专题04 立体几何与空间向量（浙江专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题04 立体几何与空间向量 题型概览 题型01空间几何体 题型02点、直线、平面之间的位置关系 题型03求异面直线所成的角 题型04向量法求线面角 题型05向量法求二面角 ( 题型01 ) 空间几何体 1．（2025·浙江台州·二模）已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为和，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的表面积公式可得结果. 【详解】如图所示，分别为上下底面的外心，则外接球球心在线段上， 连接并延长交于，连接并延长交AB于D， 设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式， ∴，， 设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式， ∴，C=CD=，则， 设正三棱台的外接球的半径, 得，解得，即. 故选：B.    2．（2025·浙江金华·二模）如图，，是棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先还原几何体，然后根据三棱锥表面积的求法求得正确答案. 【详解】还原正方体如下图所示， ，， ， 所以四面体的表面积为. 故选：B 3．（2025·浙江温州·二模）一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为4和8，高为3，用它加工成一个与圆台等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于9的矩形，且使其体积最大．现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半径最大值是（    ）（加工过程中不计损耗） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题可先求出圆台的相关数据，再确定四棱台的形状，进而分析余下木料的情况，找出能车削出最大半径球的木料并计算其半径. 【详解】 为上底面圆心，为下底面圆心，记棱台为， 棱台最大时，上下边之比为，不妨设，则， 所以球在与圆台围成部分可更大， 记中点为中点为交上底面圆于交下底面圆周于， 设球半径最大为，球心为，则如图，球与相切， 设，则，则， 所以，得． 故选：C 4．（2025·浙江·二模）（多选）设正方体的棱长为，点、分别为棱、上的动点（含端点），且，则下列说法正确的是（    ）    A．三棱锥的体积有最大值 B．三棱锥的外接球的体积为定值 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球的体积有最大值 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式结合锥体体积公式可判断A选项；将三棱锥补成长方体，利用长方体的几何性质求出外接球半径，结合球体体积公式可判断B选项；作正方体，设平面交线段于点，连接、，结合锥体的体积公式可判断C选项；建系，设，其中，求出外接球半径关于的函数关系式，结合闭区间上连续函数有最值可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，由勾股定理可得， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，等号成立，则， 故，即三棱锥的体积有最大值，A对； 对于B选项，将三棱锥补成长方体，    设三棱锥的外接球半径为，则， 所以，故三棱锥的外接球的体积为为定值，B对； 对于C选项，作正方体，如下图所示：    设平面交线段于点，连接、， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，同理可得， 故四边形为平行四边形， 因为，，由等角定理结合图形可得， 又因为，，故，则， 设，，则， 不是定值， 因为，平面，平面，则平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 故不为定值，C错； 对于D选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    设，其中，则、、、， 设三棱锥的外接球球心为，设球的半径为， 则，解得， 设，其中， 则函数在上连续，由闭区间上的连续函数有最值可知有最大值，D对. 故选：ABD. 5．（2025·浙江·二模）（多选）正方体的棱长为，点、分别在线段、上运动（包括端点），则下列结论正确的是（   ） A．正方体被经过、两点的平面所截，其截面的形状有可能是六边形 B．不可能与、都垂直 C．有可能与正方体的六个表面所成的角都相等 D．线段的中点所围成的区域的面积为 【答案】ACD 【分析】假设截面为六边形，作出图形，可判断A选项；建立空间直角坐标系，取，，利用空间向量法可判断BC选项；求出点的轨迹方程，确定点所围城区域的形状，结合三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，当分别为所在棱的中点时，符合题意，如下图所示，A正确； 对于B选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 取，，则、， 所以，，，， 所以，，，此时，与、都垂直，B错； 对于C选项，取，，则， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为， 同理可知，直线与表面其余各面所成角的正弦值都为， 因此，有可能与正方体的六个表面所成的角都相等，C对； 对于D选项，设点、，其中，， 则线段的中点为， 设点，则，即， 其中，，， 所以点的轨迹是以点、、、为顶点的平面四边形， 则，，则， ， 因为，所以， 故四边形是边长为的菱形，且，则为等边三角形， 故线段的中点所围成的区域的面积为，D对. 故选：ACD. 6．（2025·浙江金华·二模）（多选）几何体的体积可以看成面积的积累，因此可以得到：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，则两个几何体体积相等”.旋转体体积也可看作平面区域面积绕与其不相交的轴（可为其边界）旋转的积累，因每个点旋转的周长不一致，平面区域旋转的长度可用该区域的重心旋转长度替代，于是可得到旋转体体积计算方法：旋转体体积=旋转区域面积重心旋转的圆形轨迹周长.如图1，记圆面绕轴旋转形成的几何体体积为，记半圆面重心坐标为.如图2，阴影部分为函数与围成的区域，记该区域绕轴，轴旋转形成的几何体体积分别为，.则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用定义及圆的周长、面积公式计算可得A，将该半圆面绕旋转形成球体结合定义计算即可判定B；结合B的结论及图2阴影部分与半个单位圆面积的关系即可判定C；构造半径为1的圆柱减去图2阴影区域的旋转体的纵截面，再构造纵截面为半个单位圆及其内切圆，通过计算得同一截面截取该两个旋转体的面积相同计算即可判定D. 【详解】对于A，易知它的重心即其圆心，由定义可知，故A错误； 对于B，易知该半圆面绕旋转所得的几何体为半径为1的球体， 其体积，故B正确； 对于C，根据条件易知半圆面绕横轴旋转形成的几何体体积为 ， 设点， 则， 所以图2阴影面积小于半径为1的半圆面积，即，故C正确； 对于D，图（1）阴影区域满足，其绕纵轴旋转形成的几何体体积记为， 图（2）阴影区域满足，其绕纵轴旋转形成的几何体体积记为， 设纵坐标为的平面去截这两个几何体， 联立得，其截图（1）对应旋转体的截面面积为 ， 联立得，其截图（2）对应旋转体的截面面积为 ，则， 易知，而，故D正确； 故选：BCD 7．（2025·浙江台州·二模）（多选）如图，是由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成45°，上、下截面间的距离为.某高中数学兴趣小组对该几何体进行了探究，得出下列四个结论，其中正确的是（   ）    A．截口曲线的离心率为 B．该几何体的体积为 C．该几何体的侧面积为 D．该几何体的上截面面积为 【答案】BCD 【分析】对于A：求出长轴短轴长即可求得结果；对于选项B，C利用割补法将图形等价于底面半径为，高为的圆柱即可求得结果，对于选项D：利用椭圆的面积公式即可求得结果. 【详解】对于A：因为截面与圆柱体的轴成45°，且圆柱体底面半径为， 故截面椭圆长轴长为，短轴长为，故， 故，故A错误； 对于选项B：因为上、下截面间的距离为，所以， 将该几何体沿A点平行于圆柱底面切割补到以沿点B平行于圆柱底面的位置， 则正好是以底面半径为，高为的圆柱，则，故B正确； 对于选项C：同样以选项B的方法割补，侧面积即为以底面半径为2， 高为2的圆柱的侧面，,故选项C正确； 对于选项D：利用椭圆的面积公式：，故选项D正确， 故选：BCD ( 题型0 2 ) 点、直线、平面之间的位置关系 1．（2025·浙江温州·二模）（多选）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】BD 【分析】根据线面、面面平行的判定定理与性质，结合反证法，由选项依次证明即可. 【详解】如图，过点作交于点，连接，即有平面， 由于，所以， 若，则，又平面，平面， 所以平面，由平面， 得平面平面，又平面，所以平面，故B正确； 若平面，又因为平面平面，所以，由B可知D正确； 假设平面，设平面，则， 若平面，平面平面，所以， 反之若，当且仅当平面，即A、C同时正确或错误； 若，可能，也可能与相交． 若与相交，由知延长必与、交于同一点， 由几何关系知与不平行，故A、C错误． 故选：BD 2．（2025·浙江温州·二模）如图，在三棱锥中，是边长等于2的正三角形，，为的中点． (1)求证：； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）如图可得、，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由题意，根据余弦定理分别求出，即可求解. 【详解】（1）作中点，连接，则， 又，所以， 又因为是正三角形，且为中点，因此， 从而平面， 又平面，所以． （2）由题，，，，则. 在中，， 由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以， 设平面与平面夹角为， 由，知. 在中，由余弦定理得，解得， 设点到平面的距离为，则． ( 题型0 3 ) 求异面直线所成的角 1．（2025·浙江·二模）正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线所成角余弦值即可. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1， 则， 故， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为.    故选：C. 2．（2025·浙江·二模）如图，在三棱锥中，，为的中点，在底面的投影落在线段AD上. (1)证明：； (2)若，，，，在线段上，且满足平面平面，求直线与直线夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)0 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面，进而得出线线垂直； （2）法1：建立空间直角坐标系设，进而得出面的法向量再应用面面垂直即可得出，最后计算异面直线所成交即可；法2：根据图形特征得出边长，再根据线面垂直得出线线垂直. 