专题04 等式不等式（全国通用）-【好题汇编】2025年高考数学真题分类汇编

专题04 等式与不等式 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为， 故选：C. 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 二、填空题 3．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 4．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 5．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 【答案】 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 一、单选题 1．（2025·四川德阳·二模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解分式不等式和一元二次不等式求出集合，再求两集合的交集即可. 【详解】由，得，解得， 所以， 由，得，解得， 所以， 所以. 故选：D 2．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项. 【详解】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 3．（2025·山东菏泽·二模）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C．4 D．16 【答案】B 【分析】由基本不等式结合对数运算性质即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故选：B 4．（2025·广东汕头·三模）已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C 5．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 6．（2025·湖南·三模）已知点是函数在第一象限内的图象上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出，且，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由题意可知，，且有，所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 7．（2025·四川攀枝花·三模）已知，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据函数的单调性判断D. 【详解】对于A：当，，满足，但是，故A错误； 对于B：当，，满足，但是，故B错误； 对于C：若，，满足，但是，故C错误； 对于D：因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 若，则，所以，故D正确. 故选：D 8．（2025·重庆·三模）已知，则的最大值为（   ） A．6 B．-6 C．8 D．-8 【答案】B 【分析】本题主要考查代数最值的求解方法，涉及代数式的变形、均值不等式应用. 【详解】由，两边除以，得：，目标为求的最大值， 的最大值，即求的最小值， 将结合变形为：展开计算：， 由均值不等式，令， 则：，因此：(当且仅当即时取等号). 目标式最大值：. 故选：B. 二、多选题 9．（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，可以用作差法判断，对于BC，举反例判断即可，对于D，分三种情况讨论即可判断. 【详解】对于A，，因为， 所以，即，所以，故A正确； 对于B，取，此时，故B错误； 对于C，取，则，故C错误， 对于D，若，则显然成立， 若，则成立， 若，则成立， 综上所述，只要，就一定有，故D正确. 故选：AD. 10．（2025·河南·三模）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意可得，利用不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可. 【详解】由题意可得， A项:由单调递增，知，故选项A正确； B项:时选项B不正确； C项:由，则，当且仅当时等号成立，∵，∴等号不成立，故选项C正确； D项:构造函数，，∴单调递增，又，得，故选项D不正确． 故选:AC． 11．（2025·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 【答案】AC 【分析】利用基本不等式求解A，利用基本不等式的取等条件判断B，利用基本不等式结合“1”的代换判断C，先分离参数，再对平方后利用换元法和判别式法求解最值，得到的最小值判断D即可. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号， 即，得到，解得．故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误； 对于C，因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 则的最小值为8，故C正确， 对于D，因为恒成立，且，， 所以恒成立，而 ， 令，则可化为， 令，则， 化简得， 而该一元二次方程一定有实数根，得到， 解得，当时，， 故，故即， 得到，则的最小值为，故D错误. 故选：AC 三、填空题 12．（2025·上海浦东新·三模）设为实数，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据分式不等式解法求解即可. 【详解】因为， 解得且，即， 所以不等式的解集是. 故答案为： 13．（2025·北京·三模）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先化不等式为，根据分式的符号得到不等式等价于，解不等式组即可求解. 【详解】由得，即， 整理得：，即， 即，解得或， 故不等式的解集为. 故答案为： 14．（2025·江西·二模）已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由得，根据基本不等式得，即可求得的最小值. 【详解】因为，，，所以， 因为， 所以，当且仅当即（负值舍去），等号成立， 此时，整理得， 解得，（不符合题意舍去）， 即当，时，有最小值为. 故答案为： 15．（2025·江西·二模）已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为 . 【答案】 【分析】利用分类讨论思想，分和两种情况，第一种情况直接解不等式，结合反比例函数,可得答案；第二种情况利用数形结合思想，结合题意建立不等式组，可得答案. 【详解】当时，由，可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，此时不存在； 当时，由对任意的恒成立， 作出的大致图象，如图所示： 由题意可知，又是整数， 所以或或. 故答案为：. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 等式与不等式 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 4．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 5．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 一、单选题 1．（2025·四川德阳·二模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东菏泽·二模）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C．4 D．16 4．（2025·广东汕头·三模）已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 6．（2025·湖南·三模）已知点是函数在第一象限内的图象上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川攀枝花·三模）已知，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2025·重庆·三模）已知，则的最大值为（   ） A．6 B．-6 C．8 D．-8 二、多选题 9．（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·河南·三模）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 三、填空题 12．（2025·上海浦东新·三模）设为实数，则不等式的解集是 . 13．（2025·北京·三模）不等式的解集为 . 14．（2025·江西·二模）已知，，，则的最小值为 . 15．（2025·江西·二模）已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为 . / 学科网（北京）股份有限公司 $$