专题06 数列（浙江专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题06 数列 题型概览 题型01数列的概念与表示 题型02等差数列 题型03等比数列 题型04数列新定义 ( 题型01 ) 数列的概念与表示 1．（2025·浙江温州·二模）已知数列满足，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·二模）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2025·浙江嘉兴·二模）记表示不超过的最大整数，已知数列满足，且，数列满足，记为数列的前项和，则 . ( 题型0 2 ) 等差数列 1．（2025·浙江台州·二模）已知等差数列的公差，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·浙江·二模）（多选）设和是两个整数，如果和除以正整数所得的余数相同，则称和对于模同余，记作.（   ） A．若公比为的等比数列满足，则 B．若公比为的等比数列满足，则 C．若为等差数列，，，为的前n项和，则 D．若为公差的等差数列，，，若，则使 3．（2025·浙江·二模）已知数列和满足，，，，则 . 4．（2025·浙江·二模）已知等差数列的前项和为，，，则 ． 5．（2025·浙江台州·二模）已知集合，含两个元素的集合． （1）若，则满足条件的集合A的个数为 ； （2）若，则满足条件的不同的有序数对的个数为 ．（结果均要化简） 6．（2025·浙江金华·二模）已知数列为等差数列，为其前项和，满足，，则的值为 . ( 题型0 3 ) 等比数列 1．（2025·浙江·二模）记数列的前项和为，若，，则等于（   ） A．33 B．46 C．49 D．42 2．（2025·浙江杭州·二模）若等比数列满足，，则数列的公比等于（   ） A．或 B．或 C． D． 3．（2025·浙江·二模）已知整数数列满足，数列是公比大于1的等比数列，且，.数列满足.数列，前项和分别为，，其中. (1)求和 (2)用表示不超过的最大整数，求数列的前2025项和. 4．（2025·浙江台州·二模）已知数列和满足，，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)求的值.（其中表示不大于的最大整数，如） ( 题型0 4 ) 数列新定义 1．（2025·浙江·二模）对于给定的项整数数列：（），定义变换：①若，则加，均加，其余项不变；②若，则加，均加，其余项不变；③若，则加，均加，其余项不变．例如，对数列：做变换得到，即；而对数列：先后做变换，可得到，即． (1)找出一系列变换，使得数列：经过这系列变换后成为常数列； (2)是否能找出一系列变换，使得数列：经过这系列变换后成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由；并请判断当为奇数时，对于任意数列，是否总存在一系列变换能使该数列成为常数列（无须证明）． (3)当为偶数且数列是递增数列时，是否存在一系列变换，使得该数列成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由． 2．（2025·浙江·二模）若数列中某相邻三项成等差数列，则称该三项为“等差组”；若数列中某相邻三项成等比数列，则称该三项为“等比组”.现有一个12项的正项数列，其共有10组相邻三项，记第组相邻三项为. (1)若数列满足， ①为“等差组”，为“等比组”，求； ②为“等比组”，为“等差组”，求. (2)若数列满足，且为“等差组”或“等比组”，求满足条件的数列的个数； (3)若数列满足，且中恰有5组“等差组”和5组“等比组”，求的最大可能值. 3．（2025·浙江温州·二模）给定正数与无穷数列，若存在，当时，都有，则称数列具有性质． (1)求证：数列具有性质； (2)若无穷数列具有性质，求证：存在正数，使得； (3)若对任意正数，数列都具有性质，则称为“—数列”．若正项数列是“—数列”，试判断数列是否也是“—数列”，并证明你的结论．（注：） 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 数列 题型概览 题型01数列的概念与表示 题型02等差数列 题型03等比数列 题型04数列新定义 ( 题型01 ) 数列的概念与表示 1．