专题08 计数原理与概率统计（浙江专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题08 计数原理与概率统计 题型概览 题型01统计 题型02独立性检验 题型03计数原理 题型04古典概率 题型05条件概率与全概率公式 题型06随机变量及其分布 ( 题型01 ) 统计 1．（2025·浙江金华·二模）一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（   ） A．极差 B．中位数 C．平均数 D．众数 【答案】C 【分析】对A，根据极差的定义判断；对B，举反例说明；对C，根据平均数的定义，利用反证法证明；对D，举反例说明. 【详解】对于A，去掉最大值后，新极差为原次大值与最小值之差， 若原次大值等于最大值，则极差不变，若原次大值不等于最大值，则极差改变，故A错误； 对于B，去掉最大值后，中位数可能改变，可能不变，如原数据为，中位数为2， 去掉3后，数据为，中位数还是2，故B错误； 对于C，设原平均数为，且按照从小到大的顺序， 假设去掉最大值后平均数不变，则， 所以，解得，由于原数据不全相等，则， 故矛盾，所以平均数一定改变，故C正确； 对于D，众数不一定改变，如数据为，众数为2，去掉4后，众数仍为2，故D错误. 故选：C. 2．（2025·浙江杭州·二模）已知数据，，…，的方差，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方差的计算公式，判断，可判断各选项的正确性. 【详解】因为，所以，即，（）. 即. 所以. 故选：D 3．（2025·浙江温州·二模）某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分层随机抽样的平均数和方差公式即可算出答案. 【详解】， 故选：D 4．（2025·浙江嘉兴·二模）（多选）下列说法正确的是（   ） A．数据1，2，4，5，6，8，10，11的下四分位数是3 B．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 D．以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则， 【答案】ACD 【分析】利用下四分位数的定义可判断A选项；利用样本系数的定义即可判断B选项；利用方差的性质可判断C选项；利用回归分析可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，所以，这组数据的下四分位数是，故A正确； 对于B选项，由题意得，其计算公式与相关系数的公式不同，则无法得到其相关系数的值，故B错误； 对于C选项，将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，满足方差的性质，故C正确； 对于D选项，以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为， 即，可得，故，，故D正确. 故选：ACD. 5．（2025·浙江·二模）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若随机变量服从正态分布，且，则 B．数据5，8，10，12，13的第40百分位数是8 C．在一元线性回归模型中，若决定系数，则残差的平方和为0 D．和的方差分别为和，若且，则 【答案】AC 【分析】由正态分布的对称性判断A；根据百分位数的运算公式判断B；根据残差的概念判断C；利用平均数定义得到，根据方差的计算公式判断D. 【详解】对于A，因为，又， 则，正确； 对于选项B，因为， 所以数据5，8，10，12，13的第40百分位数是，故选项B错误； 对于选项C，若决定系数，则散点图中的散点均落在一条斜率非0的直线上， 所以残差的平方和为0，C正确； 对于选项D，设的平均数为，，，，的平均数为， 因为，则， 又， ， 所以，故选D错误. 故选：AC ( 题型0 2 )独立性检验 1．（2025·浙江·二模）某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在两点进行投篮，共投两次．第一次投篮点可在两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点．在点投中得分，在点投中得分，未投中均得分，各次投中与否相互独立． (1)在参赛的同学中，随机调查50名的得分情况，得到如下列联表： 得分分 得分分 合计 先在点投篮 20 5 25 先在点投篮 10 15 25 合计 30 20 50 是否有的把握认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关？ (2)小明在点投中的概率为，在点投中的概率为． （i）求小明第一次投中的概率； （ii）记小明投篮总得分为，求的分布列及数学期望． 参考公式： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有的把握认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关 (2)（i）0.5；（ii）分布列见解析，期望为 【分析】（1）根据题意结合列联表，计算的值，即可判断结论； （2）设第次选择在点A投篮记为事件A，在点B投篮记为事件，投中记为事件，（i）根据题意结合全概率公式计算可求出小明第一次投中的概率；（ii）列出的所有取值，再计算出对应的概率，即可求解. 【详解】（1）零假设为：得分与第一投篮点选择独立，即得分无差异 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，因此认为得分与第一投篮点选择有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01 （2）设第次选择在点A投篮记为事件A，在点B投篮记为事件，投中记为事件， 则，,,. （i）P(E)=， 所以小明第一次投篮命中的概率为0.5. （ii）小明投篮总得分可取0，2，3，4，6，则 ， ， ， ， . ∴X的分布列为 X 0 2 3 4 6 P ∴. 2．