专题01 实数 压轴题（高效培优专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题01 实数 压轴题 题型一：立方根的性质 题型二：算术平方根、立方根小数点移动问题 题型三：算术平方根规律题 题型四：反证法证明无理数 题型五：程序框图题 题型六：无理数的整数部分与小数部分 题型七：实数与数轴 题型八：正方形的裁剪拼接与无理数的表示（中考新方向思想培养） 题型九：新定义题 题型十：材料阅读题 题型一：立方根的性质 1．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝ ． 【答案】0或﹣1或﹣ 【分析】将原方程变形得到＝2x+1，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或1或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案. 【详解】∵﹣2x﹣1＝0， ∴＝2x+1， ∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0， 解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣． 故答案为：0或﹣1或﹣． 【点睛】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键. 2．有这样一道题目：“已知，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（    ） 甲：x的值是1； 乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值 A．甲说的对，x的值就是1 B．乙说的对，x的另一个值是2 C．乙说的对，x的另一个值是 D．两人都不对，x应有3个不同值 【答案】D 【分析】根据立方根的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，； 当时，； 当时，； 即x有3个不同的值，故两人说法都不对； 故选：D． 【点睛】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 3．已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】，，或者，，或者， 【分析】将等式变型为，再两边同时立方，得到，再采用因式分解法求出x的值，再根据相反数的定义求出y的值，问题随之解得． 【详解】， ， ， ， ， ， ∴，或者，或者， ∴，或者，或者， ∵与， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 即，，或者，，或者，． 【点睛】本题主要考查了采用因式分解法解方程，相反数的定义，立方根的性质等知识，求出，或者，或者，是解答本题的关键． 题型二：算术平方根、立方根小数点移动问题 4．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4 (2)， (3) 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解． （3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵， ∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得： ∵， ∴ 又， ∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵ ∴， ∴． 5．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． （2）已知，，则_____；______． （3），，，…… 小数点的变化规律是_______________________． （4）已知，，则______． 【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01 【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可； （2）利用得出的规律计算即可得到结果； （3）归纳总结得到规律，写出即可； （4）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】解：（1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位． 故答案为：两；右；一； （2）已知，，则；； 故答案为：12.25；0.3873； （3），，，…… 小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位； （4）∵，， ∴， ∴， ∴y=-0.01． 【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键． 题型三：算术平方根规律题 6．观察下列各式： ＝＝＝2，即＝2 ＝＝＝3，即＝3，那么＝ ． 【答案】n． 【分析】根据已知等式，可以得出规律，猜想出第n个等式，写出推导过程即可． 【详解】解：＝n． 故答案为：n． 【点睛】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键． 7．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值 ． 【答案】351 【分析】先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的值． 【详解】=1 =3 =6 =10 发现规律：1+2+3+ ∴1+2+3=351 故答案为：351 【点睛】本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解． 题型四：反证法证明无理数 8．【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互素的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互素的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互素的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，a与b是互素的两个整数，且， 则 即． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以． 所以b也是偶数，与a，b是互素的整数矛盾． 所以是无理数． （2）设，a与b是互素的两个整数，且，则， 所以， ∵a，b是整数且不为0， ∴a为6的倍数． 设（n是整数）， ∴， ∴， ∴b也是6的倍数，与a与b是互素的整数矛盾， ∴是无理数． 9．【阅读理解】 定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互素（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 解：设，a与b是互素的两个整数，且， 则，即_________①． ∵是整数且不为， ∴是的倍数． 设（是整数，且）， 则． ∴_________②． ∴也是的倍数，与，是互素的整数矛盾． ∴是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； ①__________________；②__________________ (2)证明：是无理数． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 【分析】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，与是互素的两个整数，且， 则 即． 因为是整数且不为， 所以是不为的偶数． 设（是整数，且）， 则． 所以． 所以也是偶数，与，是互素的整数矛盾． 所以是无理数． 故答案为：，． （2）设，与是互素的两个整数，且，则， 所以， ，是整数且不为， 为的倍数． 设（是整数）， ， 也是的倍数，与与是互素的整数矛盾， 是无理数． 10．【阅读理解】 定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互素的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，a与b是互素的两个整数，且， 则 即 ① ． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以 ② ． 所以b也是偶数，与a，b是互素的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数， 【答案】(1)①表示的代数式；②表示的代数式 (2)证明见解析 【分析】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，a与b是互素的两个整数，且， 则 即． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以． 所以b也是偶数，与a，b是互素的整数矛盾． 所以是无理数． （2）设，a与b是互素的两个整数，且，则， 所以， ∵a，b是整数且不为0， ∴a为7的倍数． 设（n是整数）， ∴， ∴b也是7的倍数，与a与b是互素的整数矛盾， ∴是无理数． 11．在数学课本中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数． 阅读材料： “无理数”的由来 为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：， 也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 解：假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：_____________， 所以：，可得：， 所以：______________， 因为：______________， 所以：是一个无理数． 【答案】；；为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾 【分析】仿照题干方法进行证明即可． 【详解】假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：， 所以：，可得：， 所以：， 因为：为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾， 所以：是一个无理数． 【点睛】本题考查了无理数的证明，能够理解并运用题干的反证法是解题的关键． 题型五：程序框图题 12．如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 13．如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题． (1)当x为8时，y的值为______． (2)当输出的y值是时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值． (3)是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)x的值不唯一，x=3或x=27 (3)存在，1，0，或-1 【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解； （2）立方根逆运算即可． （3）始终输不出y值，则x的任何次方根都是有理数，则只有1，0，或-1． 【详解】（1）， 则y=； （2）答案不唯一． x＝或 x＝． 故答案是3或27． （3）当输入的x=-1、0和1时，取它们的立方根始终是-1、0和1，是有理数， ∴输入的x=-1、0和1时，始终输不出 y值 【点睛】本题考查立方根以及无理数，正确理解题目中规定的运算是解题的关键． 题型六：无理数的整数部分与小数部分 14．阅读下而的文字，解答问题： 我们规定：用表示实数的整数部分，用表示实数的小数部分，例如，，，大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的基就是共小数部分，即根据以上的内容，解答下面的问题： (1)______，______； (2)如果，，求的平方根． 【答案】(1)3； (2) 【分析】（1）分别根据无理数的大小写出整数部分和小数部分即可； （2）根据无理数的大小得出结论即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为2，的小数部分为， ∴，； （2）解：， ∴， ∴ ， 又∵， ∴，， ∴， ∵4的平方根是， ∴的平方根是． 【点睛】本题主要考查无理数大小的估算, 熟练掌握无理数大小的估算方法及平方根的计算是解题的关键． 15．阅读下面文字，然后回答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，由于的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示，由此我们得到一个真命题：如果，其中x是整数，且，那么，．请解答下列问题： (1)如果，其中a是整数，且，那么a＝ ，b＝ ． (2)如果，其中c是整数，且，那么c＝ ，d＝ ． (3)已知，其中m是整数，且，求的值． 【答案】(1)2，； (2)，； (3) 【分析】（1）估算出，据此即可确定出a、b的值； （2）估算出，据此即可确定出a、b的值； （3）先估算出，确定、的值，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，其中a是整数，且， 又， ，， 故答案为：2，； （2）解：，其中c是整数，且， 又， ， ，， 故答案为：，； （3）解：， ， ，其中m是整数，且， ，， ， 的值为． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 题型七：实数与数轴 16．