专题07 平面解析几何（浙江专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题07 平面解析几何 题型概览 题型01圆 题型02椭圆 题型03双曲线 题型04抛物线 题型05圆锥曲线中的最值、定值问题 题型06圆锥曲线中的三角形、四边形面积问题 ( 题型01 ) 圆 1．（2025·浙江台州·二模）已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（   ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 2．（2025·浙江·二模）已知P是直线上的任意一点，若过点P作圆的两条切线，切点分别记为，则劣弧长度的最小值为 . ( 题型0 2 ) 椭圆 1．（2025·浙江·二模）如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（   ）    A． B． C． D． 2．（2025·浙江杭州·二模）（多选）设曲线，直线与曲线的交点的可能个数的集合记为，则（   ） A． B． C． D．若，则且 3．（2025·浙江·二模）已知斜率大于零的直线交椭圆于两点，交轴分别于两点，且是线段的三等分点，则直线的斜率为 ． ( 题型0 3 ) 双曲线 1．（2025·浙江·二模）已知分别是双曲线的左､右焦点，为左顶点，是双曲线在第四象限上一点，的斜率为，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（2025·浙江嘉兴·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，，直线是的内角平分线，，，则的离心率（   ） A． B． C．2 D． 3．（2025·浙江温州·二模）双曲线的一个焦点为，则（    ） A． B． C．3 D． 4．（2025·浙江台州·二模）已知，为双曲线C：的左、右焦点，过作直线l与双曲线的右支交于A，B两点，且，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·二模）已知直线为双曲线（，）的一条渐近线，则双曲线的离心率为 . ( 题型0 4 ) 抛物线 1．（2025·浙江金华·二模）过抛物线：的焦点且斜率为的直线与交于，两点，线段，的中点分别为，，为坐标原点，直线，与抛物线的另一个交点分别为，，记点，到轴距离分别为，，则（   ） A． B． C．轴 D．若，则 2．（2025·浙江·二模）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，过点作的切线，交轴于点，过点作直线的平行线交轴于点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江温州·二模）已知是抛物线在第一象限上的点，是抛物线的焦点，（为坐标原点）则抛物线在处切线的斜率是 ． 4．（2025·浙江·二模）位于第一象限的一点满足，过作的切线，切点为，且满足，设为关于的对称点. (1)证明： (2)（i）若过的另一条切线切于，设为关于的对称点，如此重复进行下去，若为关于切点的对称点，设，证明：为等差数列. （ii）由ⅰ所设且，求的值. 5．（2025·浙江嘉兴·二模）在平面直角坐标系中，将每个点绕原点沿逆时针方向旋转角的变换称为旋转角为的旋转变换，设点经过旋转角的旋转变换后变成点，则 (1)在的旋转变换下，若点变成点，直线变成直线，求：的坐标和直线的斜率； (2)已知曲线是由平面直角坐标系下焦点在轴上的抛物线绕原点逆时针旋转所得的斜抛物线的方程． ①求斜抛物线的焦准距； ②已知在斜抛物线上，按如下规则依次构造点列：过点作斜率为的直线交于点，再过点作斜率为的直线交于点，记的面积为．求证：． ( 题型0 5 )圆锥曲线中的最值、定值问题 1．（2025·浙江温州·二模）在平面直角坐标系中，已知点，是直线右侧区域内的动点，到直线与轴的距离之和等于它到点距离的4倍，记点的轨迹为． (1)求的方程，并在图中画出该曲线； (2)直线过点，与交于，两点， （i）若，求直线的方程： （ii）若，是点关于轴的对称点，延长线段交于点，延长线段交于点，直线交轴于点，求的最小值． 2．（2025·浙江·二模）已知椭圆，过作椭圆在第四象限的切线，其中切点为.设是椭圆第一象限上的动点，过作椭圆的另一条切线，交轴于点. (1)求切线的方程； (2)过点垂直于轴的直线与直线交于点，求面积的最大值； (3)直线和切线相交于点，过点作的平行线交切线于点.问：是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 3．（2025·浙江·二模）已知是椭圆的右焦点，椭圆离心率，且椭圆上任意一点与点距离的最大值为3.    (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点. ①求的最小值； ②设分别为椭圆的左､右顶点，不垂直轴的直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点，问直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 4．（2025·浙江金华·二模）如图，双曲线：的虚轴长为2，离心率为，斜率为的直线过轴上一点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线上存在关于直线对称的不同两点，，直线与直线及轴的交点分别为，. （i）当时，求的取值范围； （ii）当时，求的最小值. 5．（2025·浙江杭州·二模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程； (2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； (3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. ( 题型0 6 )圆锥曲线中的三角形、四边形面积问题 1．（2025·浙江·二模）（多选）已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（    ） A．曲线的轨迹方程为 B．已知点，若为曲线上的动点，则的最小值为4 C．过点恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点 D．圆与曲线交于，两点，与直线交于，两点，则，，，四点围成的四边形的面积为8 2．（2025·浙江·二模）已知双曲线（）的左，右焦点分别为，且，圆与的渐近线相切． (1)求双曲线的标准方程； (2)若上两点满足（），且四边形的面积为，求的值． 3．（2025·浙江台州·二模）已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求直线l的方程； (3)过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值. 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平面解析几何 题型概览 题型01圆 题型02椭圆 题型03双曲线 题型04抛物线 题型05圆锥曲线中的最值、定值问题 题型06圆锥曲线中的三角形、四边形面积问题 ( 题型01 ) 圆 1．（2025·浙江台州·二模）已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（   ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 【答案】D 【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：D 2．（2025·浙江·二模）已知P是直线上的任意一点，若过点P作圆的两条切线，切点分别记为，则劣弧长度的最小值为 . 【答案】 【分析】画出图形并根据所求角的范围可知当时，劣弧最小，即可得出劣弧长度的最小值. 【详解】如下图所示： 易知圆心到直线的距离为， 在直角三角形中，，， 所以，所以； 因此可知当时，劣弧最小， 此时，即可得； 所以劣弧AB长度的最小值为. 故答案为： ( 题型0 2 ) 椭圆 1．（2025·浙江·二模）如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆及双曲线定义，结合等腰直角三角形，计算求解离心率. 【详解】    设左焦点为，则，，，， 在中用勾股定理，化简得， 所以 所以，所以. 故选:C. 2．（2025·浙江杭州·二模）（多选）设曲线，直线与曲线的交点的可能个数的集合记为，则（   ） A． B． C． D．若，则且 【答案】ACD 【分析】根据曲线方程有，且渐近线为，当，，即曲线上半部分为双曲线的一部分，下半部分为椭圆的一部分，且曲线关于y轴对称，应用对称性研究时直线与曲线的交点情况判断各项正误即可. 