（2025·浙江杭州·二模）某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 50 10 女性 25 15 40 总计 25 100 (1)求； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ (3)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为，求的数学期望. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)，； (2)与性别有关 (3) 【分析】（1）利用表格数据直接计算即可. （2）列出零假设，计算，再进行独立性检验即可. （3）先判断服从二项分布，再利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，. （2）零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联. 根据列联表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05； （3）随机抽取1人购买B款车的概率为， X的可能取值有，由题意得， 由二项分布的期望公式得. ( 题型0 3 ) 计数原理 1．（2025·浙江·二模）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C．240 D．360 【答案】B 【分析】根据展开式中每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解. 【详解】要得到这一项，相当于从6个含有三项的因式中的3个因式取，1个因式取，2个因式取， 即这一项为. 故的系数为. 故选：B 2．（2025·浙江·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别令，，得两式，运算可求得，再令，求得，即可得解. 【详解】因为， 当时，， 当时，①， 当时，②， ①+②=， 所以， 所以， 故选：C. 3．（2025·浙江温州·二模）（多选）已知二项展开式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】令即可判断A；令即可判断B；根据二项式展开式的通项公式计算即可判断C；令即可判断D. 【详解】A项：令，则，故A正确； B项：令，则①， 所以，故B错误； C项：，所以， ，所以，所以，故C正确； D项：令，则②， ①+②可得：，故D正确． 故选：ACD 4．（2025·浙江温州·二模）（多选）甲乙两人用《哪吒2》动漫卡牌玩游戏．游戏开局时桌上有盒动漫卡牌，每个盒子上都标有盒内卡牌的数量，每盒卡牌的数量构成数组，游戏规则如下：两人轮流抽牌，每人每次只能选择其中一盒并抽走至少一张卡牌，若轮到某人时无卡可抽，则该人输掉游戏．现由甲先抽，则下列开局中，能确保甲有必胜策略的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】将每盒卡牌中的卡片数量转为二进制数，再进行亦或求和，若初始条件是全零，则乙有必胜策略，反之则甲有必胜策略，保持操作之后是全零状态. 【详解】将每盒卡牌中的卡片数量转为二进制数， 再进行亦或求和， 若初始条件是全零，则乙有必胜策略， 反之则甲有必胜策略，保持操作之后是全零状态. A项：，非全零，甲胜：从第2盒中拿2个，故A符合题意； B项：，全零，乙胜，故B不符合题意； C项：，非全零，甲胜：拿走第三盒，故C符合题意； D项：，非全零，甲胜：从第1盒中拿2个，故D符合题意； 故选：ACD 5．（2025·浙江·二模）若的展开式中的系数为6，则实数的值为 . 【答案】3 【分析】由有,即可得的系数为，进而求得. 【详解】由有：，所以的系数为， 所以， 故答案为：3. 6．（2025·浙江嘉兴·二模）将个相同的球放入编号为、、的个盒子中，要求每个盒子至少放个球，且编号为的盒子中球数不超过个，则不同的放法种数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】对编号为的盒子中球数进行分类讨论，确定编号为的盒子中的球数，结合分类加法计数原理可得结果. 【详解】若编号为的盒子中球数为，则编号为的盒子中的球数可以为、、、，有种情况， 若编号为的盒子中球数为，则编号为的盒子中的球数可以为、、，有种情况， 综上所述，不同的放法种数为种. 故答案为：. ( 题型0 4 ) 古典概率 1．（2025·浙江·二模）一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为 . 【答案】 【分析】先求前三次中每一次都没有摸到红球的概率，进而得前三次均未摸到红球的概率，利用对立事件即可求得前三次至少有一次摸到红球的概率. 【详解】袋中有非红球6个，则第一次没有摸到红球的概率为， 第二次没有摸到红球的概率为，第三次没有摸到红球的概率为， 所以前三次均未摸到红球的概率为， 所以前三次至少有一次摸到红球的概率为. 故答案为：. 2．（2025·浙江杭州·二模）甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数（可以不选），分别构成集合，，，记中元素的个数为，则的概率为 . 【答案】 【分析】根据已知一个元素被某人选中的概率为且相互独立，应用独立乘法公式及对立事件的概率求法得两个元素均未被三人选中的概率为，最后应用对立事件的概率求法即可得. 【详解】设两个不同数为，一个元素被某人选中的概率为且相互独立， 所以一个元素被甲乙丙三人都选中的概率为， 由中元素的个数，表示至少一个元素被三人选中， 而两个元素均未被三人选中的概率为， 所以的概率为. 故答案为： ( 题型0 5 ) 条件概率与全概率公式 1．（2025·浙江·二模）有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7.先把这些卡片正面朝上排成一排.规定一次试验：掷一颗均匀的骰子一次，若点数为，则将向上数字为的卡片翻面并放置原处；若没有向上数字为的卡片，则卡片不作翻动.进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，骰子恰有一次点数为2的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】就正面数字为偶数的卡片翻一次、三次分类讨论后可求概率. 