精品解析：2025届甘肃省天水市麦积区新梦想高考复读学校高三最后一卷数学试题

新梦想高考复读学校最后一卷——数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效． 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知数集满足：，，若，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集与并集的结果，则可得与集合的关系，可得答案. 【详解】因为，， 所以且或且，二者皆有可能，所以A，B错误； 由，所以，所以C正确，D错误． 故选：C． 2. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数为（ ） A. B. C. D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的几何意义得到复数，，再利用复数的四则运算即可得解. 【详解】依题意，在复平面内，复数，对应的点分别为，， 则，， 所以. 故选：A. 3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a6＝23，S5＝35，则{an}的公差为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，将条件转化为和表示，得到方程组，解得的值. 【详解】设等差数列的公差为， 因为， 所以， 解得 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的基本量计算，属于简单题. 4. 若向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直关系，结合数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由条件可知， 则，所以. 故选：C 5. 某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析题给条件用捆绑法即可，再根据分步乘法计算可得排列种数. 【详解】4位任课老师站在一起的排法种数为， 将排完的4位任课教师作为一个整体，与剩下的10名学生站成一排的排法种数有， 再根据分步乘法得排列种数为. 故选：A. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数f（x）=（）cosx，当x=时，是函数的一个零点，属于排除A，B，当x∈（0，1）时，cosx＞0， ＜0，函数f（x）=（）cosx＜0，函数的图象在x轴下方． 排除D． 故答案为C． 7. 设是双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若，且，则双曲线C的离心率为 A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为F1，则MF2PF1为平行四边形，根据双曲线定义可得，在△MF1F2中利用余弦定理得出a，c的关系即可求出离心率． 【详解】设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性可知四边形MF2PF1为平行四边形． ∴． 设，则， ∴，即． ∵， 又， 在△MF1F2中，由余弦定理可得：， 即， ∴双曲线的离心率e． 故选D． 【点睛】本题考查了双曲线的性质，离心率计算，利用双曲线的对称性是解题的关键，属于中档题． 8. 函数满足：，若，，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的周期性，利用函数的周期性求的值. 【详解】由题意可得：， 用代替可得：， 两式相加得：. 所以，所以函数是以6为周期的周期函数. 所以. 又，所以. 所以. 所以. 故选：D 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10．则（ ） A. 两组数据的平均数相等 B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C. 两组数据的极差相等 D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由平均数，方差，极差以及中位数的定义，代入计算，即可判断. 【详解】第一组数据从小到大排序为：， 其平均数为， 其方差为， 其极差为， 其中位数为：； 第二组数据从小到大排序为：， 其平均数为， 其方差， 其极差为， 其中位数为： 所以AD正确，BC错误； 故选：AD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】应用赋值法分别计算判断各选项即可. 【详解】对于A选项，令，得，故A正确； 对于B选项，令，得，故B错误； 对于C选项，令，得，故C错误； 对于D选项，将，两式相加， 得，即，故D正确. 故选：AD 11. 函数，则下列关于的说法中正确的是（ ） A. 最小正周期是 B. 最大值是2 C. 是区间上的减函数 D. 图象关于点中心对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二倍角余弦公式和辅助角公式化简函数，利用正弦函数的周期求解判断A；根据正弦函数的性质判断B；利用正弦函数的单调性判断C；由正弦函数的对称中心判断D. 【详解】 ， 则的最小正周期是，故选项A正确； 由三角函数的性质可知，即的最大值是，故选项B错误； 时，，因为在上单调递减， 故是区间上的减函数，故选项C正确； 令，解得， 故的图象的对称中心为，，令得， 所以的图象不关于点中心对称，故选项D错误. 故选：AC 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示．则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是 ． 【答案】30 【解析】 【分析】根据频率分布直方图可得消费支出超过150元的频率，从而可得所求的人数. 【详解】试题分析：由频率分布直方图可知消费支出超过150元的频率为，所以相应人数为 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，属于容易题. 13. 直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由直线方程求得其在坐标轴上截距，可得椭圆的的值，根据离心率的公式，可得答案. 【详解】当时，由，则；当时，由，则， 由题意可得为椭圆的顶点， 则椭圆的方程为，所以， 可得，所以离心率. 故答案为：. 14. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，切化弦，再利用和差角的余弦公式求解. 【详解】依题意，，则， 由，得，解得， 所以. 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．） 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求； （2）求的通项公式，并证明为等差数列； （3）若，求. 【答案】（1） （2），证明： 令，所以， 由的通项公式可得：， 由通项公式可知：。 所以为等差数列； （3） 【解析】 【分析】（1）令即可求解； （2）通过作差法即可求的通项公式，再由通项公式结构可证等差数列； （3）由裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 令可得：， 即 【小问2详解】 由， 可得：， 两式相减可得：，， 当时，不满足， 所以的通项公式为， 【小问3详解】 由（2）知，当时， ， 所以 16. 