【详解】当有且渐近线为，当有，如下图示， 曲线上半部分为双曲线的一部分，下半部分为椭圆的一部分，且曲线关于y轴对称， 根据对称性，只需讨论的情况，讨论如下： 当， 时，直线与曲线无交点； 时，直线与曲线有1个交点； 时，直线与曲线有2个交点； 当， 时，如下图直线，随变化过程， 由图知，直线与椭圆部分相切为界，即有1个交点； 此时不变，，直线与曲线有2个交点，，直线与曲线无交点， 所以直线与曲线的交点个数有三种可能； 时，，如下图直线与曲线有2个交点； 当，如下图，分别以直线与曲线双曲线、椭圆部分相切为界， 直线在双曲线部分相切线上方时，直线与曲线恒有1个交点， 直线与双曲线部分相切时，直线与曲线恒有2个交点， 直线在椭圆相切线下方时，直线与曲线无交点， 直线与椭圆部分相切时，直线与曲线有1个交点， 直线在两条相切线之间时，直线与曲线有3个交点， 综上，，A对； 对于直线恒过点，随的变化与曲线位置，如下图示， 时直线与曲线恒有2个交点；时直线与曲线恒有1个交点； 所以与曲线的交点可能有两种可能，即，B错； 对于，以直线与椭圆部分相切、直线与双曲线渐近线平行为界， 联立，则且， 若，可得，如下图示， 当时，直线与曲线有2个交点； 当或时，直线与曲线有1个交点； 当时，直线与曲线无交点； 所以与曲线的交点可能有两种可能，即，C对； 结合A分析，时存在直线与曲线有3个交点，而其它情况不存在， 此时，假设，显然直线与曲线有且仅有1个交点，不符合， 所以，结合对称性，直线与曲线有3个交点，必有且，D对. 故选：ACD 3．（2025·浙江·二模）已知斜率大于零的直线交椭圆于两点，交轴分别于两点，且是线段的三等分点，则直线的斜率为 ． 【答案】/0.5 【分析】设直线为，，推出，联立椭圆方程，设，则，并求出的坐标，线段的中点为线段的中点，从而得到方程，求出答案. 【详解】设直线为，， 若，此时均与原点重合，，但，故不合要求， 所以， 与联立得， ，解得， 设，则，故， 中，令得，故，令得，故， 的中点坐标为， 是线段的三等分点，故线段的中点为线段的中点， 故，解得，负值舍去. 故答案为： ( 题型0 3 ) 双曲线 1．（2025·浙江·二模）已知分别是双曲线的左､右焦点，为左顶点，是双曲线在第四象限上一点，的斜率为，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据两点式斜率公式及直线垂直的斜率关系列式求出的坐标，代入双曲线方程化简得，构造，利用导数研究其单调性，进而判断方程无解，即可求出离心率. 【详解】由题意，设， 由的斜率为得，又，所以， 所以，解得，则， 代入双曲线方程得，结合， 化简得， 有，即，而， 构造， 则，其开口向上，且对称轴为， 故当时，，所以在上单调递增，所以， 所以方程无解，所以. 故选：A 2．（2025·浙江嘉兴·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，，直线是的内角平分线，，，则的离心率（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义结合中位线可求，故可求离心率. 【详解】不妨设在右支上，则， 因为，故，故， 取的中点为，则，而，在直线上， 而，故在的延长线上， 由，可得，而为角平分线， 故，故， 故，故，所以即， 故， 故选：D. 3．（2025·浙江温州·二模）双曲线的一个焦点为，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】由双曲线中的平方关系即可得出答案. 【详解】由题意得，所以． 故选：A. 4．（2025·浙江台州·二模）已知，为双曲线C：的左、右焦点，过作直线l与双曲线的右支交于A，B两点，且，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据双曲线定义表示，在中利用余弦定理可得，在中利用余弦定理可得的关系，即可得到双曲线离心率. 【详解】由双曲线定义得，，， 设，则由图，， 在中，由余弦定理得，解得， ∴. 在中，由余弦定理得， ∴，故离心率. 故选：B. 5．（2025·浙江·二模）已知直线为双曲线（，）的一条渐近线，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据双曲线渐近线斜率的计算，结合离心率的计算，可得答案. 【详解】由题意可得，设，，则，所以离心率. 故答案为：. ( 题型0 4 ) 抛物线 1．（2025·浙江金华·二模）过抛物线：的焦点且斜率为的直线与交于，两点，线段，的中点分别为，，为坐标原点，直线，与抛物线的另一个交点分别为，，记点，到轴距离分别为，，则（   ） A． B． C．轴 D．若，则 【答案】C 【分析】设，,的直线方程，求出,进而求出，判断选项A,B,求出直线方程，表达出,判断选项C,再根据,求出的值，判断选项D. 