（2025·浙江温州·二模）已知数列满足，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，将把分别表示出来，结合不等式的性质计算即可. 【详解】设，则， 得， 所以． 故选：B 2．（2025·浙江·二模）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据数列前项和与的关系，对各选项逐一进行分析判断. 【详解】当时，；当时，. 仅知道，无法确定的大小，也就不能确定的正负. 例如数列为，，，但，所以选项错误. 当时，，则；当时，. 仅知道，无法确定的大小，也就不能确定的正负. 例如数列为，，，， 当时，，所以选项错误. 当时，，由可得，但不能得出； 当时，即，可得，同样无法得出. 例如数列为，，满足，但，所以选项错误. 已知，当时，，即； 当时，； ，由可得，那么，所以，即，选项正确. 故选：D. 3．（2025·浙江嘉兴·二模）记表示不超过的最大整数，已知数列满足，且，数列满足，记为数列的前项和，则 . 【答案】 【分析】分析得出，利用累加法求出数列的通项公式，可化简数列的表达式，求出，结合题中定义可求得的值. 【详解】因为数列满足，且，则， 当且时， ， 也满足，故对任意的，， 故，， 当时，，则，所以， 此时，， 所以， ， 故. 故答案为：. ( 题型0 2 ) 等差数列 1．（2025·浙江台州·二模）已知等差数列的公差，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，用公差表示，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】等差数列的公差，由，得，解得， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：B 2．（2025·浙江·二模）（多选）设和是两个整数，如果和除以正整数所得的余数相同，则称和对于模同余，记作.（   ） A．若公比为的等比数列满足，则 B．若公比为的等比数列满足，则 C．若为等差数列，，，为的前n项和，则 D．若为公差的等差数列，，，若，则使 【答案】ABD 【分析】根据同余的定义，结合等差数列和等比数列的通项公式及前项和公式，对各选项逐一进行分析． 【详解】由题意可知，，，， ，∴A正确； ，若，则， ，，∴B正确； 为偶数，也为偶数，显然不能成立，∴C错误； ，当时，结论显然成立，∴D成立. 故选：ABD． 3．（2025·浙江·二模）已知数列和满足，，，，则 . 【答案】 【分析】先根据等差数列的定义得出数列是等差数列；再根据等差数列的通项公式即可求解 【详解】因为，， 所以两式相减可得：，即. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 故. 故答案为： 4．（2025·浙江·二模）已知等差数列的前项和为，，，则 ． 【答案】110 【分析】根据等差数列的前项和公式计算即可. 【详解】. 故答案为：110. 5．（2025·浙江台州·二模）已知集合，含两个元素的集合． （1）若，则满足条件的集合A的个数为 ； （2）若，则满足条件的不同的有序数对的个数为 ．（结果均要化简） 【答案】 【分析】（1）根据已知条件可得出.根据集合元素的性质设，则.依次列举可得出取不同值时取值的情况，观察可得出构成一个等差数列，根据等差数列前项和公式计算即可得出答案； （2）根据已知可得可知为4的整数倍.然后分为奇数、为2的奇数倍、为2的偶数倍，三种情况，分别求出满足条件的个数，求和即可得出答案. 【详解】（1）由可得， . 因为，所以. 又，所以有. 根据集合元素的无序性以及互异性，不妨设，则. 当时，可取2，3，4，……，，共种可能； 当时，可取3，4，……，，共种可能； 当时，可取4，……，，共种可能； …… 当时，可取，，，，，共5种可能； 当时，可取，，，共种可能； 当时，可取，共种可能. 易知1，3，5，……，，，构成了一个以1为首项，2为公差的等差数列，项数为项， 和为. （2）由（1）知，. 因为，可知为4的整数倍. ①当为奇数时，应取2的奇数倍， 显然在，满足条件的有2，6，……，，有个. 在，满足条件的有1，3，5，……，，有个. 