【详解】（1）因为，D为的中点故，又平面，平面，故得，平面，于是平面，平面，从而. （2）法1：以为坐标原点，以射线为轴正半轴，射线为轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 于是，， 令，所以，又因为， 设面的法向量为. 所以，所以. 又，， 所以. 设面的法向量为. 所以，所以 根据平面，即，所以. 所以，，， ， 所以，得所成角为90度，正弦值为1. 法2：几何法. 作，垂足为M. 连CM，由三角形全等得，平面， 得平面，平面，从而平面平面. 在中，得， 在中，得， 在中，， 在中， 所以得， 又， 从而故，同理， 因为，所以， 所以平面，所以平面，因为平面，所以，得所成角为90度，余弦值为0. ( 题型0 4 ) 向量法求线面角 1．（2025·浙江·二模）（多选）在四边形中，，，，将沿折起，使点到达点的位置，下而正确的是（    ） A．直线与平面所成角的最大值为 B．异面直线与所成角的余弦值取值范围 C．若平面平面，则到平面的距离为 D．三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据解三角形可确定即可判定；对于B，由题可计算直线与平面的夹角为，然后可判断直线与所成角为时，两直线共面即可判断；对于C，利用等体积法可计算；对于D，发现为直角三角形，利用外接球半径不小于其外接圆半径可确定； 【详解】 对于A，，，，， 且， 所以直线与平面所成角的最大值为； 对于B，，，又平面， 所以平面，又，所以直线与平面的夹角为， 则直线与所成角最小角为，此时在直线上， 直线与所成角最大角为，当平面平面垂直时， ，平面平面，平面， 平面，， 所以异面直线与所成角的余弦值取值范围，故B错误； 对于C，由B知当平面平面垂直时，平面， ， 平面，，， 又，所以，， 设到平面的距离为，则， 解得，故C正确； 对于D，因为，所以为直角三角形， 外接圆半径分别为，故三棱锥外接球半径最小为2， 此时球心在中点处，表面积为，故D正确； 故选：ACD. 2．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，已知，平面平面，，，，点为梯形内（包括边界）一个动点，且平面． (1)求点的轨迹长度； (2)当线段最短时，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用空间中的垂直关系可得平面，建立如图所示的空间直角坐标系后利用直线的方向向量和平面的法向量可求的轨迹方程，从而可求轨迹长度； （2）利用向量法结合直线与平面所成角的正弦值为求得的长度，再结合向量法可求到直线的距离，从而可求体积. 【详解】（1）因为平面平面，，平面平面， 平面，故平面， 而，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因点为梯形内（包括边界）一个动点，可设，则， 又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因平面，则， 故，即， 取，则，取，则，故的轨迹长度为. （2）取的中点为，连接，连，由（1）可得的轨迹为. 又由（1）可得平面，而平面， 故，因，若线段最短，则最短，此时有， 而，故点为的中点，故， 设平面的法向量为，而，， 故，故可取， 因直线与平面所成角的正弦值为， 而，则得， 故，故或， 易得平面，则点到平面的距离为或， 又，， 故到直线的距离为， 易得，故， 故三棱锥的体积为或者为. 3．（2025·浙江台州·二模）已知四棱锥，底面ABCD是直角梯形，侧面PAD是等边三角形，，，AD=2，BC=1，，M是PD的中点. (1)求证：直线平面； (2)当二面角的大小为时，求直线CM与平面ABCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点E，连接得到为二面角的平面角，再建立空间直角坐标系利用向量法即可求得结果. 【详解】（1）如图，取的中点N，连接，又M是PD的中点， 则且，又因为，AD=2，BC=1， 所以且，所以四边形为平行四边形，故, 因为平面,平面,所以直线平面 （2）取的中点E，连接,因为三角形为等边三角形， 所以,且 且，所以四边形为平行四边形，, 因为，所以，所以为二面角的平面角， 所以,，所以三角形为等边三角形， 因为平面,平面， 所以平面,作于点O，因为平面，所以, 又因为平面,平面， 所以平面，如上图所示，以O为坐标原点，以OC为x轴， 以平行于AD为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系， 则,, 显然平面的法向量为，设直线CM与平面ABCD所成角为， 则， 故直线CM与平面ABCD所成角的正弦值为. 4．（2025·浙江杭州·二模）在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点. (1)设， （ⅰ）证明：平面； （ⅱ）求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2) 【分析】（1）（ⅰ）根据线面垂直，可证线面垂直； （ⅱ）利用可求三棱锥的体积. （2）建立空间真假坐标系，利用空间向量表示出直线与平面所成角的正弦值，再结合换元法和基本不等式可求其最大值. 【详解】（1）（ⅰ）在中，，，所以. 因为，，所以， 所以. 又因为，平面，， 所以平面. （ⅱ）. （2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设二面角的平面角为，则，，，. 