【详解】翻动正面数字为偶数的卡片时，奇偶性发生改变，翻动正面数字为奇数的卡片时，奇偶性不变，进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，则分为两类： （1）正面数字为偶数的卡片翻一次： ①掷3次骰子1次偶数2次奇数：种，其中恰有一次点数为2有27种， ②掷3次骰子2次同一个偶数1次奇数：种， ③掷3次骰子3次同一个偶数：3种， （2）正面数字为偶数的卡片一次翻三次：种，其中恰有一次点数为2有6种， 所以骰子恰有一次点数为2的概率为. 故选：C 2．（2025·浙江台州·二模）已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球，分别求出和，利用条件概率能求出在所取的球中有一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率. 【详解】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球， 则，， 已知一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率为： . 故选：A. 3．（2025·浙江嘉兴·二模）甲、乙两选手进行羽毛球比赛，比赛采用5局3胜制，如果每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，求： (1)赛完4局且甲获胜的概率； (2)在第3局乙获胜的情况下，最终是甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据第4局甲胜，前3局甲胜两局可求概率； （2）先求第3局乙获胜的概率，再求出第3局乙获胜且甲最终获胜的概率，从而可得所求的条件概率. 【详解】（1）赛完4局，甲获胜，则第4局甲胜，前3局甲胜两局， 设事件为“赛完4局且甲获胜”，则. （2）设为“甲获胜”，为“第3局乙获胜”，则， 事件包含两种情况，第3局乙获胜，第4局比赛后最终甲获胜和第3局乙获胜，第5局比赛后最终甲获胜， 其中第3局乙获胜，第4局比赛后最终甲获胜，则乙只在第3局获胜，概率为， 第3局乙获胜，第5局比赛后最终甲获胜，则第1,2,4局中，有1局乙获胜，有2局甲获胜， 第5局甲获胜，概率为， 而， 故. ( 题型0 6 ) 随机变量及其分布 1．（2025·浙江台州·二模）若随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】由可得，即， 因为随机变量，且， 故. 故选：B. 2．（2025·浙江·二模）（多选）下列结论正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量，且，则 D．若随机变量，且，则 【答案】BCD 【分析】利用正态分布的原则，结合对称性即可判断AB，利用二项分布的期望和方差公式可判断CD. 【详解】对于A，因为随机变量，则，所以，因为，所以，故A错误； 对于B，因为随机变量，则， 所以，， 根据正态分布曲线的对称性可知：，故B正确； 对于C，因为随机变量，所以， 又因为，所以，则有，故C正确； 对于D，由，则，故D正确； 故选：BCD. 3．（2025·浙江·二模）（多选）如图，多面体由正四面体和正四面体拼接而成，一只蚂蚁从顶点出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，落在点的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】蚂蚁从点 P 出发，第一次爬行后只能到达中的一个，从而可确定，从中的任一点出发，均有从该点出发的四条棱，故到达点或的概率为；设次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，只能从中的任一点出发到达点或，则可确定、 与的关系；到达中任一点，可能是从其它两点中的其一，或者从点或到达，从而可以表达，代值化简关系可得解. 【详解】设记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为， 则， 其中， 计算易得，故A、C正确，B错误； 由原方程组可得， 则，所以为常数列，且①. 同理，且，所以②， 由①②可知，=，所以，故D正确. 故选：. 4．（2025·浙江温州·二模）PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．假设一个小型的互联网由四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页开始浏览（记为第1次停留）． (1)求该用户第3次停留在网页上的概率； (2)某广告公司准备在网页中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由． 【答案】(1) (2)该公司应该选择网页，理由见解析 【分析】（1）根据、计算即可求解； （2）根据、；；；求出前4次停留网页对应的概率，求出对应的数学期望，比较大小即可下结论. 【详解】（1）、；；；. 第3次停留在网页上的事件有、， 其概率为． （2）由题意知，、；；；， 用表示第次停留在A,B,C,D处的事件， 则， 所以， ， 所以， 故该公司应该选择网页． 5．（2025·浙江·二模）一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.现随机地将骰子抛掷次，各次抛掷结果相互独立. (1)当时，求向上的点数最大是5的概率； (2)求向上的点数最大是2的概率； (3)记随机变量表示向上的点数最大值，若的数学期望不小于5，求抛掷次数的最小值. 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）法一：把最大点数是的情况分成出现一次点、两次点、三次点三类，算出各类可能数，再除以总可能数得概率. 法二：用次点数都不大于的概率减去次点数都不大于的概率，得到最大点数是的概率. （2）法一：分析掷次骰子出现不同数量点其余为点的组合情况，用组合数表示，再除以总可能数，结合二项式定理化简得概率. 法二：用次点数都不大于的概率减去次点数都为的概率，得到最大点数等于的概率. （3）法一：按最大点数出现次数分类，用组合数算情况数求和得. 法二：用点数不超的概率减不超的概率得. 算期望得 ，由得. 