出通项公式，研究与通项公式相关函数单调性来研究数列单调性；也可利用作差法或作商法，比较数列中相邻几项的大小关系，从而判断单调性. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式、诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】因为， 则由两角和的正弦公式可得：. 因为，， 所以， 则. 故答案为：. 13. 已知双曲线的渐近线与曲线有且仅有一个公共点，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设的渐近线方程为，联立，应用求参数，再由双曲线离心率公式求离心率. 【详解】设的渐近线方程为，联立，得. 由，解得. 因此的渐近线方程为，故的离心率为. 故答案为： 14. 甲､乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各自随机投掷质地均匀的骰子一次，规定点数大的得分，点数小的得分，点数相同时各得分，三轮比赛结束后，甲得分的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式分别计算每轮比赛得分所对应的概率，再分情况讨论三轮比赛的得分情况，即可得解. 【详解】用分别表示甲､乙两人投掷一枚骰子的结果，因为甲､乙两人每次投掷均有种结果，则在一轮游戏中，共包含（个）等可能的基本事件.其中，甲得分，即包含的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共个，则甲每轮得分的概率为.同理可得，甲每轮得分的概率也是，得分的概率为. 设事件表示三轮比赛结束后甲得分，则事件可分两类情形： ①甲有两轮得分，一轮得分，概率为； ②甲有一轮得分，两轮得分，概率为， 所以， 故答案为：. 四､解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若构成等差数列，且的面积为12，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将题干信息展开，再结合两角和差的正切公式即可； （2）根据等差数列以及即可求出，再根据正弦定理得出边长的比列，即可根据面积求出. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 因此. 由于，因此. 【小问2详解】 由题意知，， 因此， 解得，故， 因此. 则由正弦定理，可设， 故，解得， 因此. 16. 如图，已知正三棱柱的底面边长为2，高为4，点满足，． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：方法一：如图①，连接， 由题意知，，，， 由勾股定理得，， 过点作⊥于点，， 则，由勾股定理得， 故，因此， 在矩形中，为的中点， 所以， 所以，所以， 由于平面， 所以平面， 由于平面，所以． 方法二：设的中点为的中点为，连接， 以所在直线分别为轴建立如图②所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 由于，因此． （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：连接，由勾股定理逆定理及线面垂直的判定得出平面，再根据线面垂直的性质即可证明；方法二：建立空间直角坐标系，由空间向量的数量积即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由面面夹角的向量公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的中点为的中点为，连接， 以所在直线分别为轴建立如图②所示的空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）若，证明：函数在上单调递增； （2）若函数有三个零点，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，，则， 要证函数在上单调递增，只要证明在上恒成立， 令， 因为，令， 解得， 由，得，此时函数单调递增， 由，得，此时函数单调递减， 所以当时，取得最小值， 因为，所以恒成立， 即在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）把问题转化为证明在上恒成立，令，研究其单调性，再转化为求最小值，判断大于零即可； （2）利用分类讨论的思想来求解，方法一：分和，设，容易判断时，不成立；当时，利用导函数研究单调性结合零点存在定理来进行讨论，求出的最小值为，进行分类讨论即可求解；方法二：利用导函数研究函数的单调性，同时利用极限的思想来求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：令，等价于， 设， 当时，没有零点； 当时，， 当时，，函数单调递增， 因为， 所以函数在上有一个零点； 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，的最小值为， 若．即在上没有零点； 若，即在上有一个零点； 若，即， 因为，当时，， 所以在上有两个零点； 综上，当时，有3个零点. 方法二：当时，恒成立，没有零点，故， 当时，单调递增，单调递减， 故在上单调递增， 且当时，， 故在上有唯一零点， 所以在上有三个零点等价于在上有两个零点， 当时，由， 即，得， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故当时，， 且当时，，当时，， 故要使在上有两个零点， 则只要即可，解得； 综上，当时，有3个零点. 18. “猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地在元宵节举办形式多样的猜灯谜比赛活动，比赛规则如下：以个人形式参加比赛，每轮猜一个灯谜，猜中加1分，猜不中则减1分，每位参赛者的初始积分均为1分.假设参赛者在每轮比赛中猜中与猜不中的概率均为0.5，参赛者会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才终止比赛：一种是参赛者积分为0分；一种是参赛者积分达到10分.同时举办方规定积分达到10分的参赛者可获得奖品一份. （1）求参赛者参与4轮比赛后积分为3分的概率； （2）设参赛者积分为分时，最终获得奖品的概率为. （i）求； （ii）求参赛者最终获得奖品的概率. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先列举出4轮比赛后积分为3分的猜灯谜的情况，再求概率即可； （2）（i）根据全概率公式列出概率的递推关系，再推出是一个等差数列，即可求解；（ii）令（i）中的即可. 【小问1详解】 用1表示参赛者某轮猜中，用-1表示参赛者某轮猜错， 则4轮比赛后积分为3分的猜灯谜的情况可以用数列表示为或或， 故参赛者参与4轮比赛后积分为3分的概率； 【小问2详解】 （i）当时，则参赛者一定不能获奖，因此. 当时，则参赛者一定能获奖，因此. 当时，记事件为当参赛者积分为时最终获得奖品，事件为当参赛者积分为且下一轮猜中，则， 由全概率公式得， 即当时，， 所以，所以是一个等差数列， 设，则， 故，得，所以； （ii）由于参赛者的初始积分为1分， 所以参赛者最终获奖的概率为. 19. 已知，点满足. （1）求动点的轨迹方程； （2）在二次曲线中，我们常把存在相同对称轴和焦点的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“组合曲线”.已知曲线与抛物线构成“组合曲线”.设过点的直线交“组合曲线”于两点，记. （i）若直线的斜率为，求的值； （ii）试问是否存在最值？请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）设直线的倾斜角为，根据对称性， 不妨设在上方，在下方. 由（i）可知，当， 即时，直线正好过椭圆与抛物线的上下交点， 先讨论的位置，由题意知. 当时，在椭圆上，代入椭圆方程，得到， 解得或（舍去）， 当在抛物线上， 根据抛物线定义可知，因此. 同理再讨论的位置，由题意知， 当时，在抛物线上，由抛物线定义可知， 故； 当时，在椭圆上，代入椭圆方程， 得到，解得或（舍去）， 因此，当时，； 当时，； 当时，； 综上，当时，有最小值，当时，有最大值. 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积公式计算得出轨迹方程； （2）（i）求出两曲线的交点坐标，确定当直线的斜率为时，就是直线与椭圆的交点，联立直线和椭圆方程再结合弦长公式计算求解； （ii）设点，，根据的位置分类讨论，结合三角函数的值域计算求解. 【小问1详解】 ， 化简得， 所以的方程为； 【小问2详解】 （i）根据（1）可知的焦点为，则抛物线方程为， 联立 解得（舍去）或， 因此“组合曲线”为曲线与组合而成， 如图，实线部分记为“组合曲线”，其中， . 由于，因此当直线的斜率为时， 就是直线与椭圆的交点. 因此联立，解得， 故. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $