第01讲 方程与列方程（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新六年级数学衔接讲义（沪教版2024）

第01讲 方程与列方程（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 列方程 典型例题二 判断是否是方程的解 典型例题三 判断各式是否是方程 典型例题四 一元一次方程的定义 典型例题五 已知方程的解，求参数 典型例题六 根据等式的性质判断变形是否正确 典型例题七 利用等式的性质解方程 典型例题八 与方程有关的规律问题 知识点01 方程的定义 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，逐个判断即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不符合题意，选项错误； B、是一元一次方程，符合题意，选项正确； C、未知数的最高次数为2，不符合题意，选项错误； D、含有两个未知数，不符合题意，选项错误； 故选：B 【即时训练】 2．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）写出一个一元一次方程，满足下列要求：①方程的解为；②未知数的系数不能为1，这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，根据一元一次方程的定义，构造出符合条件的方程即可． 【详解】解：答案不唯一，如等． 故答案为：（答案不唯一）． 知识点02 方程的解 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海闵行·期中）下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值即为一元一次方程的解，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、当时，则，因为，则不是的解，故该选项不符合题意； B、当时，则，因为，则是的解，故该选项符合题意； C、当时，则，因为，则不是的解，故该选项不符合题意； D、当时，则，因为，则不是的解，故该选项不符合题意； 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）已知是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解，理解方程的解是方程成立的未知数的值是解题的关键． 把代入得到关于a的一元一次方程求解即可． 【详解】解：把代入可得：， 解得：． 故答案为：． 知识点03 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【即时训练】 1．（2025·上海金山·模拟预测）用“”“△”“○”表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c（a，b，c均为正数），现用天平称了两次，情况如图所示，则能正确表示天平从左到右变化过程的选项为（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键：①等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即：如果，那么；②等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即：如果，那么；如果，那么． 根据题意以及左右两图的含义即可直接得出答案． 【详解】解：由题意可知： 左图的含义为：， 右图的含义为：， 能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为： 如果，那么， 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25六年级上·上海闵行·期末）已知，是关于的整式，它们的值随的变化而变化，部分对应数值如下表．根据表中信息，可得关于的方程的解为 ． … 0 1 2 ．．． … 4 10 ．．． … 5 4 3 2 ．．． 【答案】 【分析】本题考查根据代数式的值求方程的解，解题的关键是观察表格中两个代数式的值，找到使的值等于的值时对应的的值．先分析与的关系，再结合表格找和值相等时的值． 【详解】因为， 从表格中可知当时，，此时， 即当时，， 所以关于的方程的解为． 故答案为：． 知识点04一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．过两点有且只有一条直线 B．任何数的绝对值都是正数 C．两点间的距离就是连接这两点的线段 D．一元一次方程就是只含有一个未知数的等式 【答案】A 【分析】本题考查了两点确定一条直线，两点之间的距离，绝对值意义，一元一次方程定义，掌握以上性质定理是解题的关键．根据两点确定一条直线，两点之间的距离，绝对值意义，一元一次方程定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A． 过两点有且只有一条直线，故该选项正确，符合题意； B．0的绝对值是0，而0既不是正数也不是负数，故故选项错误，不符合题意； C．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故该选项错误，不符合题意；     D．一元一次方程就是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程，故该选项错误，不符合题意． 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25六年级上·上海松江·期中）小明不小心把墨汁洒在了作业本上，以下这道解关于x的一元一次方程的题目中的一个数字被覆盖了，（2x+2）＝﹣1﹣x，小明经过思考，仍然解出了该方程，则该方程的解为（　　），被覆盖的数字不能为（　　） A．1，1 B．﹣1， C．﹣1， D．1， 【答案】B 【分析】设被覆盖的数字为，则可把方程列出，化简即可解出 的值和被覆盖不能为的值． 【详解】设被覆盖的数字为， ， 化简得：， 解得：， 为一元一次方程， ，即． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次方程，解题关键是掌握一元一次方程的定义，以及求解一元一次方程． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期中）一列方程及方程的解如下排列： 的解是x＝2 的解是x＝3 的解是x＝4…… 根据观察所得到的规律，请你写出一个解是x＝2022的方程 ． 【答案】 【分析】根据一列方程的形式可知：方程的解是等式左边两个式子分母的商，所以方程第一个分数的分母为解的2倍且分子就是x，第二个分数的分母就是2，而分子是x减去解的数值与1的差，根据此规律可知，当解是x=n时，方程应该是，据此就可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：当解是x=n时，方程应该是， 当n=2022时，方程为，化简整理得. 故答案是：． 【点睛】本题考查的是探究规律、分析总结规律的能力，能够根据题意找出式子的规律是解答本题的关键． 【典型例题一 列方程】 【例1】（2025·上海·模拟预测）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．根据式的基本性质逐项分析即可． 【详解】解：A．若，则，故不正确；     B．若，当时，则，故不正确； C．若，则，正确；     D．若，则，故不正确； 故选C． 【例2】（24-25六年级上·上海松江·假期作业）如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列方程，解题关键是弄清题意，把这周产生的可回收垃圾的质量设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，得到最终的结果． 根据题目中的数量关系：这周产生的可回收垃圾的质量上一周产生的可回收垃圾的质量，假设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克，上一周产生的可回收垃圾的质量是20千克，代入列出方程即可． 【详解】解：设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克． 根据题意得，，即 方程可变换成：和，不能变换为． 故选：C． 【例3】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）“的3倍与7的差等于12”可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据该数的3倍与7的差等于12，即可得出关于x的一元一次方程，此问得解 【详解】解：根据题意得，3x﹣7＝12 故答案为：3x﹣7＝12． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【例4】（24-25六年级上·上海静安·期末）如图，在编写数学谜题时，“口”内要求填写同一个数字，若设“口”内的数字为，则可列出方程 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，第一个乘数可以表示为，积可以表示为，由此列出方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． 1．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）列等式表示： (1)x的2倍与的差是1； (2)y的相反数与x的一半的和是3． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是； （1）x的2倍与与的差可表示为，据此建立等式即可； （2）y的相反数与x的一半的和可表示为，据此建立等式即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得． 2．（24-25六年级上·上海松江·课后作业）一件衬衫先按成本加价元标价，再以折出售，仍可获利元，这件衬衫的成本是多少元？设这件衬衫的成本为元 (1)填写表格（用含的代数式表示）： 成本/元 标价/元 售价/元 (2)根据相等关系列出方程． 【答案】(1)标价：  售价： (2) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，代数式，理解成本价、标价、销售价，以及利润、成本、售价之间的关系是解本题的关键． （1）设这件衬衫的成本是元，根据题意：标价成本价，售价标价，由此即可解决问题． （2）设这件衬衫的成本是元，根据：利润销售价成本，即可列出方程． 【详解】（1）解：根据题意可得： 标价为：， 售价为：； （2）根据题意可得：． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）只列方程，不解方程 (1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？ (2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设这个班女生有人，根据有男生25人，比女生的2倍少15人列出方程即可； （2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，再根据苹果和梨的价格、以及用去21元列出方程即可得． 【详解】（1）解：设这个班女生有人， 由题意列方程为． （2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克， 由题意列方程为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键． 4．（2024六年级上·上海·专题练习）根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次上海松江人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列等式，找到对应的等量关系是关键． （1）根据题意列出相应的等式即可； （2）根据题意和图示列出相应的等式即可； （3）根据图示列出相应的等式即可． 【详解】（1）解：根据题意列出等式为：； （2）解：根据题意列出等式为：； （3）解：根据长方形面积和图示，列出的等式为． 【典型例题二 判断是否是方程的解】 【例1】（24-25六年级上·上海金山·期中）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的解的定义，熟练掌握使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解是解题的关键． 把分别代入各方程左右两边，判断是否相等，即可得出答案． 【详解】解：A、把代入方程，左边，右边，左边右边，∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B、把代入方程，左边，右边，左边右边，∴不是方程的解，故此选项不符合题意； C、把代入方程，左边，右边，左边右边，∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D、把代入方程，左边，右边，左边右边，∴是方程的解，故此选项符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25六年级上·上海闵行·期末）有一个方程的解为，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的解的定义，方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程，计算出方程左右两边的值，看是否相等即可． 【详解】解：A、把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，故此选项不符合题意； B、把代入方程中，左边，右边，方程左右两边不相等，故不是方程的解，故此选项不符合题意； C、把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，故此选项不符合题意； D、把代入方程中，左边右边，故是方程的解，故此选项不符合题意； 故选：D． 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）已知方程，则在，，中， 是方程的解． 【答案】，， 【分析】本题考查了方程的解，将，，分别代入原方程的左边，验证是否等于右边，即可求解． 【详解】解：将代入方程，，等式成立，因此是方程的解． 将代入方程，得到，等式同样成立，故也是方程的解． 将代入方程，得到，等式成立，所以同样是方程的解． 故答案为：，，． 【例4】（24-25六年级上·上海静安·期末）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合表格，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴ 由表格可知：当时，，即：， 故的解是． 故答案为：． 1．（2024六年级上·上海徐汇·专题练习）是下列方程的解吗？ (1)； (2)． 【答案】(1)不是 (2)是 【分析】本题考查的是判断方程的解； （1）把代入方程的左右两边进行计算即可判断； （2）把代入方程的左右两边进行计算即可判断； 【详解】（1）解：当时，方程的左边， 右边， 方程左，右两边的值不相等， ∴不是方程的解； （2）解：当时，方程的左边， 右边，方程左，右两边的值相等， ∴是方程的解． 2．（2024六年级上·上海松江·专题练习）（1）是方程的解吗？ （2）是方程的解吗？ 【答案】（1）不是，是；（2）不是，是 【分析】本题主要考查方程解的定义，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． （1）分别将代入方程，看是否符合方程解得定义即可解答； （2）分别将代入方程，看是否符合方程解得定义即可解答． 【详解】解：（1）当时，方程的左边，右边，方程左，右两边的值不相等， 所以不是方程的解． 当时，方程的左边，右边，方程左、有两边的值相等， 所以是方程的解． （2）当时，方程的左边，右边，方程左，右两边的值不相等， 所以不是方程的解． 当时，方程的左边，右边，方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． 3．（2024六年级上·上海·专题练习）检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应一元一次方程的解： (1)，； (2)，． 【答案】(1)是方程的解；不是方程的解 (2)不是方程的解；不是方程的解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的意义，解题时要熟练掌握并理解是关键． 依据题意，根据方程的解的意义，将括号内的数分别代入前面相应方程，判断左右两边是否成立，即可得解． 【详解】（1）解：由题意，把代入方程，左边右边， ∴是方程的解； 把代入方程，左边右边， ∴不是方程的解． （2）解：把代入方程，左边右边 ∴不是方程的解； 把代入方程，左边右边， ∴不是方程的解． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．我们有如下两个约定： （）方程的整数解称之为“暖根”； （）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”． 已知一元一次方程①与分式方程②： (1)方程①有“暖根”吗？ (2)方程②有“暖根”吗？ (3)它们是“同源方程”吗？_______填（是或不是） 【答案】(1)有 (2)没有 (3)不是 【分析】（）求出方程①的解，再根据“暖根”的定义即可判断； （）求出方程②的解，再根据“暖根”的定义即可判断； （）由（）、（）的结果及“同源方程”的定义即可判断； 本题考查了方程的解，解一元一次方程，解分式方程，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴方程方程①有“暖根”； （2）解：， 方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解， ∴方程②没有“暖根”； （3）解：由（）、（）可知，方程①②不是“同源方程”， 故答案为：不是． 【典型例题三 判断各式是否是方程】 【例1】（24-25六年级上·上海普陀期中）下列等式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的定义．根据方程的定义：含有未知数的等式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是方程，不符合题意； B、，不含未知数，不符合题意； C、，不是方程，不符合题意； D、，是方程，符合题意； 故选D． 【例2】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）下列各式是方程的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） A．（1）（2）（4）（5）（8） B．（1）（2）（5）（7）（8） C．（1）（4）（5）（7）（8） D．8个都是 【答案】C 【分析】本题主要考查方程的定义，掌握方程的定义是解题的关键．根据含有未知数的等式，叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：（1），符合方程的定义，故本小题符合题意； （2），不含有未知数，不是方程，故本小题符合题意； （3），不是等式，故本小题不符合题意； （4），符合方程的定义，故本小题符合题意； （5），符合方程的定义，故本小题符合题意； （6），不是等式，故本小题不符合题意； （7），符合方程的定义，故本小题符合题意； （8），符合方程的定义，故本小题符合题意． 是方程的有（1）（4）（5）（7）（8）， 故选：C． 【例3】（2024六年级上·上海松江·专题练习）在 ①，②，③，④中，方程有 （填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了方程，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 根据含有未知数的等式叫方程，可得答案． 【详解】解：∵①，是等式但不含未知数，故不是方程； ∵②③，含有未知数的等式，故是方程； ④，含有未知数但不是等式，故不是方程， 故答案为：②③． 【例4】（24-25六年级上·上海松江·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中 是方程， 是一元一次方程． 【答案】 ②④⑤ ④⑤ 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，只含有一个未知数且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，解答即可． 本题考查了方程，一元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是方程的是②；④；⑤； 故答案为：②④⑤． 是一元一次方程的是④；⑤； 故答案为：④⑤． 1．（23-24六年级上·上海松江·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是方程，见解析 (2)是方程 (3)不是方程，见解析 (4)不是方程，见解析 (5)是方程 (6)不是方程，见解析 【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得． 【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数． （2）解：是方程． （3）解：不是方程，理由是：不是等式． （4）解：不是方程，理由是：不是等式． （5）解：是方程． （6）解：不是方程，理由是：不含未知数． 【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键． 2．（2025六年级上·上海松江·专题练习）下列各式，哪些是等式？哪些是方程？ ①3a+4；②x+2y＝8；③5－3＝2；④；⑤y＝10；⑥；⑦3y2+y＝0；⑧2a2－3a2；⑨3a＜－2a． 【答案】等式有：②③④⑤⑥⑦；方程有：②④⑤⑥⑦． 【分析】根据等式及方程的定义进行判断即可． 【详解】解：由等式的定义“含有等号的式子叫做等式”可知，等式有：②③④⑤⑥⑦； 由方程的定义“含有未知数的等式叫做方程”可知，方程有：②④⑤⑥⑦． 【点睛】本题考查了等式及方程的判断，熟练掌握等式和方程的定义是解题的关键． 3．（24-25六年级上·上海松江·单元测试）现有四个整式： (1)若选择其中两个整式用等号连接，则共能组成___________个方程； (2)请列出（1）中所有的一元一次方程，并解方程． 【答案】(1)5 (2)，，解方程得，解方程得 【分析】（1）根据题意列出所有的等式，再根据方程的定义即可得到结果； （2）找出所有的一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解：等式有：，，，，，， ∴一共可以组成5个方程； （2）解：由（1）得一元一次方程有，， ， 去分母得：， 解得：； ， 去分母得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了方程的定义，一元一次方程的定义和解一元一次方程，熟知方程的定义和解一元一次方程的方法是解题的关键． 4．（24-25六年级上·上海松江·课后作业）检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 【答案】(1)不是 (2)是 【分析】本题考查了方程的解，判断方程的解是将的的值代入方程中进行计算，看左边是否与右边相等，若方程则是方程的根，反之就不是方程的根． （1）分别把，代入方程中进行计算求解； （2）分别把，代入方程中进行计算求解． 【详解】（1）解：当时，左边，右边，左边右边， 不是原方程的解； 当时，左边，右边，左边右边， 不是原方程的解； （2）解：当时，左边； 右边，左边右边， 不是原方程的解； 当时，左边，右边， 左边右边， 是原方程的解． 【典型例题四 一元一次方程的定义】 【例1】（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可．解题的关键是掌握：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； B．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项符合题意； C．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； D．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意． 故选：B． 【例2】（24-25六年级上·上海静安·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当时，，故的解为． 【详解】解：由表格可知：当时，， ∴的解为． 故选C． 【例3】（24-25六年级上·上海金山·期末）写出一个解为，且未知数的系数为2的一元一次方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，结合题干给出的条件写出方程即可． 【详解】解：由题意，一元一次方程可以为：； 当时，， ∴是方程的解； 故答案为：（答案不唯一） 【例4】（24-25六年级上·上海宝山·期末）整式的值随x取值的不同而不同，下表是当x取不同值时所对应的整式的值，则关于x的一元一次方程的解为 ． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax+b ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程得解，正确得出一元一次方程是解题的关键．一元一次方程为，根据图表求得即可得解． 【详解】 由表可知：， 故答案为： 1．（2024六年级上·上海·专题练习）判断是否为下列一元一次方程的解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)是 【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． （1）将代入原方程，方程左边=方程右边，进而可得出是方程的解； （2）将代入原方程，方程左边≠方程右边，进而可得出不是方程的解； （3）将代入原方程，方程左边=方程右边，进而可得出是方程的解． 【详解】（1）解：将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴是方程的解； （2）解：将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴不是方程的解； （3）解：将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴是方程的解． 2．（2024六年级上·上海·专题练习）检验括号内的数是不是方程的解． (1)（，）； (2)（ ） 【答案】(1)不是方程的解；不是方程的解 (2)不是方程的解；不是方程的解 【分析】本题主要考查的是方程的解的定义，掌握方程的解的定义是解题的关键． （1）将x的值代入方程，看方程左右两边是否相等即可得到结论； （2）将y的值代入方程，看方程左右两边是否相等即可得到结论． 【详解】（1）解：把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解； 把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解； （2）解：把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解； 把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解． 3．（2024六年级上·上海松江·专题练习）若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断是否是方程的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程方程的定义，一元一次方程的解； （1）根据一元一次方程的定义可得且，即可求解； （2）分别将代入方程，进而判断方程的左右两边是否相等，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知且， 所以且， 所以； （2）由（1）可知方程为． 把代入方程左边，得左边． 因为右边，所以左边右边．所以不是方程的解； 把代入方程左边，得左边， 因为右边，所以左边右边， 所以不是方程的解； 把代入方程左边，得左边．因为右边， 所以左边右边， 所以是方程的解． 4．（2024六年级上·上海松江·专题练习）若方程是关于x的一元一次方程． (1)求k的值； (2)判断，，是否是方程的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义以及方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且）． （1）根据一元一次方程的定义解答即可． （2）将，，分别代入即可判断． 