如图，已知正方形 的边长为． (1)有的网格，每个方格的边长为1，把正方形画在网格中，要求顶点在格点上． (2)如图，把正方形放到数轴上，使得点A与数重合，边在数轴上，那么点D数轴上表示的数为________． (3)在（2）的条件下，如果a和b分别表示点D对应的无理数的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)图见详解 (2)； (3) 【分析】（1）根据勾股定理，即可找到相应的格点，即可得到答案； （2）根据数轴上点表示的数字及点到原点距离关系直接求解，即可得到答案； （3）根据夹逼法得到点D表示数字的范围得到a和b，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据勾股定理可得， ， ∴正方形在网格中的图如下图， ； （2）解：∵点A与数重合，边在数轴上，边长为， ∴点D表示的数为：； 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵a和b分别表示点D对应的无理数的整数部分和小数部分， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理，数轴上数的表示，无理数小数部分及整数部分计算，解题的关键是找到点D代表的数字． 17．如图①，把两个边长为的小正方形沿对角线剪开，所得的个直角三角形拼成一个面积为的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图②中、两点表示的数分别为_______，________； （2）请你参照上面的方法： 把图③中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图③中画出裁剪线，并在图④的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_______．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） 【答案】（1），（2）图见解析，． 【分析】（1）根据图①得出小正方形对角线长即可； （2）根据长方形面积即可得出正方形面积，从而求出正方形边长； 【详解】解：（1）设边长为的小正方形沿对角线长为x，由图①得：， ∴对角线为， 图②中、两点表示的数分别， 故答案为：， （2）长方形面积为5， 正方形边长为，如图所示： 故答案为：． 【点睛】本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． 18．下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2023年9月22日天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为． 类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！    任务： (1)在图3中画图确定表示的点M．    (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图中画出裁剪线，并在图4中画出所拼得的大正方形的示意图．    (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．    (4)在图6中的数轴上分别标出表示数以及的点，并比较它们的大小．    【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不能，理由见解析 (4)数轴见解析， 【分析】（1）由，可作出单位长度以3和1为长和宽的矩形，其对角线即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，即可解答； （2）设1个小正方形的面积为1，则5个小正方形的面积为5，即所拼成的大正方形的边长为，进而即可画出裁剪线和所拼得的大正方形； （3）由题意可求出正方形纸片的边长为．设长方形纸片的宽为，则长为，则可列出关于x的方程，再利用平方根解方程，即得出长方形纸片的长为，最后比较即可； （4）由，可作出单位长度以2和1为长和宽的矩形，其对角线即是，然后以表示的点为圆心，以为半径画弧，与数轴右侧的交点即为．再画出表示的点，根据数轴的性质比较即可． 【详解】（1）解：如图，点M即为所作；    （2）解：如图所示；    （3）解：不能． 理由：由题意可知这个面积为的正方形纸片的边长为， 设面积为的长方形纸片的宽为，则长为， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴长方形纸片的长为． ∵， ∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片； （4）解：在数轴上表示数和的点如图，    有数轴可知：． 【点睛】本题主要考查勾股定理，数轴和利用平方根解方程．利用数形结合的思想是解题关键． 19．教材中，如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2的大正方形，它的边长是无理数．由此启发，我们可以尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形的方式找出其他无理数的大小．      如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形． (1)所得到的小正方形的边长为______；大正方形的边长为______． (2)把图2中的正方形放在数轴上，如图3，点C表示的数为1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B翻滚到数轴上的点P时，记为第一次翻滚，点A翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推．是否存在正整数n．使得该正方形经过n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与数轴上的2025重合？ 【答案】(1)1； (2)不存在 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握等面积法是掌握算术平方根和无理数的意义． （1）根据图形可求出小正方形的边长；根据大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积求出大正方形的面积，进而可求出大正方形的边长； （2）判断是否是正方形边长的整数倍，即可得出结论． 【详解】（1）由题意得：所得到的小正方形的边长为：； 大正方形的面积为：，边长为； 故答案为：1；； （2）解：不存在． 理由：假设存在正整数，则， ， ， n为正整数， 为有理数，而为无理数， 上式等号不成立．即不存在正整数． 题型八：正方形的裁剪拼接与无理数的表示（中考新方向思想培养） 20．（1）如图①，由五个边长为的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开，拼成一个正方形这个正方形的面积为______，边长为______． （2）如图②，你能把由十个边长为的正方形组成的图形纸剪开，并拼成正方形吗？请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，并求得它的边长为______． （3）请仿照上题，在图③中画出边长为的正方形． 【答案】（1），；（2）见解析，；（3）见解析 【分析】本题考查了复杂作图，掌握勾股定理及正方形的面积公式是解题的关键． （1）根据拼图面积不变及正方形的面积公式求解； （2）仿照（1）先作边长线段，再作正方形； （3）仿照（2）作图． 【详解】解：（1）由五个边长为的小正方形组成的图形纸， ∴这个正方形的面积为，边长为， 故答案为：，； （2）由 如图②所示， 由十个边长为的正方形组成的图形纸 ∴这个正方形的面积为，它的边长为， 故答案为：； ∵ ∴如图③所示，正方形即为所求． 