所以.平面的法向量为. 设直线与平面所成角为，则. 设， 设， 所以，（当且仅当，即时取等号），即. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为. ( 题型0 5 ) 向量法求二面角 1．（2025·浙江嘉兴·二模）（多选）已知四棱锥，底面是边长为的正方形，底面，，点满足，，下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．当时，点到平面的距离为 C．当平面平面时， D．当二面角为时， 【答案】AC 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用空间向量法逐项判断即可. 【详解】因为底面，，底面是边长为的正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， ，其中， 故点， 对于A选项，，， 若存在点，使得，则，解得，合乎题意， 所以，存在点，使得，A对； 对于B选项，当时，点， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得，且， 所以，点到平面的距离为，B错； 对于C选项，设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 若平面平面，则，解得，C对； 对于D选项，平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 若二面角为，则，解得，D错. 故选：AC. 2．（2025·浙江·二模）如图，在直角梯形中，，，．将沿折起，使，连接，得到三棱锥． (1)求证：平面； (2)点是的中点，连接、，若， （i）求二面角的正切值； （ii）求三棱锥的外接球体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用线面垂直的判断定理证明平面，进而可证得平面； （2）（i）以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法求二面角的余弦值，进而求得正切值；（ii）由题意可知为三棱锥的外接球的球心，且球半径为，即可求解. 【详解】（1）因为，，，平面， 所以平面， 又平面，所以 又因为，，平面， 所以平面. （2）（i）以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，所以， ，设平面的一个法向量为，则， 取，则， 由（1）可知，平面的一个法向量为， 所以. 由图可知二面角平面角是锐角，记为，则，所以， 故二面角的正切值为. （ii）因为， 所以为三棱锥的外接球的球心，且球半径为， 故三棱锥的外接球体积为. 3．（2025·浙江·二模）如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，， (1)求平行六面体的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过作平面，结合边长关系得出高，再应用棱柱的体积公式计算求解； （2）建立空间直角坐标系再计算平面与平面的法向量，最后应用向量夹角公式计算求解. 【详解】（1）如图，过作平面，垂足为， 因为平面，所以， 过作， ，垂足分别为，， 连接，，平面，所以平面，平面，所以，同理得， 又，为公共边，所以，所以， 又，为公共边，所以， 所以，所以在的平分线上. 又底面是菱形，所以在上. 又，， 所以， 所以，所以为中点. ，，，所以， 菱形的面积为，所以平行六面体的体积为； （2）由（1）可得HA，HB，HA两两垂直，建系如图所示， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则， 取，则， 所以为平面的一个法向量， ， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为，则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 4．（2025·浙江·二模）已知四棱锥中，底面是梯形，，是等腰直角三角形，为棱上一点.    (1)当为中点时，求证：平面； (2)若，当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）    取中点，连接，则，且， 又，，所以且， 则四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）    在平面内，过点作直线， 由已知且，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 由，，，平面， 可得平面， 以为原点，分别为轴建系， 则， 由可得，则， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以， 不妨取平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 立体几何与空间向量 题型概览 题型01空间几何体 题型02点、直线、平面之间的位置关系 题型03求异面直线所成的角 题型04向量法求线面角 题型05向量法求二面角 ( 题型01 ) 空间几何体 1．（2025·浙江台州·二模）已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为和，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（   ） A．4 B． C．3 D．   2．（2025·浙江金华·二模）如图，，是棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江温州·二模）一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为4和8，高为3，用它加工成一个与圆台等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于9的矩形，且使其体积最大．现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半径最大值是（    ）（加工过程中不计损耗） A． B． C．1 D． 4．（2025·浙江·二模）（多选）设正方体的棱长为，点、分别为棱、上的动点（含端点），且，则下列说法正确的是（    ）    A．三棱锥的体积有最大值 B．三棱锥的外接球的体积为定值 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球的体积有最大值 5．（2025·浙江·二模）（多选）正方体的棱长为，点、分别在线段、上运动（包括端点），则下列结论正确的是（   ） A．正方体被经过、两点的平面所截，其截面的形状有可能是六边形 B．不可能与、都垂直 C．有可能与正方体的六个表面所成的角都相等 D．线段的中点所围成的区域的面积为 6．（2025·浙江金华·二模）（多选）几何体的体积可以看成面积的积累，因此可以得到：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，则两个几何体体积相等”.旋转体体积也可看作平面区域面积绕与其不相交的轴（可为其边界）旋转的积累，因每个点旋转的周长不一致，平面区域旋转的长度可用该区域的重心旋转长度替代，于是可得到旋转体体积计算方法：旋转体体积=旋转区域面积重心旋转的圆形轨迹周长.如图1，记圆面绕轴旋转形成的几何体体积为，记半圆面重心坐标为.如图2，阴影部分为函数与围成的区域，记该区域绕轴，轴旋转形成的几何体体积分别为，.则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江台州·二模）（多选）如图，是由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成45°，上、下截面间的距离为.某高中数学兴趣小组对该几何体进行了探究，得出下列四个结论，其中正确的是（   ）    A．截口曲线的离心率为 B．该几何体的体积为 C．该几何体的侧面积为 D．该几何体的上截面面积为 ( 题型0 2 ) 点、直线、平面之间的位置关系 1．（2025·浙江温州·二模）（多选）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 2．（2025·浙江温州·二模）如图，在三棱锥中，是边长等于2的正三角形，，为的中点． (1)求证：； (2)若，求点到平面的距离． ( 题型0 3 ) 求异面直线所成的角 1．（2025·浙江·二模）正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·二模）如图，在三棱锥中，，为的中点，在底面的投影落在线段AD上. (1)证明：； (2)若，，，，在线段上，且满足平面平面，求直线与直线夹角的余弦值. ( 题型0 4 ) 向量法求线面角 1．（2025·浙江·二模）（多选）在四边形中，，，，将沿折起，使点到达点的位置，下而正确的是（    ） A．直线与平面所成角的最大值为 B．异面直线与所成角的余弦值取值范围 C．若平面平面，则到平面的距离为 D．三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积的最小值为 2．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，已知，平面平面，，，，点为梯形内（包括边界）一个动点，且平面． (1)求点的轨迹长度； (2)当线段最短时，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 3．（2025·浙江台州·二模）已知四棱锥，底面ABCD是直角梯形，侧面PAD是等边三角形，，，AD=2，BC=1，，M是PD的中点. (1)求证：直线平面； (2)当二面角的大小为时，求直线CM与平面ABCD所成角的正弦值． 4．（2025·浙江杭州·二模）在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点. (1)设， （ⅰ）证明：平面； （ⅱ）求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. ( 题型0 5 ) 向量法求二面角 1．（2025·浙江嘉兴·二模）（多选）已知四棱锥，底面是边长为的正方形，底面，，点满足，，下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．当时，点到平面的距离为 C．当平面平面时， D．当二面角为时， 2．（2025·浙江·二模）如图，在直角梯形中，，，．将沿折起，使，连接，得到三棱锥． (1)求证：平面； (2)点是的中点，连接、，若， （i）求二面角的正切值； （ii）求三棱锥的外接球体积． 3．（2025·浙江·二模）如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，， (1)求平行六面体的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 4．（2025·浙江·二模）已知四棱锥中，底面是梯形，，是等腰直角三角形，为棱上一点.    (1)当为中点时，求证：平面； (2)若，当时，求平面与平面夹角的余弦值. 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$