【详解】（1）解：由题意可知且， ∴且， ∴； （2）解：由（1）可知方程为． 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴是方程的解． 【典型例题五 已知方程的解，求参数】 【例1】（24-25六年级上·上海金山·阶段练习）已知是关于的方程的解，则的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．-1 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，先理解题意，把代入，再解得的值，即可作答． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴把代入， 得， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 【例2】（24-25六年级上·上海·期中）如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】本题考查根据方程的解的情况，求参数的值，根据方程无解，得到未知数的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选：C． 【例3】（24-25六年级上·上海松江·课后作业）在方程中，已知，则 ． 【答案】4 【分析】此题考查方程解的定义．所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值． 将已知的x、y的值代入方程中，即可求出z的值． 【详解】解：将，代入方程中， 得， ∴， 即z的值为4． 故答案为：4． 【例4】（2025·上海青浦·模拟预测）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】47 【分析】本题考查一元一次方程的解和代数式求值，运用了整体代入的方法．将代入方程得出，然后将代入变形后的代数式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：47 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）当为何值时，关于的方程的解与方程的解相同． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得出方程的解，再根据两个方程的解相同，把方程的解代入方程中计算m的值即可． 【详解】解：解方程得， ∵关于的方程的解与方程的解相同， ∴是关于的方程的解， ∴， ∴． 2．（24-25六年级上·上海虹口·期中）小马虎在解关于x的方程时，出现了一个失误：“在将移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为，求a的值和原方程的解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据题意可得是方程的解，据此把代入到中，可求出a的值，再求出原方程的解即可． 【详解】解：由题意，得， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得， ∴a的值为3，原方程的解为． 3．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）小红解关于的方程，在去分母的过程中，等号右边的常数项2漏乘公分母6，因而求得方程的解为． (1)求的值． (2)求出方程的正确解． (3)根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项． 【答案】(1) (2) (3)去分母时，不要漏乘不含分母的项（ 或“移项时，要变号”，答案不唯一） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，方程的解的定义（已知方程的解求参数）等知识点，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． （1）由题意得，是方程的解，把代入方程，得，解方程即可求出的值； （2）由（1）得，原方程为，然后按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为； （3）根据自身学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项即可． 【详解】（1）解：由题意得： 是方程的解， 把代入方程，得： ， 解得：； （2）解：由（1）得：原方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （3）解：答案不唯一，例如： “去分母时，不要漏乘不含分母的项”或“移项时，要变号”等等． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为______． 【答案】(1)方程与方程是互为“毓德方程” (2) (3) 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．掌握“毓德方程”的定义，是解题的关键． （1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可； （3）先求出的解，根据“毓德方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得：； 解方程，得：， ∵， ∴方程与方程是互为“毓德方程”； （2）解：解方程得， 解方程得 ∴， ∵关于的方程与方程互为“毓德方程”， ∴， ∴； （3）解：解方程得， ∵关于的方程与互为“毓德方程”，， ∴的解为， ∵， ∴ ∴， ∴． 【典型例题六 根据等式的性质判断变形是否正确】 【例1】（24-25六年级上·上海宝山·期末）下列各式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，原式变形正确，不符合题意； B、若，则，原式变形正确，不符合题意； C、若，则，原式变形正确，不符合题意； D、若，则，原式变形错误，符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）用“”、“”、“”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设，，分别表示“”、“”、“”的质量，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键：①等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即：如果，那么；②等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即：如果，那么；如果，那么． 根据题意以及左右两图的含义即可直接得出答案． 【详解】解：由题意可知： 左图的含义为：， 右图的含义为：， 能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为： 如果，那么， 故选：． 【例3】（2024六年级上·上海松江·专题练习）下列等式变形中，正确的有 （填写序号）． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则． 【答案】①②⑤ 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：①若，则，正确； ②若，则，正确； ③若，则不成立，故③错误； ④若，则，错误，a也可能等于0； ⑤若，则，故，正确． 故正确的有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 【例4】（2024六年级上·上海·专题练习）阅读下框中解方程的过程，四个步骤中，不是依据等式的性质变形的是 ．（请填写序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，依据性质2进行判断即可． 【详解】解：①去分母时，在方程两边同时乘上10，依据为：等式的性质2； ②移项时，等式两边同时减去，依据为：等式的性质1； ③合并同类项时，依据是合并同类项法则；不是等式性质； ④系数化为1时，在等式两边同时除以3，依据为：等式的性质2． 故答案为：③． 1．（2025六年级上·上海松江·专题练习）下列方程的变形是否正确？为什么？ (1)由，得． (2)由，得． (3)由，得． (4)由，得． 【答案】(1)不正确，理由见解析 (2)不正确，理由见解析 (3)不正确，理由见解析 (4)不正确，理由见解析 【分析】（1）根据左边减3，右边加3，可得变形不正确； （2）根据左边除以7，右边乘，可得变形不正确； （3）根据左边乘2，右边加2，可得变形不正确； （4）根据左边加x减3，右边减x减3，可得变形不正确． 【详解】（1）解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵方程左边减3，右边加3， ∴变形不正确； （2）解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵左边除以7，右边乘， ∴变形不正确； （3）解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵左边乘2，右边加2， ∴变形不正确； （4）解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵左边加x减3，右边减x减3， ∴变形不正确． 【点睛】本题考查了等式的性质，等式的两边不是都加或都减同一个数，左右大小关系发生了变化，等式的两边不是都乘或都除同一个数（不为0），左右大小关系发生了变化． 2．（2024六年级上·上海松江·专题练习）判断下列等式变形是否正确，并说明理由． (1)若，则； (2)若，则． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)不正确，理由见解析 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． （1）根据等式的性质进行计算，即可解答； （2）根据等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：正确， 理由：∵， ∴， ∴； （2）不正确， 理由：∵， ∴， ∴， ． ∴不正确． 3．（24-25六年级上·上海静安·期末）（1）解方程：； （2）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道解方程题：． 小赵与小李两名同学的第一步变形结果分别如下： 小赵：； 小李：； ①这两名同学中，第一步变形结果正确的是______（填“小赵”或“小李”），这一步的变形依据是______； ②请写出完整的解题过程． 【答案】（1）；（2）①小李，等式性质2（等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立）；②见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程以及等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的一般步骤进行求解即可； （2）①根据等式的性质判断即可； ②按照解一元一次方程的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解方程： 去分母： 移项合并： 化系数为1： （2）①解：根据题意可得： 等号两边同时乘以4，可得：， ∴小李同学的第一步正确；等式性质2（等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立）． 故答案为：小李，等式性质2（等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立） ②解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 化系数为1得：． 4．（24-25六年级上·上海松江·期末）小周学习《5．2等式的基本性质》后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体过程如图所示： 将等式变形 得（第①步） ∴（第②步） (1)哪一步等式变形产生错误？ (2)请你分析产生错误的原因． 【答案】(1)第二步等式变形错误 (2)等式两边同时除以一个可能等于零的m 【分析】（1）根据等式的性质可知错误发生在第二步； （2）根据等式的基本性质即可解答． 【详解】（1）第二步等式变形产生错误． （2）第二步产生错误的原因是：等式两边同时除以一个可能等于零的，等式不成立． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，根据等式的性质是解决本题的关键． 【典型例题七 利用等式的性质解方程】 【例1】（24-25六年级上·宝山·期末）下列判断错误的是（    ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立．根据等式的性质进行求解即可． 【详解】解：A、若，则，正确，不符合题意； B、若，那么，正确，不符合题意； C、若，当时，不一定有，错误，符合题意； D、若，则，正确，不符合题意； 故选C． 【例2】（2025·上海崇明·模拟预测）已知正整数a，b，c满足，，则的最大值与最小值的差为（   ） A．22 B．20 C．19 D．18 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，把两个已知条件式相加推出，则当a取最大值时，有最小值，当a取最小值时，有最大值，根据a、b、c都是正整数，可确定a的最小值为1，a的最大值为19，据此求出的最大值与最小值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴当a取最大值时，有最小值，当a取最小值时，有最大值， ∵a、b、c都是正整数， ∴a的最小值为1，a的最大值为19， ∴的最大值为，的最小值为， ∴的最大值与最小值的差为， 故选：D． 【例3】（2025·上海松江·模拟预测）将公式变形成用表示，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程中代入法的运用，掌握等式的性质，代入法的计算是关键． 根据等式的性质，代入法的计算即可求解． 【详解】解：， 等式两边同时乘以，得到， 移项、合并同类项得，， ∴， 故答案为： ． 【例4】（24-25六年级上·上海徐汇·期中）整式的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解知识点，掌握等式的性质成为解题的关键．将变形为，观察表格数据可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴， 由表可知，当时，， ∴关于x的方程的解是． 故答案为：． 1．（24-25六年级上·上海普陀·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解比例，掌握等式的性质以及比例的性质是解题关键． （1）利用等式的性质解方程即可； （2）利用比例的性质解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 2．（2024六年级上·上海松江·专题练习）已知，利用等式的性质，求： (1)和的值； (2)的值． 【答案】(1)，7 (2)16 【分析】题目主要考查等式的性质及求代数式的值，熟练掌握等式的性质是解题关键． （1）根据题意，得，再由等式的性质求解即可； （2）将原式整理，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 在左右两边同时乘b，得， 在左右两边同时除以，得， 在等式，左右两边同时加3，得，即， 在左右两边同时加b，得； （2）， 由（1）知，， 故原式． 3．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母得，．．．．．．．．．．．．第一步     去括号得，．．．．．．．．．．．．．．．第二步      得，．．．．．．．．．．．．．．．第三步    合并同类项得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步    系数化为一得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第五步 (1)以上求解过程中，第三步进行的是 ，这一步的依据是 (2)以上求解过程中，第 步出现错误，错误原因是 (3)该方程正确的解是 【答案】(1)移项，等式的性质1 (2)三，移项没有变号 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程的步骤，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； （1）根据解一元一次方程的步骤移项，该步骤是利用等式的性质1； （2）根据移项，两边应该同时减去，在方程右边没有变号； （3）根据解一元一次方程步骤解方程即可求解； 【详解】（1）解：根据解一元一次方程步骤可知，第三步为移项，是利用的等式的性质1； 故答案为：移项，等式的性质1 （2）解：以上求解过程中，第三步出现错误，错误原因是移项没有变号； 故答案为：三，移项没有变号 （3）解方程： 解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得，； 故答案为： 4．（2024·上海闵行·模拟预测）阅读下面解方程的过程，完成后面的问题：解方程． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 检验：当时， 所以，是原方程的根． 问题一： ①以上解题过程中，第一步是依据　　　进行变形的； A．等式的基本性质    B．不等式的基本性质    C．分式的基本性质 ②从第　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　； 问题二：该方程的正确解是　　　； 问题三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】问题一：①A；②二，去括号时第二项没有乘以2；问题二：该方程的正确解是；问题三：除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，解分式方程时还需要注意的事项是分式方程注意要检验 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是：熟练掌握解分式方程的方法． 问题一：①在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质； ②第二步开始出现错误，去括号时第二项没有乘以2； 问题二：根据解分式方程的方法解方程即可； 问题三：根据解分式方程时常见的错误解答即可． 【详解】解：问题一： ①在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质， 故答案为：A； ②第二步开始出现错误，去括号时第二项没有乘以2； 故答案为：二；去括号时第二项没有乘以2 问题二： 方程两边同乘，得：， 去括号，得：， 移项并合并同类项，得：， 系数化为1，得：； 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 故答案为： 问题三： 除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，解分式方程时还需要注意的事项是分式方程注意要检验． 