【详解】设，,的直线方程， 因为线段的中点分别为, 所以， 根据中位线性质，则，， 由抛物线的定义可得，，，故A,B错误； 设直线方程：， 联立可得，，则， 故， 同理可得 又,则 故，故 则，故轴,故C正确；    由,则， 则，再由，故 则或（舍去），故 故，则，故D错误. 故选：C. 2．（2025·浙江·二模）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，过点作的切线，交轴于点，过点作直线的平行线交轴于点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，焦点，由直线过焦点，可得，设在点处的切线方程为，与抛物线方程联立，由于，解得的值，从而求得点M的坐标，过点作直线的平行线，故，可得直线的方程为，从而求得点N的坐标，故而求得，利用基本不等式求得最小值. 【详解】 设，焦点， 设直线方程为，则，化简得， 所以，， 所以， 设在点处的切线方程为， ，化简得， 因为，化简得，， 则在点处得切线方程为，即， 令，则，故， 则， 过点作直线的平行线，故， 所以直线的方程为， 令，则，故, , 所以， 当且仅当时等号成立，取到最小值9. 故选：C. 3．（2025·浙江温州·二模）已知是抛物线在第一象限上的点，是抛物线的焦点，（为坐标原点）则抛物线在处切线的斜率是 ． 【答案】 【分析】先设，再根据焦半径公式计算求得，最后结合求导即可得出切线斜率. 【详解】设，则， 所以，解得， 设抛物线在处切线的斜率是，因为，所以， 所以在函数上，所以，所以． 故答案为：. 4．（2025·浙江·二模）位于第一象限的一点满足，过作的切线，切点为，且满足，设为关于的对称点. (1)证明： (2)（i）若过的另一条切线切于，设为关于的对称点，如此重复进行下去，若为关于切点的对称点，设，证明：为等差数列. （ii）由ⅰ所设且，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）法一：根据抛物线利用导数确定曲线在点的切线斜率与，的坐标关系，再利用点的对称与点在曲线上可得结论；法二：设切线为，令得，解关于方程从而，解方程根据坐标关系证得结论； （2）（i）设过的切线为：，联立，令，解关于方程，结合等差数列的定义得结论；（ii）根据（i）中结论结合直线与曲线相交弦长求得答案. 【详解】（1）证明：方法一：， 又， ， 方法二：设切线为，联立 得：，令得 要证 即. （2）（ⅰ）设过的切线为：，联立 得，令 记，则设，， ， ，为等差数列 （ii） 此时. 5．（2025·浙江嘉兴·二模）在平面直角坐标系中，将每个点绕原点沿逆时针方向旋转角的变换称为旋转角为的旋转变换，设点经过旋转角的旋转变换后变成点，则 (1)在的旋转变换下，若点变成点，直线变成直线，求：的坐标和直线的斜率； (2)已知曲线是由平面直角坐标系下焦点在轴上的抛物线绕原点逆时针旋转所得的斜抛物线的方程． ①求斜抛物线的焦准距； ②已知在斜抛物线上，按如下规则依次构造点列：过点作斜率为的直线交于点，再过点作斜率为的直线交于点，记的面积为．求证：． 【答案】(1)， (2)①焦准距为；②证明见解析. 【分析】（1）根据题设中旋转变换公式可求及. （2）①根据题设中变换公式得旋转前的曲线方程为，故可求焦准距；②根据题设中的旋转变换得旋转前后直线的斜率关系，以旋转前的抛物线为研究对象，通过斜率关系得的横坐标满足，再结合距离公式等得面积，求和后可证题设中的不等式. 【详解】（1）由题设中的变换方法有，故，故. 设上的任意一点为，旋转前对应的点为， 则即， 故即， 整理得，故，故的斜率为. （2） ①设抛物线上的点为，旋转后对应的点为， 则即， 故 ， 整理得：，该抛物线的焦准距为，但旋转变换不改变焦准距， 故斜抛物线的焦准距为. ②由（1）可得对应的， 设曲线上有两个上有两个，其对应的点为， 则且， 则， 故 设对应的点为，对应的点为，则在抛物线上且， ，设，则， 又，且，整理得到，， 所以，而，故， 故，而也符号该式，故. 又的方程为即， 而， 而到直线的距离为， 故的面积为 ， 由于旋转变换不改变图形面积，故， 故. ( 题型0 5 )圆锥曲线中的最值、定值问题 1．（2025·浙江温州·二模）在平面直角坐标系中，已知点，是直线右侧区域内的动点，到直线与轴的距离之和等于它到点距离的4倍，记点的轨迹为． (1)求的方程，并在图中画出该曲线； (2)直线过点，与交于，两点， （i）若，求直线的方程： （ii）若，是点关于轴的对称点，延长线段交于点，延长线段交于点，直线交轴于点，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i） （ii） 【分析】（1）根据题意列出方程，化简即可得的方程； （2）（i）不妨设直线交圆于点，可判断点一定在椭圆上， 设可求出点坐标，进而求出直线方程； （ii）易知，则点也在圆上，所以， 联立和椭圆方程得到关于的一元二次不等式，即可解出的最小值. 