此时满足条件的不同的有序数对的个数为； ②当为2的奇数倍时，应取4的整数倍， 显然在，满足条件的有4，8，……，，有个. 在，满足条件的有2，6，……，，有个. 此时满足条件的不同的有序数对的个数为； ③当为2的偶数倍，即4的整数倍时，应取4的整数倍，且， 显然在，满足条件的有4，8，……，，有个. 在，满足条件的有4，8，……，，且，有个. 此时满足条件的不同的有序数对的个数为. 综上所述，满足条件的不同的有序数对的个数为. 故答案为：；. 6．（2025·浙江金华·二模）已知数列为等差数列，为其前项和，满足，，则的值为 . 【答案】3 【分析】设出等差数列的公差，根据求和公式建立方程组，求得首项与公差，利用通项，可得答案. 【详解】设等差数列的公差为，则， 化简可得，解得， 所以. 故答案为：. ( 题型0 3 ) 等比数列 1．（2025·浙江·二模）记数列的前项和为，若，，则等于（   ） A．33 B．46 C．49 D．42 【答案】A 【分析】根据递推公式，结合前项和与第项的关系求出通项公式，进而求出目标值. 【详解】数列中，，，当时，， 当时，，则，， 因此当时，数列是以为首项，公比为3的等比数列，， 数列的通项公式为：，，， 所以. 故选：A 2．（2025·浙江杭州·二模）若等比数列满足，，则数列的公比等于（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】， ， 所以， 故选：C. 3．（2025·浙江·二模）已知整数数列满足，数列是公比大于1的等比数列，且，.数列满足.数列，前项和分别为，，其中. (1)求和 (2)用表示不超过的最大整数，求数列的前2025项和. 【答案】(1)， (2)2024 【分析】(1)先根据时和确定．设通项求， 再由得出关于和的不等式组，解出得到和． 对于等比数列，利用和联立求解出和，进而得到． (2)先得出，写出表达式，再用错位相减法，即①式减②式求出，进而得到．然后分和讨论与大小关系，确定的值，最后求出． 【详解】（1）当时，.又因为，所以 设，则 依题意，， 得恒成立，解得， 所以，， 设等比数列的公比为q，，. 所以，.得到，联立得 解得或（舍去），代入中，解得 得数列的通项公式为 （2） ……① ……② ①-②，得 即 时，，，所以； 时，，所以，所以 所以. 4．（2025·浙江台州·二模）已知数列和满足，，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)求的值.（其中表示不大于的最大整数，如） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由已知条件得出，可知数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而得出，利用前项和与通项的关系可求出数列的通项公式； （2）由放缩法得出，当时，，结合放缩法得出的范围，进而可得出的值. 【详解】（1）由可得，且， 所以，数列是首项和公比都为的等比数列， 所以，，故， 由已知， 可得①， 当时，则有②， ①②得，解得， 也满足， 故对任意的，. （2）因为 ， 所以，， 另一方面，当时， ， 所以，， 所以，， 又因为，因此，. ( 题型0 4 ) 数列新定义 1．（2025·浙江·二模）对于给定的项整数数列：（），定义变换：①若，则加，均加，其余项不变；②若，则加，均加，其余项不变；③若，则加，均加，其余项不变．例如，对数列：做变换得到，即；而对数列：先后做变换，可得到，即． (1)找出一系列变换，使得数列：经过这系列变换后成为常数列； (2)是否能找出一系列变换，使得数列：经过这系列变换后成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由；并请判断当为奇数时，对于任意数列，是否总存在一系列变换能使该数列成为常数列（无须证明）． (3)当为偶数且数列是递增数列时，是否存在一系列变换，使得该数列成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，具体见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意中定义的变换，可知分别经过三个变换即可变换为常数列； （2）根据题意中定义的变换，可知存在一系列的变换使得成为常数列，同时当为奇数时，对于任意数列，总存在一系列变换能使该数列成为常数列. （3）通过反证法证明，假设存在次变换，能使得经过这次变换后，成为常数列.