21．阅读材料，并完成下列问题： 寻找无理数：小明把两个面积为1的小正方形（图1①）分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形（图1②），从而找到无理数．问题再发现： (1)小刚受到小明的启发，把图2①剪拼成图2②后，找到无理数，请你在图2①中画出裁剪线（用实线）； (2)参考小明、小刚的作法，请你将图3中长为5，宽为2的长方形裁剪成若干块，拼成一个正方形； ①求该正方形的边长； ②请在图3中画出一种满足条件的裁剪线（用实线）． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查无理数的表示方法，勾股定理和无理数，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． （1）根据求解即可； （2）①首先根据题意得到拼成的正方形的面积为10，进而求解即可； ②根据求解即可． 【详解】（1）如图所示， （2）①∵长为5，宽为2的长方形的面积为 ∴拼成的正方形的面积为10 ∴该正方形的边长为； ②如图所示． 22．【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为________，大正方形的边长为________． 【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为________；大正方形的面积为________；边长为________． 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为5：4．请通过计算说明是否可行． 【答案】（1）2，；（2）1，13，；（3）不可行，理由见详解 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程，计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；边长为； （3）不可行，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 23．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：    (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为 如图2，当时，拼成的大正方形的边长为 如图3，当时，拼成的大正方形的边长为 (2)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． (3)小周想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)能，见解析 (3)不能，见解析 【分析】（1）①先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；②先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；③先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （2）假设可行，设长方形的长宽分别为和，则根据面积可求得的值，发现的值比正方形的边长小，故可能； （3）假设可行，设长方形的长宽分别为和，则根据面积可求得的值，，发现加边框后的长至少要，比正方形的边长大，故不可能． 【详解】（1）解：当时，则正方形的面积为，边长为； 当时，则正方形的面积为，边长为； 当时，则正方形的面积为，边长为． （2）能裁出这样的长方形，理由如下： 设长方形的长为，则宽为 ∴ 解得： ∴ ∴能裁出这样的长方形． （3）不能裁出这样的长方形，理由如下： 设长方形的长为，则宽为 ∴ 解得： ∴ 又∵要求长方形的四周至少留出的边框 因此加边框后的长至少要 ∵ ∴不能裁出这样的长方形． 【点睛】本题考查图形的探究，利用长宽比设未知数是解题的技巧，根据题意列方程是解题的关键． 题型九：新定义题 24．规定取的整数部分，例如：，，，则的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，有理数的加减混合运算，正确理解题意是解题的关键．根据的定义，分别求出的值，再代入计算即可． 【详解】， ， ， ， ， ，， 至的值均为1，至的值均为2，至的值均为3，至的值均为4，至的值均为5，至的值均为6， ． 故选：A． 25．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算：； ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)，1 (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，复数的定义，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则，以及正确理解题目所给的复数的定义． （1）把代入即可求解； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则，将括号展开，再根据计算即可； （3）先归纳出每4个数为一组，每组按照的顺序排列，即可进行计算． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，1； （2）解： ， ； （3）解：根据题意可得： ∵i，，，，，，，…… ∴每4个数为一组，每组按照的顺序排列； ， ∴ ． 26．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：，，这三个数，，，，其结果分别为，，，都是整数，所以，，这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是，“最大算术平方根”是． (1)试说明：，，这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知，，，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的倍，求的值． 【答案】(1)理由见解析，最小算术平方根是，最大算术平方根是 (2)或 【分析】本题考查算术平方根，理解“老根数”、“最小算术平方根”、“最大算术平方根”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个数乘积的算术平方根”是解决问题的关键． （1）根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可； （2）分三种情况进行解答即可，即，，，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，这三个数是“老根数”；其中最小算术平方根是，最大算术平方根是； （2）当时， ∵，，，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， ∴， 解得：； 当时， 依题意，得：， ∴， ∴， 解得：，不合题意舍去； 当时， 依题意，得：， ∴， 解得：， 综上所述，的值为或． 题型十：材料阅读题 27．阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中m、n为有理数，为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题： (1)若m、n均为有理数，且，求的立方根； (2)若m、n均为有理数，且，求和的值． 【答案】(1)1 (2)， 【分析】（1）根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可； （2）先整理成，其中m、n为有理数，为无理数，再按题干提供的方法求解． 本题考查了立方根，无理数的定义；理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解： ，其中，均为有理数， ，． 解得，， 则，1的立方根为1， 的立方根为1． （2）解：将原式整理，得，即， ∵m、n均为有理数， ，． 解得，． 28．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中、为有理数，那么_________，_________； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根； (3)若、都是有理数，且，试求的立方根． 【答案】(1)   (2)的算术平方根为5 (3)的立方根为1或 【分析】本题考查了立方根，实数的运算，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据已知可得，，然后进行计算即可解答； （2）根据已知可得，从而可得，进而可得：，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答； （3）根据已知可得，从而可得，，进而可得，，然后分两种情况进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵，其中a、b为有理数， ∴，， ，， 故答案为：；； （2）解：， ， ∵a、b为有理数， ∴， 解得：， ∴， ∴其算术平方根为5； （3）解：， ， ∴， 解得：或， ∴∴当，时，，的立方根为1； 当，时，，的立方根为． 29．【阅读材料】 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试： 第一步：∵，，， ∴． ∴能确定59319的立方根是个两位数． 第二步：∵59319的个位数是9， ∴能确定59319的立方根的个位数是9． 第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59， 而，则，可得， 由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 【解答问题】 根据上面材料，解答下面的问题 （1）求110592的立方根，写出步骤． （2）填空：__________． 【答案】（1）48；（2）28 【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可． （2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可． 【详解】解：（1）第一步：，，， ， 能确定110592的立方根是个两位数． 第二步：的个位数是2，， 能确定110592的立方根的个位数是8． 第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110， 而，则，可得， 由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48； （2）第一步：，，， ， 能确定21952的立方根是个两位数． 第二步：的个位数是2，， 能确定21952的立方根的个位数是8． 第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21， 而，则，可得， 由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28． 即， 故答案为：28． 【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度． 30．先阅读下面材料，再解答问题： 材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：若，其中a，b为有理数，是无理数，则． 证明：∵，a为有理数 ∴是有理数 ∵b为有理数，是无理数 ∴ ∴ ∴ (1)若，其中a、b为有理数，请猜想_________，_________，并根据以上材料证明你的猜想； (2)已知的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足，求x，y的值． 【答案】(1)3；1，证明见解析 (2) 【分析】（1）猜想有理数和有理数相等，无理数和无理数相等，根据若a+b=0，其中a，b为有理数，是无理数，则a=0，b=0进行证明； （2）估算无理数的大小，代入方程，化简即可得出答案． 【详解】（1）解： 猜想，； 证明∵a+b=3+，其中a、b为有理数， ∴a-3+（b-1）=0， ∴， ∵a为有理数， ∴为有理数， ∴是有理数， 又∵为有理数，是无理数， ∴即， ∴， ∴即， ∴，； 故答案为：3，1； （2）解：∵9＜11＜16， ∴3＜＜4， ∴a=3，， 代入得 ， ， 整理得 ， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了无理数的估算，实数的运算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 31．单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5 (1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值． 【答案】(1)2.65 (2)2.646 (3) 【分析】（1）设＝2.6＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案； （2）设＝2.64＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案； （3）设，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴＞2.6，设＝2.6＋r， 如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得5.2r＋6.76≈7， ∴r≈0.05，即≈2.65； （2）∵， ∴＞2.64，设＝2.64＋r， 如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得5.28r＋6.970≈7， ∴r≈0.006，即≈2.646； （3）∵n＜＜n＋1，且b＝n2＋m ∴设， 如下图所示，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得， ∴， ∵b＝n2＋m， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次根式、正方形、矩形的面积，解题的关键是仿照案例画出图形，再根据图形建立等式． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 实数 压轴题 题型一：立方根的性质 题型二：算术平方根、立方根小数点移动问题 题型三：算术平方根规律题 题型四：反证法证明无理数 题型五：程序框图题 题型六：无理数的整数部分与小数部分 题型七：实数与数轴 题型八：正方形的裁剪拼接与无理数的表示（中考新方向思想培养） 题型九：新定义题 题型十：材料阅读题 题型一：立方根的性质 1．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝ ． 2．有这样一道题目：“已知，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（    ） 甲：x的值是1； 乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值 A．甲说的对，x的值就是1 B．乙说的对，x的另一个值是2 C．乙说的对，x的另一个值是 D．两人都不对，x应有3个不同值 3．已知，且与互为相反数，求x，y的值． 题型二：算术平方根、立方根小数点移动问题 4．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 5．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． （2）已知，，则_____；______． （3），，，…… 小数点的变化规律是_______________________． （4）已知，，则______． 题型三：算术平方根规律题 6．观察下列各式： ＝＝＝2，即＝2 ＝＝＝3，即＝3，那么＝ ． 7．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值 ． 题型四：反证法证明无理数 8．【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互素的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互素的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互素的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数． 9．【阅读理解】 定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互素（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 解：设，a与b是互素的两个整数，且， 则，即_________①． ∵是整数且不为， ∴是的倍数． 设（是整数，且）， 则． ∴_________②． ∴也是的倍数，与，是互素的整数矛盾． ∴是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； ①__________________；②__________________ (2)证明：是无理数． 10．【阅读理解】 定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互素的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，a与b是互素的两个整数，且， 则 即 ① ． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以 ② ． 所以b也是偶数，与a，b是互素的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数， 11．在数学课本中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数． 阅读材料： “无理数”的由来 为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：， 也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 解：假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：_____________， 所以：，可得：， 所以：______________， 因为：______________， 所以：是一个无理数． 题型五：程序框图题 12．如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 13．如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题． (1)当x为8时，y的值为______． (2)当输出的y值是时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值． (3)是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． 题型六：无理数的整数部分与小数部分 14．阅读下而的文字，解答问题： 我们规定：用表示实数的整数部分，用表示实数的小数部分，例如，，，大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的基就是共小数部分，即根据以上的内容，解答下面的问题： (1)______，______； (2)如果，，求的平方根． 15．阅读下面文字，然后回答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，由于的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示，由此我们得到一个真命题：如果，其中x是整数，且，那么，．请解答下列问题： (1)如果，其中a是整数，且，那么a＝ ，b＝ ． (2)如果，其中c是整数，且，那么c＝ ，d＝ ． (3)已知，其中m是整数，且，求的值． 题型七：实数与数轴 16．如图，已知正方形 的边长为． (1)有的网格，每个方格的边长为1，把正方形画在网格中，要求顶点在格点上． (2)如图，把正方形放到数轴上，使得点A与数重合，边在数轴上，那么点D数轴上表示的数为________． (3)在（2）的条件下，如果a和b分别表示点D对应的无理数的整数部分和小数部分，求的值． 17．如图①，把两个边长为的小正方形沿对角线剪开，所得的个直角三角形拼成一个面积为的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图②中、两点表示的数分别为_______，________； （2）请你参照上面的方法： 把图③中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图③中画出裁剪线，并在图④的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_______．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） 18．下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2023年9月22日天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为． 类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！    