【详解】（1）设，则有， 当时，化简得； 当时，化简得， 所以，曲线如图所示： （2）（i）如图所示，不妨设点在圆上，则，，所以点在椭圆上． 设， 解得，所以，所以， 所以直线方程为． （ii）由题意知，故点也在圆上，又为直径，所以． 设，，联立椭圆方程，得 ， 则， 因为，，， 则 所以， 即， 所以，所以， 解得，即的最小值为. 2．（2025·浙江·二模）已知椭圆，过作椭圆在第四象限的切线，其中切点为.设是椭圆第一象限上的动点，过作椭圆的另一条切线，交轴于点. (1)求切线的方程； (2)过点垂直于轴的直线与直线交于点，求面积的最大值； (3)直线和切线相交于点，过点作的平行线交切线于点.问：是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）设，联立椭圆方程，利用判别式等于0，即可求得答案； （2）求出A点坐标，即可得，从而表示出面积的表达式，利用三角代换，即可求得答案； （3）假设存在实数，使得成立，只需证明时结论成立即可. 【详解】（1）由题意可知斜率不为0，且斜率为正， 设，联立椭圆， 可得：，令， （负值舍），则 （2）由（1）可知：即， 则，则直线的方程为， 则，则. 设，， 则 ， ，所以，当时取到最大值. （3）假设存在实数，使得成立， 下证：，即证：. 由题可知在的切线方程为：.令，， ，，所以. 联立和，解得交点的横坐标. ，因此，即， 故假设成立，即存在实数，使得成立. 3．（2025·浙江·二模）已知是椭圆的右焦点，椭圆离心率，且椭圆上任意一点与点距离的最大值为3.    (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点. ①求的最小值； ②设分别为椭圆的左､右顶点，不垂直轴的直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点，问直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②是，直线方程为，理由见解析 【分析】（1）由已知得到关于的方程，解得，然后求解，即可得椭圆方程； （2）①由已知可得，根据两点间距离公式可得，代入，由基本不等式即可求解；②设直线：，，与椭圆方程联立由韦达定理可得，由已知可得，的方程，联立可得，将直线的方程与直线联立即可求解. 【详解】（1）由已知，解得， 所以，所以椭圆方程为； （2）①因为切线交轴于点，所以，， 因为点在椭圆上，所以，即， 又， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为； ②由已知设直线：，， 由消元得， 则，， 所以， 因为，，所以， 因为，，所以， 所以 ， 即点，所以直线的方程为， 与直线联立，得， 因为，所以，代入上式可得 ， 即，解得， 即点在直线上. 4．（2025·浙江金华·二模）如图，双曲线：的虚轴长为2，离心率为，斜率为的直线过轴上一点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线上存在关于直线对称的不同两点，，直线与直线及轴的交点分别为，. （i）当时，求的取值范围； （ii）当时，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由虚轴及离心率可得，即可得双曲线方程； （2）令，设直线为：，将直线BC方程与双曲线方程联立，由韦达定理可得，.（i）代入，可得，，结合，可得，最后由可得答案；（ii）由，结合，，，可得关于的表达式，然后由基本不等式可得答案. 【详解】（1）由题知，解得，双曲线E的标准方程为； （2）令，设直线为：，与联立得，当时， 设，则由韦达定理，及题意可得： 则，，. （i）当时，，， 由，得， 又因为，即， 所以； （ii）由题知，. 因为， 所以，又，， 则， ， 又， 则， 则， 当取得，此时满足题意. 综上，的最小值为. 5．（2025·浙江杭州·二模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程； (2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； (3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得到，即可求解； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理即可求解； （3）由（2）结合两点斜率公式即可求解. 