由次变换后有，进而由知，（*），而为递增数列，可得，这与（*）矛盾，故而得证. 【详解】（1） 此处三个变换顺序可调换，也可得到其他全相等的数. （2）存在， , 结合上述情况，推断当为奇数时，对于任意数列，总存在一系列变换能使该数列成为常数列. （3）不存在，理由如下： 假设存在次变换，能使得经过这次变换后， 成为常数列，其中. 注意到每作一次变换，均能使奇数项的和增加2， 偶数项的和增加2， 因此次变换后有， 由知， 所以，（*） 而为递增数列，故，，…， 从而得，这与（*）矛盾，因此假设不成立，即不存在这样的系列变换使得该数列成为常数列. 2．（2025·浙江·二模）若数列中某相邻三项成等差数列，则称该三项为“等差组”；若数列中某相邻三项成等比数列，则称该三项为“等比组”.现有一个12项的正项数列，其共有10组相邻三项，记第组相邻三项为. (1)若数列满足， ①为“等差组”，为“等比组”，求； ②为“等比组”，为“等差组”，求. (2)若数列满足，且为“等差组”或“等比组”，求满足条件的数列的个数； (3)若数列满足，且中恰有5组“等差组”和5组“等比组”，求的最大可能值. 【答案】(1)①；②； (2)； (3). 【分析】（1）根据等差中项和等比中项可求①②的； （2）先确定，再根据分类计数原理可求数列的个数； （3）先证明两个一般命题，再根据命题可求的最大可能值. 【详解】（1）①因为为“等差组”，故成等差数列，故，故， 而为“等比组”，故成等比数列，故，故. ②若为“等比组”，为“等差组”，则成等比数列，故， 且成等差数列，故. （2）因为为“等差组”或“等比组”，故有4种情形： 若为“等差组”，为“等差组”，则； 若为“等差组”，为“等比组”，则， 而为正项数列，故即， 故，而，故，故，； 若为“等比组”，为“等比组”，则，； 若为“等比组”，为“等差组”，则， 故，而，故，. 从而开始的相邻三项，要么为“等比组”，要么为“等差组”， 对于确定的、，此后等比组的公比、等差组的公差均确定， 故此时有个满足条件的数列， 故满足条件的数列的个数为. （3）先考虑一个一般命题： 若，若正项数列中中一个“等差组”，另一个为“等比组”，则先“等比组”再“等差组”得到的较大. 证明：若先“等差组”，再“等比组”，则， 若先“等比组”，再“等差组”，则，其中， 此时 ， 故先“等比组”再“等差组”得到的较大.. 再考虑另一个一般命题：若，若正项数列中的为“等差组”或“等比组”，则当增大时，也增大. 证明：若均为“等差组”或“等比组”， 由等差数列的性质和等比数列的性质可得当增大时，也增大. 若先“等差组”，再“等比组”，则， 由得， 故由双勾函数的性质可得增大时，也增大； 若先“等比组”，再“等差组”，则， 而，故增大时，也增大，故命题成立. 对于数列满足，， 而中恰有5组“等差组”和5组“等比组”， 要使得的最大，则前述两个命题可得需前5组为“等比组”， 后5组为“等差组”，此时个数分别为， 故的最大可能值为. 3．（2025·浙江温州·二模）给定正数与无穷数列，若存在，当时，都有，则称数列具有性质． (1)求证：数列具有性质； (2)若无穷数列具有性质，求证：存在正数，使得； (3)若对任意正数，数列都具有性质，则称为“—数列”．若正项数列是“—数列”，试判断数列是否也是“—数列”，并证明你的结论．（注：） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)也是“—数列”，证明见解析 【分析】（1）根据数列求和公式求出的表达式并与比较；（2）利用数列具有性质，通过绝对值不等式得到的范围，进而找到满足条件的；（3）根据是“S—数列”，结合不等式性质适当放缩证明也是“S—数列”. 【详解】（1）取，则当时， 所以数列具有性质． （2），当时，都有， 当时，， 所以， 取，则． （3）我们先证明： 1），恒有，这由切线放缩易证． 2），当时，恒有，即． 若不然，，使得． 取，则，矛盾！（类似（2）中证明） 下证也是“—数列”． ，当时， 而由于是“—数列”，取，则， 当时，有， 所以， 所以也是“—数列”． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$