任务： (1)在图3中画图确定表示的点M．    (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图中画出裁剪线，并在图4中画出所拼得的大正方形的示意图．    (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．    (4)在图6中的数轴上分别标出表示数以及的点，并比较它们的大小．    19．教材中，如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2的大正方形，它的边长是无理数．由此启发，我们可以尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形的方式找出其他无理数的大小．      如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形． (1)所得到的小正方形的边长为______；大正方形的边长为______． (2)把图2中的正方形放在数轴上，如图3，点C表示的数为1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B翻滚到数轴上的点P时，记为第一次翻滚，点A翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推．是否存在正整数n．使得该正方形经过n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与数轴上的2025重合？ 题型八：正方形的裁剪拼接与无理数的表示（中考新方向思想培养） 20．（1）如图①，由五个边长为的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开，拼成一个正方形这个正方形的面积为______，边长为______． （2）如图②，你能把由十个边长为的正方形组成的图形纸剪开，并拼成正方形吗？请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，并求得它的边长为______． （3）请仿照上题，在图③中画出边长为的正方形． 21．阅读材料，并完成下列问题： 寻找无理数：小明把两个面积为1的小正方形（图1①）分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形（图1②），从而找到无理数．问题再发现： (1)小刚受到小明的启发，把图2①剪拼成图2②后，找到无理数，请你在图2①中画出裁剪线（用实线）； (2)参考小明、小刚的作法，请你将图3中长为5，宽为2的长方形裁剪成若干块，拼成一个正方形； ①求该正方形的边长； ②请在图3中画出一种满足条件的裁剪线（用实线）． 22．【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为________，大正方形的边长为________． 【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为________；大正方形的面积为________；边长为________． 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为5：4．请通过计算说明是否可行． 23．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：    (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为 如图2，当时，拼成的大正方形的边长为 如图3，当时，拼成的大正方形的边长为 (2)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． (3)小周想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由． 题型九：新定义题 24．规定取的整数部分，例如：，，，则的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 25．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算：； ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______； (2)计算：； (3)计算：． 26．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：，，这三个数，，，，其结果分别为，，，都是整数，所以，，这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是，“最大算术平方根”是． (1)试说明：，，这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知，，，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的倍，求的值． 题型十：材料阅读题 27．阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中m、n为有理数，为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题： (1)若m、n均为有理数，且，求的立方根； (2)若m、n均为有理数，且，求和的值． 28．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中、为有理数，那么_________，_________； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根； (3)若、都是有理数，且，试求的立方根． 29．【阅读材料】 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试： 第一步：∵，，， ∴． ∴能确定59319的立方根是个两位数． 第二步：∵59319的个位数是9， ∴能确定59319的立方根的个位数是9． 第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59， 而，则，可得， 由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 【解答问题】 根据上面材料，解答下面的问题 （1）求110592的立方根，写出步骤． （2）填空：__________． 30．先阅读下面材料，再解答问题： 材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：若，其中a，b为有理数，是无理数，则． 证明：∵，a为有理数 ∴是有理数 ∵b为有理数，是无理数 ∴ ∴ ∴ (1)若，其中a、b为有理数，请猜想_________，_________，并根据以上材料证明你的猜想； (2)已知的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足，求x，y的值． 31．单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5 (1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$