记，知道递减，求出最小为. 【详解】（1）法一.设将一个质地均匀的骰子掷3次最大点数是5为事件A， 若出现一次5点，则共有种可能， 若出现两次5点，则共有种可能， 若出现3次5点，则只有1种可能. 所以 法二：每一次骰子点数小于或等于5的概率为，由独立事件同时发生的概率公式得3次骰子点数都不大于5得概率为， 每一次骰子点数小于或等于4的概率为，所以 （2）法一：掷次骰子出现一次2点，其余全是1点有种可能，出现两次2点，其余全是1点有种可能， 以此类推，次全是2点有种可能，由古典概型的概率公式得 法二：设掷次骰子的最大点数等于2为事件，因为每次骰子点数小于或等于2的概率为， （3）由独立事件同时发生的概率公式得次骰子点数都不大于2的概率为，每一次骰子点数等于1的概率为，所以 随机变量可取1，2，3，4，5，6 法一：若次出现得最大点数为，， 当等于1时，若，则点数出现1次，共有种可能，点数出现2次，共有种可能， 以此类推，若点数出现次，，，则共有种可能， 可得 法二：若最大点数为，则出现点数都不超过的概率为，出现点数都不超过的概率为， 所以， 所以 令得 记，则关于单调递减， 而，，所以的最小值为4. 6．（2025·浙江台州·二模）某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如右： 了解情况 非常了解 一般了解 不了解 人数（名） 580 320 100 (1)从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率； (2)该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求X的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算即可得出结果； （2）先求出重点宣传后 “非常了解” 的概率，再根据二项分布的性质确定X的分布列和数学期望，即可求得结果. 【详解】（1）已知随机抽取了1000名市民进行调查，其中 “不了解” 的人数为100名， 根据古典概型概率公式可得， 所以从该市成年人口中随机抽取1人，对垃圾分类知识 “不了解” 的概率. （2）原来 “不了解” 的市民占比为0.1，“非常了解” 的市民占比为，“一般了解” 的市民占比为， 经过重点宣传后，“不了解” 的市民中有转变为 “一般了解”，有转变为 “非常了解”，其余保持不变， 所以重点宣传后 “非常了解” 的概率为. 从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识 “非常了解” 的人数，因为每次抽取是相互独立的，且抽取到 “非常了解” 的概率都为0.6，所以， 根据二项分布的概率公式. ， ， ， . 所以X的分布列为： 0 1 2 3 0.064 0.288 0.432 0.216 因为，根据二项分布的数学期望公式可得. 7．（2025·浙江金华·二模）有，两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金元. (1)猜两道谜语，求张某仅猜对其中一道的概率； (2)若规定只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，求的值，使得张某先猜谜语和先猜谜语所获得的奖金期望相同. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式即可计算求解. （2）分别计算两种不同顺序下的期望值，建立方程求解即可. 【详解】（1）设张某仅猜对其中一道谜语为事件M，猜对A谜语为事件A，猜对B谜语为事件B 则. （2）设张某先猜A谜语获得的奖金为元，先猜B谜语获得的奖金为元， 则的取值分别是0，10，，的取值分别是0，，， ，，， 所以； ，，， 所以. 由得，解得. 15 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 计数原理与概率统计 题型概览 题型01统计 题型02独立性检验 题型03计数原理 题型04古典概率 题型05条件概率与全概率公式 题型06随机变量及其分布 ( 题型01 ) 统计 1．（2025·浙江金华·二模）一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（   ） A．极差 B．中位数 C．平均数 D．众数 2．（2025·浙江杭州·二模）已知数据，，…，的方差，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江温州·二模）某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江嘉兴·二模）（多选）下列说法正确的是（   ） A．数据1，2，4，5，6，8，10，11的下四分位数是3 B．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 D．以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则， 5．（2025·浙江·二模）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若随机变量服从正态分布，且，则 B．数据5，8，10，12，13的第40百分位数是8 C．在一元线性回归模型中，若决定系数，则残差的平方和为0 D．和的方差分别为和，若且，则 ( 题型0 2 )独立性检验 1．（2025·浙江·二模）某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在两点进行投篮，共投两次．第一次投篮点可在两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点．在点投中得分，在点投中得分，未投中均得分，各次投中与否相互独立． (1)在参赛的同学中，随机调查50名的得分情况，得到如下列联表： 得分分 得分分 合计 先在点投篮 20 5 25 先在点投篮 10 15 25 合计 30 20 50 是否有的把握认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关？ (2)小明在点投中的概率为，在点投中的概率为． （i）求小明第一次投中的概率； （ii）记小明投篮总得分为，求的分布列及数学期望． 参考公式： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 2．（2025·浙江杭州·二模）某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 50 10 女性 25 15 40 总计 25 100 (1)求； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ (3)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为，求的数学期望. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 ( 题型0 3 ) 计数原理 1．（2025·浙江·二模）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C．240 D．360 2．（2025·浙江·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江温州·二模）（多选）已知二项展开式，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江温州·二模）（多选）甲乙两人用《哪吒2》动漫卡牌玩游戏．游戏开局时桌上有盒动漫卡牌，每个盒子上都标有盒内卡牌的数量，每盒卡牌的数量构成数组，游戏规则如下：两人轮流抽牌，每人每次只能选择其中一盒并抽走至少一张卡牌，若轮到某人时无卡可抽，则该人输掉游戏．现由甲先抽，则下列开局中，能确保甲有必胜策略的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·二模）若的展开式中的系数为6，则实数的值为 . 6．（2025·浙江嘉兴·二模）将个相同的球放入编号为、、的个盒子中，要求每个盒子至少放个球，且编号为的盒子中球数不超过个，则不同的放法种数为 ．（用数字作答） ( 题型0 4 ) 古典概率 1．（2025·浙江·二模）一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为 . 2．（2025·浙江杭州·二模）甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数（可以不选），分别构成集合，，，记中元素的个数为，则的概率为 . ( 题型0 5 ) 条件概率与全概率公式 1．（2025·浙江·二模）有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7.先把这些卡片正面朝上排成一排.规定一次试验：掷一颗均匀的骰子一次，若点数为，则将向上数字为的卡片翻面并放置原处；若没有向上数字为的卡片，则卡片不作翻动.进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，骰子恰有一次点数为2的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江台州·二模）已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江嘉兴·二模）甲、乙两选手进行羽毛球比赛，比赛采用5局3胜制，如果每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，求： (1)赛完4局且甲获胜的概率； (2)在第3局乙获胜的情况下，最终是甲获胜的概率． ( 题型0 6 ) 随机变量及其分布 1．（2025·浙江台州·二模）若随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·二模）（多选）下列结论正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量，且，则 D．若随机变量，且，则 3．（2025·浙江·二模）（多选）如图，多面体由正四面体和正四面体拼接而成，一只蚂蚁从顶点出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，落在点的概率为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江温州·二模）PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．假设一个小型的互联网由四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页开始浏览（记为第1次停留）． (1)求该用户第3次停留在网页上的概率； (2)某广告公司准备在网页中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由． 5．（2025·浙江·二模）一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.现随机地将骰子抛掷次，各次抛掷结果相互独立. (1)当时，求向上的点数最大是5的概率； (2)求向上的点数最大是2的概率； (3)记随机变量表示向上的点数最大值，若的数学期望不小于5，求抛掷次数的最小值. 6．（2025·浙江台州·二模）某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如右： 了解情况 非常了解 一般了解 不了解 人数（名） 580 320 100 (1)从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率； (2)该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求X的分布列及数学期望. 7．（2025·浙江金华·二模）有，两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金元. (1)猜两道谜语，求张某仅猜对其中一道的概率； (2)若规定只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，求的值，使得张某先猜谜语和先猜谜语所获得的奖金期望相同. 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$