【详解】（1）由题意知，所以抛物线方程为. （2） 由题意可设直线的方程为，，，则，，. 所以，得， 所以，. 所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去， 解得，同理. 所以.所以. 所以直线的斜率为. （3）设， 因为. 因为，. 所以， 当时，为定值.所以. ( 题型0 6 )圆锥曲线中的三角形、四边形面积问题 1．（2025·浙江·二模）（多选）已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（    ） A．曲线的轨迹方程为 B．已知点，若为曲线上的动点，则的最小值为4 C．过点恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点 D．圆与曲线交于，两点，与直线交于，两点，则，，，四点围成的四边形的面积为8 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出曲线的轨迹方程可判断A；根据圆与曲线及直线的交点可判断D；根据抛物线的定义结合条件可判断B；根据直线与抛物线的交点个数结合条件可判断C. 【详解】对于A，曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等， 所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，且， 所以抛物线方程为，故A正确； 对于D，直线交圆于点，而， 四边形是矩形，面积为，故D正确； 对于B，显然共线，垂直于直线， 令点到直线的距离为，则， 所以，当且仅当与点重合时取等号， 因此的最小值为，故B正确； 对于C，过点与曲线仅有一个公共点的直线方程为， 由，消去得， 当时，直线与抛物线仅有一个公共点， 当时，，解得， 显然直线与抛物线仅有一个公共点， 因此过点与曲线有且只有一个公共点的直线有3条，故C错误. 故选：ABD. 2．（2025·浙江·二模）已知双曲线（）的左，右焦点分别为，且，圆与的渐近线相切． (1)求双曲线的标准方程； (2)若上两点满足（），且四边形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到，由圆到直线距离公式得到方程，求出，，得到双曲线方程； （2）设直线，它与E的另一个交点记为C，由对称性可知，四边形面积等于三角形面积，设，联立直线与双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据三角形面积得到方程，求出或，经检验不合要求，时，求出交点纵坐标，得到的值. 【详解】（1）由题意得，解得， ∵双曲线的渐近线为， ∴，解得，所以，故双曲线方程为：； （2）由同向可知，直线、与E均有两个交点. 设直线，它与E的另一个交点记为C. 由双曲线的对称性可知，，故三角形面积等于三角形面积， 所以四边形面积等于三角形面积. 设， 联立方程：，得， ， 三角形面积， 整理得，解得或， 经检验时，，故均在轴上方或下方， 不妨令，此时， 解得或， 画出图象如下： 此时反向，故舍去； 同理可得也不满足要求， 当时，可验证得同向，符合题意， 若，由，解得或， 由于，所以，， 故， 若，同理可得， 综上，. 3．（2025·浙江台州·二模）已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求直线l的方程； (3)过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标求得，即可求解； （2）根据点差法，结合斜率公式即可求解直线的斜率，进而可判断直线过焦点，由焦点弦公式即可求解； （3）设设抛物线的切线方程为，联立直线与抛物线得交点坐标关系，设的方程为，联立，求出、，进而求得，利用点到直线的距离公式求出点到直线线的距离，根据三角形面积公式列关系利用导数求出最值即可. 【详解】（1）因为抛物线：的焦点为， 所以， 所以抛物线. （2）由题易知直线的斜率存在．设，则可得． 因为线段的中点为，所以， 所以，则的方程为，即． （3）设抛物线的切线方程为， ，即，由，可得， ，设的方程为， 联立， ，同理， ， 点到直线线的距离，所以， 令， 因为，则，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，此时. 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$