某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛. （Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件,求事件的概率； （Ⅱ）设为选出的4人中女生的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列略，期望为． 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）由排列组合知识求得基本事件数，利用古典概型的概率公式进行求解；（Ⅱ）利用超几何分布的概率公式求出每个变量对应的概率，列表得到分布列，再利用期望公式进行求解． 试题解析：（Ⅰ）由已知，得，所以事件的概率为. （Ⅱ）随机变量的所有可能取值为1,2,3,4.由已知得. 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 4 随机变量的数学期望. 考点：1.古典概型；2.超几何分布． 17. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝. （1）求证：C1B⊥平面ABC； （2）设，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值. 【答案】 （1）证明：AB⊥侧面BB1C1C，侧面BB1C1C， ，在中，,，∠BCC1＝. 由余弦定理可得 ，， ，， ， C1B⊥平面ABC. （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件推出，，由此能证明C1B⊥平面ABC. （2）以为原点，所在直线为 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知两两垂直，以为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图， 则. 所以，所以， ， 则. 设平面的法向量为， 则由，即， 令，则， AB⊥侧面BB1C1C，是平面的一个法向量， . 两边平方并化简得， 所以=1或（舍去）. λ的值为. 18. 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求的值； （2）求的极值． 【答案】（1）2 （2）极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得，可求的值. （2）求导，分析函数的单调性，可得函数的极值. 【小问1详解】 因为，. 所以，. 由题意. 【小问2详解】 因为，. 所以，. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且. 19. 已知双曲线的离心率为，右焦点到的一条渐近线的距离为2. （1）求的方程； （2）经过点的直线、（斜率都存在）分别与交于点、和、，、分别为、的中点. （i）若点，求直线的方程； （ii）若点，且，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）（i） （ii）证明：设，由于，所以. 设直线，联立方程：，得， 其中且. 则有，，代入直线得， 所以. 同理设， 直线，联立方程：， 得， 其中且 则有，，代入直线得， 得. 所以 ， 则有直线. 令，得. 当直线的斜率不存在时，则，直线； 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和右焦点到渐近线的距离以及双曲线中关系列等式，即可求得得值，从而得到双曲线的方程. （2）（i）用点差法求得中点弦的斜率，在用点斜式即可写出直线的方程. （ii）利用向量的数量积为得到与垂直，设出两条垂直的直线、分别与双曲线方程联立，写出、的坐标及斜率，再用点斜式写出直线的方程，化简即可得证. 【小问1详解】 设双曲线右焦点为，则有， 由于的一条渐近线的方程为， 由题可得，解得. 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）设，，由题意点是中点， 则，，直线的斜率. 因为、在上，则， 两式相减得， 整理可得，即， 可得直线的方程为，即， 检验：直线与联立方程得， 其，符合题意； 所以直线的方程为. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新梦想高考复读学校最后一卷——数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效． 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知数集满足：，，若，则一定有（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数为（ ） A. B. C. D. -3 3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a6＝23，S5＝35，则{an}的公差为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 4. 若向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 设是双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若，且，则双曲线C的离心率为 A. 3 B. 2 C. D. 8. 函数满足：，若，，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10．则（ ） A. 两组数据的平均数相等 B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C. 两组数据的极差相等 D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 函数，则下列关于的说法中正确的是（ ） A. 最小正周期是 B. 最大值是2 C. 是区间上的减函数 D. 图象关于点中心对称 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示．则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是 ． 13. 直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为________． 14. 已知，，则________． 四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．） 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求； （2）求的通项公式，并证明为等差数列； （3）若，求. 16. 某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛. （Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件,求事件的概率； （Ⅱ）设为选出的4人中女生的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 17. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝. （1）求证：C1B⊥平面ABC； （2）设，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值. 18. 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求的值； （2）求的极值． 19. 已知双曲线的离心率为，右焦点到的一条渐近线的距离为2. （1）求的方程； （2）经过点的直线、（斜率都存在）分别与交于点、和、，、分别为、的中点. （i）若点，求直线的方程； （ii）若点，且，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $