专题01 集合与常用逻辑用语（浙江专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题01 集合与常用逻辑用语 题型概览 题型01集合的概念及运算 题型02集合新定义 题型03充分必要条件 ( 题型01 ) 集合的概念及运算 1．（2025·浙江·二模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江·二模）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江金华·二模）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江杭州·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． ( 题型0 2 )集合新定义 1．（2025·浙江台州·二模）已知集合，含两个元素的集合． （1）若，则满足条件的集合A的个数为 ； （2）若，则满足条件的不同的有序数对的个数为 ．（结果均要化简） 2．（2025·浙江杭州·二模）设，，…，是1，2，…，（且）的一个排列.数列满足为，，（）的中位数，规定，.将中的所有取值构成的集合记为. (1)当时，求和； (2)求中所有元素之和的最大值； (3)求中元素个数的最小值. ( 题型0 3 ) 充分必要条件 1．（2025·浙江·二模）“”是“直线与圆相切”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·浙江台州·二模）已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·浙江温州·二模）已知随机变量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·浙江·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语 题型概览 题型01集合的概念及运算 题型02集合新定义 题型03充分必要条件 ( 题型01 ) 集合的概念及运算 1．（2025·浙江·二模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由确定集合，再由交集运算即可求解. 【详解】， 所以， 故选：A 2．（2025·浙江·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将集合,化简再根据交集的定义即可求得答案. 【详解】 故选：D. 3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数定义域化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】由，得，，而， 所以. 故选：A 4．（2025·浙江·二模）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定全集和集合，再求出，最后根据补集的定义求出． 【详解】已知全集，表示自然数集，所以． 对于集合，解不等式，则其解为． 又因为，所以． 已知，，可得． 因为，，所以． 故选：C． 5．（2025·浙江·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，，再结合交集的定义，即可求解. 【详解】集合，， 所以， 故选：A. 6．（2025·浙江金华·二模）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合，根据补集运算和集合间关系判断. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 7．（2025·浙江杭州·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求集合，根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由或，所以， 所以， 故选：B. ( 题型0 2 )集合新定义 1．（2025·浙江台州·二模）已知集合，含两个元素的集合． （1）若，则满足条件的集合A的个数为 ； （2）若，则满足条件的不同的有序数对的个数为 ．（结果均要化简） 【答案】 【分析】（1）根据已知条件可得出.根据集合元素的性质设，则.依次列举可得出取不同值时取值的情况，观察可得出构成一个等差数列，根据等差数列前项和公式计算即可得出答案； （2）根据已知可得可知为4的整数倍.然后分为奇数、为2的奇数倍、为2的偶数倍，三种情况，分别求出满足条件的个数，求和即可得出答案. 【详解】（1）由可得， . 因为，所以. 又，所以有. 根据集合元素的无序性以及互异性，不妨设，则. 当时，可取2，3，4，……，，共种可能； 当时，可取3，4，……，，共种可能； 当时，可取4，……，，共种可能； …… 当时，可取，，，，，共5种可能； 当时，可取，，，共种可能； 当时，可取，共种可能. 易知1，3，5，……，，，构成了一个以1为首项，2为公差的等差数列，项数为项， 和为. （2）由（1）知，. 因为，可知为4的整数倍. ①当为奇数时，应取2的奇数倍， 显然在，满足条件的有2，6，……，，有个. 在，满足条件的有1，3，5，……，，有个. 此时满足条件的不同的有序数对的个数为； ②当为2的奇数倍时，应取4的整数倍， 显然在，满足条件的有4，8，……，，有个. 在，满足条件的有2，6，……，，有个. 此时满足条件的不同的有序数对的个数为； ③当为2的偶数倍，即4的整数倍时，应取4的整数倍，且， 显然在，满足条件的有4，8，……，，有个. 在，满足条件的有4，8，……，，且，有个. 此时满足条件的不同的有序数对的个数为. 综上所述，满足条件的不同的有序数对的个数为. 故答案为：；. 2．（2025·浙江杭州·二模）设，，…，是1，2，…，（且）的一个排列.数列满足为，，（）的中位数，规定，.将中的所有取值构成的集合记为. (1)当时，求和； (2)求中所有元素之和的最大值； (3)求中元素个数的最小值. 【答案】(1)， (2) (3)答案见解析 【分析】（1）取和，根据题意得到和； （2）先排除不可能的取值，然后得到最大值，并构造出对应数列，得到最大值可取； （3）先分析时，由三元素组分析得到.然后通过构建两个具有相同的大小顺序的数列，证明.从而得到的最小值.然后再构造出能够取到最小值的数量列即可. 【详解】（1）当时，1，2，3无论按何种顺序排列，中位数只能是2，故. 当时，在1，2，3，4中任取3个数：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2，3，4， 中位数只能为2或3，所以. （2）显然，不存在使得或， 故中所有元素的和， 且当时，有. 此时成立. （3）注意到对于任意，， 记中元素个数的最小值为，由（1）可知，，. 考虑的情形： 对于1，2，3，4，5的排列，1和5不可能作为中位数； 不妨，考虑三元素组，，，至少产生2个不同的中位数. ①若此时中位数为，，不妨，则，. 所以三元组将产生新的中位数，所以； ②若此时的中位数为，，则，，. 若，则三元组产生新的中位数； 若，则三元组产生新的中位数.所以. ③同理可知，若此时中位数为，；，也有； 所以，，. 下面证明：. 比较下面两个数列： （ⅰ），，…，，，. （ⅱ），，…，，，，，，. 其中，，…，和，，…，具有相同的大小顺序. 因此，这两个数列的前个三元数组所对应的中位数个数相同. 因此，只需要比较数列（ⅰ）中三元组，和数列（ⅱ）中三元组 ，，，，. 因为，数列（ⅱ）中至少增加1个新的中位数，故结论成立. 因为若，的中位数在前面未出现， 则，的中位数在前面也不会出现. 对于新增的中位数，若，的2个中位数在前面出现过， 则，的中位数在前面也出现过，至少新增的中位数. 综上：（）. 下面给出一种构造： ①当时，构造：， 此时，满足. ②当时，构造：， 此时，满足. ③当时，构造： ， 此时，满足. ( 题型0 3 ) 充分必要条件 1．（2025·浙江·二模）“”是“直线与圆相切”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用直线与圆相切求出，再利用充分条件、必要条件的意义判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 反之，当时，直线与圆相切， 所以“”是“直线与圆相切”的充要条件. 故选：C 2．（2025·浙江台州·二模）已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用复数模的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】复数，，则 ，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3．（2025·浙江温州·二模）已知随机变量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由正态曲线的对称性结合必要不充分条件的定义即可得到答案. 【详解】由知，可知，故，故成立； 反之，若，则，故为充要条件， 故选：C. 4．（2025·浙江·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】解不等式与，分别得出的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】因为，所以，， 所以，， 因为，所以，， 所以，， 因为真包含了， 所以 “”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$