【典型例题八 与方程有关的规律问题】 【例1】（23-24六年级上·上海宝山·阶段练习）在代表按规律不断求和．设．则有，解得．故．类似地的结果是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，仿照题目中的例题进行解答即可． 【详解】解：设， 则， 解得：， 故， 故选：A． 【例2】（24-25六年级上·上海静安·期末）有一列方程： 第1个方程是，解为； 第2个方程是，解为； 第3个方程是，解为； 第4个方程是，解为； …… 根据以上规律，若第n个方程的解为，则a的值为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字的变化类，先根据已知条件中的方程，找出规律，求出第个方程和方程的解，列出关于的方程，求出，从而求出即可．解题关键是根据已知条件找出规律． 【详解】解：观察已知条件中的方程可知：第n个方程为：， 方程的解为：， ∵第n个方程的解为， ∴，即：， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【例3】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）一系列方程，第1个方程是，解为；第2个方程是，解为；第3个方程是，解为，，根据规律，第10个方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，解方程的运用，根据题目中方程的变化规律，即可求解，理解数量关系，找出规律是解题的关键． 【详解】解：第1个方程是，解为， 第2个方程是，解为， 第3个方程是，解为， ， 根据规律，第个方程为，解为， ∴第10个方程是，解为， 故答案为：． 【例4】（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）一列方程及其解如下排列： 的解是，的解是，的解是， 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程，规律探究，根据方程，，与方程的解之间的联系，再总结规律即可． 【详解】解：∵的解是，的解是，的解是， ∴解是的方程为； 故答案为： 1．（24-25六年级上·上海长宁·期中）（1）观察一列数，，，，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是_______；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么_______，_______；（可用幂的形式表示） （2）如果想要求的值，可令 将式两边同乘以2，得___________   ， 由减去式，得＝__________________． （3）若（1）中数列共有20项，设，请利用上述规律和方法计算的值．（列式计算） 【答案】（1）3，， （2）， （3）． 【分析】（1）根据题意，可得在这个数列中，从第二项开始，每一项与前一项之比是3；由第一个数为3，故可得，的值； （2）根据题中的提示，可得S的值； （3）由（2）的方法，可以求出． 【详解】（1）每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是3， ∴=，=； （2）令， ∴， ∴得：， 即结果为：； （3）， ∴， ∴得：， ∴， 即结果为：． 【点睛】本题考查规律题、学会利用等式的性质，构造两个等式，再将两个等式相减来求解．灵活运用题中给出的解题思路是解题的关键，属于中考常考题型． 2．（24-25六年级上·上海虹口·期末）小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程： ①； ②； ③； ④… （1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息； （2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由； （3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？ 【答案】（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2；（2）正确，见解析，；（3）能，见解析， 【分析】（1）观察方程，可得出规律； （2）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系即可直接写出方程，然后解方程即可； （3）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系直接写出方程 【详解】解：（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2（答案不唯一，答出一条即可）） （2）正确． 验证如下： 把代入到方程中，左边， 右边，所以是方程的解，小明的推测正确． 第四个方程为． （3）（为正整数，且）． 【点睛】本题考查了学生的观察分析能力，理解方程中每部分的数字与方程的解的关系是解题的关键． 3．（23-24六年级上·上海金山·阶段练习）如下表，方程①、方程②、方程③、方程④是按照一定规律排列的一列方程： 序号 方程 方程的解 ① ② ③ 　　 ④ 　　 (1)将上表补充完整； (2)写出表内这列方程中的第（为正整数）个方程和它的解． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了解一元一次方程，规律探究．熟练掌握解一元一次方程，并推导一般性规律是解题的关键． （1）分别求两个一元一次方程的解，然后补表即可； （2）根据表格推导一般性规律即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； ， ， ， ， ∴补表如下： 序号 方程 方程的解 ① ② ③          ④          （2）解：由表格可知，序号每增加1，方程的解增加2， ∴第（为正整数）个方程，解为， ∴第（为正整数）个方程和它的解分别为，． 4．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）观察下列表格中几个代数式及其相应的值，回答问题： (1)【初步感知】根据表中信息可知， ， ；当 时，的值比的值大． (2)【归纳规律】 表中 的值的变化规律是：的值每增加， 的值就都增加；的值的变化规律是：的值每增加，的值就都减少．类似地，的值的变化规律是：的值每增加，的值就都 ；的值的变化规律是：的值每增加，的值就都 ． (3)【问题解决】 若关于的代数式，当的值每增加，的值就都减少，且当时，的值为，求时这个代数式的值． 【答案】(1)，， (2)增加，减少 (3) 【分析】（1）将代入，求得的值，将代入，即可求得的值，根据的值比的值大，列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）根据表格数据找到规律，即可求解； （3）类比（2）的方法求得的值，进而将代入即可求解． 【详解】（1）解：根据表中信息可知， ， ． ，解得， 当时，的值比的值大． 故答案为：，，； （2）观察表格可以看出，的值的变化规律是：的值每增加．的值都增加；的值的变化规律是：的值每增加，的值就都减少． 故答案为：增加，减少； （3）根据（2）中的规律可知，当的值每增加， 的值就都减少时，的系数， 又因为时． 的值为． ， 解得， 时， 故时这个代数式的值为． 【点睛】本题考查了代数式求值，一元一次方程的应用，找到规律是解题的关键． 1．（2024六年级上·上海松江·专题练习）下列四个式子中，是方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题主要考查的是方程的定义，解题的关键是理解方程的定义． 依据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数），逐个判断即可． 【分析】解：A、不含未知数，不是方程，故此选项不符合题意； B、是方程，故此选项符合题意； C、不是等式，故此选项不符合题意； D、不是等式，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（    ）． A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4） C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4） 【答案】A 【分析】根据水的体积不变的性质以及圆柱体体积计算公式，即可列出一元一次方程，从而得到答案． 【详解】依题意得：π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）已知关于的方程有无数多个解，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件和已知字母的值求代数式的值，正确理解条件是解题的关键．首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得，的值，代入代数式求解即可． 【详解】解：化简得：， 即：， 根据题意得：，且， 解得：，， 则 故选：D． 4．（23-24六年级上·上海松江·假期作业）已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是方程的定义，根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：不是等式，所以它不是方程； 是等式，但其中不含未知数，所以它不是方程； 不是等式，所以它不是方程； 都具备方程的两个条件，所以都是方程． 故选：C． 5．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，将等式进行变形，最后得到一个明显错误的结论，则下列说法正确的是（   ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质．根据等式的性质，等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式的值不变，等式的两边同时除以一个不等于0的整式，等式的值不变．据此进行作答即可． 【详解】解：第一步等式两边同时加，第二步合并同类项，都是正确的， 第三步两边同时除以a是错误的，因为a可能等于零． 正确的做法是移项得，解得， 故选：C． 6．（24-25六年级上·上海宝山·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，由题意得，据此即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024·上海闵行·模拟预测）已知是关于x的方程的解，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了方程的解的定义，正确解方程是解题的关键． 根据方程的解的定义，把代入方程，即可得到关于a的方程，即可求解． 【详解】解：将 代入方程： 得 解得 ， 故答案为： ． 8．（24-25六年级上·上海松江·课后作业）用适当的数或整式填空，使所得的式子仍是等式，请注明根据． 如果，那么 ，根据是 ． 【答案】 5 等式的基本性质1 【分析】本题考查的是等式的基本性质，根据等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（或等式的基本性质1）即可得到答案． 【详解】解：如果，那么，根据是等式的基本性质1； 故答案为：，等式的基本性质1 9．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）已知，为常数，关于的方程，无论为何值，它的解总是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，把代入关于的方程得到含有，，的等式，根据题意可得恒成立，列出关于，的一元一次方程，解方程求出，，然后代入进行计算即可. 【详解】解：把代入关于的方程 得： ， ， ， ， ， ∵无论为何值，它的解总是 ∴无论为何值，恒成立， ， 解得：， ， 故答案为：． 10．（24-25六年级上·上海闵行·期中）夏禹时代的“河图洛书”被视为中华文明之源．河图主要代表天文，洛书则主要代表地理方位．其中，“洛书”所呈现的数字排列方式，与三阶幻方有相似之处，其实际数学意义就是它每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则如图所示的幻方中 ． a 9 5 b 8 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 11．（24-25六年级上·上海静安·期中）已知是关于的方程的解，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)0 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值． （1）将代入关于x的方程，得到a和b的数量关系并代入计算即可； （2）由（1）得，将其代入计算即可． 【详解】（1）解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：由（1）得， ∴ ． 12．（2024六年级上·上海松江·专题练习）（1）能不能由得到？为什么？ （2）能不能由得到？为什么？ 【答案】（1）不能，理由见解析；（2）能，理由见解析 【分析】本题考查了等式的性质，关键是掌握等式的性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．（1）、（2）利用等式的性质解答即可． 【详解】（1）不能，理由如下： 当时，利用等式的性质2，可得：； （2）能，理由如下： 由得到， 第一个等式成立就说明，两边同乘就可以得到第二个等式． 13．（23-24六年级上·上海静安·期末）冉冉解方程时，发现★处一个常数被涂抹了，已知方程的解是，求★处的数字． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将解代入方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得： ， 解得★， 即★处的数字是1． 14．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）解方程：． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 _____，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 方程两边都除以，得．……第五步 (1)横线处的步骤为_____，这一步的依据是_____． (2)该同学的解答过程从第_____步开始出现错误，错误的原因是_____， (3)请直接写出该方程正确的解． 【答案】(1)移项，等式的基本性质 (2)一；去分母时，常数项没有乘最小公倍数 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．注意去分母时，不要漏乘． （1）根据等式的基本性质，进行作答即可； （2）第一步出现错误，去分母时，常数项没有乘最小公倍数； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：横线处的步骤为移项，这一步的依据是：等式的基本性质； （2）从第一步开始出错，错误的原因是去分母时，常数项没有乘最小公倍数； （3）解： 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得， 方程两边同除以，得． 15．（2024六年级上·上海松江·专题练习）根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列方程，找到等量关系是本题关键． （1）根据全校人数女生人数，女生人数—男生人数＝80建立等量关系即可； （2）根据扩大部分面积为5x，通过原来面积加上扩大部分面积等于现在总面积可建立等量关系． 【详解】（1）设这所学校的学生数为，那么女生数为， 男生数为． 根据“女生比男生多80人”， 列得方程． （2）设正方形绿地的边长为m， 扩大部分面积为：5x 那么扩大后的绿地面积为． 根据“扩大后的绿地面积是”． 列得方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 方程与列方程（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 列方程 典型例题二 判断是否是方程的解 典型例题三 判断各式是否是方程 典型例题四 一元一次方程的定义 典型例题五 已知方程的解，求参数 典型例题六 根据等式的性质判断变形是否正确 典型例题七 利用等式的性质解方程 典型例题八 与方程有关的规律问题 知识点01 方程的定义 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）写出一个一元一次方程，满足下列要求：①方程的解为；②未知数的系数不能为1，这个方程可以是 ． 知识点02 方程的解 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海闵行·期中）下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）已知是关于的方程的解，则的值为 ． 知识点03 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【即时训练】 1．（2025·上海金山·模拟预测）用“”“△”“○”表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c（a，b，c均为正数），现用天平称了两次，情况如图所示，则能正确表示天平从左到右变化过程的选项为（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【即时训练】 2．（24-25六年级上·上海闵行·期末）已知，是关于的整式，它们的值随的变化而变化，部分对应数值如下表．根据表中信息，可得关于的方程的解为 ． … 0 1 2 ．．． … 4 10 ．．． … 5 4 3 2 ．．． 知识点04一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．过两点有且只有一条直线 B．任何数的绝对值都是正数 C．两点间的距离就是连接这两点的线段 D．一元一次方程就是只含有一个未知数的等式 【即时训练】 2．（24-25六年级上·上海松江·期中）小明不小心把墨汁洒在了作业本上，以下这道解关于x的一元一次方程的题目中的一个数字被覆盖了，（2x+2）＝﹣1﹣x，小明经过思考，仍然解出了该方程，则该方程的解为（　　），被覆盖的数字不能为（　　） A．1，1 B．﹣1， C．﹣1， D．1， 3．（24-25六年级上·上海闵行·期中）一列方程及方程的解如下排列： 的解是x＝2 的解是x＝3 的解是x＝4…… 根据观察所得到的规律，请你写出一个解是x＝2022的方程 ． 【典型例题一 列方程】 【例1】（2025·上海·模拟预测）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2】（24-25六年级上·上海松江·假期作业）如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）“的3倍与7的差等于12”可列方程为 ． 【例4】（24-25六年级上·上海静安·期末）如图，在编写数学谜题时，“口”内要求填写同一个数字，若设“口”内的数字为，则可列出方程 ． 1．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）列等式表示： (1)x的2倍与的差是1； (2)y的相反数与x的一半的和是3． 2．（24-25六年级上·上海松江·课后作业）一件衬衫先按成本加价元标价，再以折出售，仍可获利元，这件衬衫的成本是多少元？设这件衬衫的成本为元 (1)填写表格（用含的代数式表示）： 成本/元 标价/元 售价/元 (2)根据相等关系列出方程． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）只列方程，不解方程 (1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？ (2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？ 4．（2024六年级上·上海·专题练习）根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次上海松江人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 【典型例题二 判断是否是方程的解】 【例1】（24-25六年级上·上海金山·期中）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海闵行·期末）有一个方程的解为，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）已知方程，则在，，中， 是方程的解． 【例4】（24-25六年级上·上海静安·期末）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 1．（2024六年级上·上海徐汇·专题练习）是下列方程的解吗？ (1)； (2)． 2．（2024六年级上·上海松江·专题练习）（1）是方程的解吗？ （2）是方程的解吗？ 3．（2024六年级上·上海·专题练习）检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应一元一次方程的解： (1)，； (2)，． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．我们有如下两个约定： （）方程的整数解称之为“暖根”； （）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”． 已知一元一次方程①与分式方程②： (1)方程①有“暖根”吗？ (2)方程②有“暖根”吗？ (3)它们是“同源方程”吗？_______填（是或不是） 【典型例题三 判断各式是否是方程】 【例1】（24-25六年级上·上海普陀期中）下列等式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）下列各式是方程的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） A．（1）（2）（4）（5）（8） B．（1）（2）（5）（7）（8） C．（1）（4）（5）（7）（8） D．8个都是 【例3】（2024六年级上·上海松江·专题练习）在 ①，②，③，④中，方程有 （填序号）． 【例4】（24-25六年级上·上海松江·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中 是方程， 是一元一次方程． 1．（23-24六年级上·上海松江·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．（2025六年级上·上海松江·专题练习）下列各式，哪些是等式？哪些是方程？ ①3a+4；②x+2y＝8；③5－3＝2；④；⑤y＝10；⑥；⑦3y2+y＝0；⑧2a2－3a2；⑨3a＜－2a． 3．（24-25六年级上·上海松江·单元测试）现有四个整式： (1)若选择其中两个整式用等号连接，则共能组成___________个方程； (2)请列出（1）中所有的一元一次方程，并解方程． 4．（24-25六年级上·上海松江·课后作业）检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 【典型例题四 一元一次方程的定义】 【例1】（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海静安·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 【例3】（24-25六年级上·上海金山·期末）写出一个解为，且未知数的系数为2的一元一次方程 ． 【例4】（24-25六年级上·上海宝山·期末）整式的值随x取值的不同而不同，下表是当x取不同值时所对应的整式的值，则关于x的一元一次方程的解为 ． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax+b ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 1．（2024六年级上·上海·专题练习）判断是否为下列一元一次方程的解： (1)； (2)； (3)． 2．（2024六年级上·上海·专题练习）检验括号内的数是不是方程的解． (1)（，）； (2)（ ） 3．（2024六年级上·上海松江·专题练习）若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断是否是方程的解． 4．（2024六年级上·上海松江·专题练习）若方程是关于x的一元一次方程． (1)求k的值； (2)判断，，是否是方程的解． 【典型例题五 已知方程的解，求参数】 【例1】（24-25六年级上·上海金山·阶段练习）已知是关于的方程的解，则的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．-1 【例2】（24-25六年级上·上海·期中）如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【例3】（24-25六年级上·上海松江·课后作业）在方程中，已知，则 ． 【例4】（2025·上海青浦·模拟预测）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）当为何值时，关于的方程的解与方程的解相同． 2．（24-25六年级上·上海虹口·期中）小马虎在解关于x的方程时，出现了一个失误：“在将移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为，求a的值和原方程的解． 3．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）小红解关于的方程，在去分母的过程中，等号右边的常数项2漏乘公分母6，因而求得方程的解为． (1)求的值． (2)求出方程的正确解． (3)根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为______． 【典型例题六 根据等式的性质判断变形是否正确】 【例1】（24-25六年级上·上海宝山·期末）下列各式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）用“”、“”、“”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设，，分别表示“”、“”、“”的质量，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【例3】（2024六年级上·上海松江·专题练习）下列等式变形中，正确的有 （填写序号）． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则． 【例4】（2024六年级上·上海·专题练习）阅读下框中解方程的过程，四个步骤中，不是依据等式的性质变形的是 ．（请填写序号） 1．（2025六年级上·上海松江·专题练习）下列方程的变形是否正确？为什么？ (1)由，得． (2)由，得． (3)由，得． (4)由，得． 2．（2024六年级上·上海松江·专题练习）判断下列等式变形是否正确，并说明理由． (1)若，则； (2)若，则． 3．（24-25六年级上·上海静安·期末）（1）解方程：； （2）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道解方程题：． 小赵与小李两名同学的第一步变形结果分别如下： 小赵：； 小李：； ①这两名同学中，第一步变形结果正确的是______（填“小赵”或“小李”），这一步的变形依据是______； ②请写出完整的解题过程． 4．（24-25六年级上·上海松江·期末）小周学习《5．2等式的基本性质》后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体过程如图所示： 将等式变形 得（第①步） ∴（第②步） (1)哪一步等式变形产生错误？ (2)请你分析产生错误的原因． 【典型例题七 利用等式的性质解方程】 【例1】（24-25六年级上·宝山·期末）下列判断错误的是（    ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 【例2】（2025·上海崇明·模拟预测）已知正整数a，b，c满足，，则的最大值与最小值的差为（   ） A．22 B．20 C．19 D．18 【例3】（2025·上海松江·模拟预测）将公式变形成用表示，则 ． 【例4】（24-25六年级上·上海徐汇·期中）整式的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 1．（24-25六年级上·上海普陀·期中）解方程 (1) (2) 2．（2024六年级上·上海松江·专题练习）已知，利用等式的性质，求： (1)和的值； (2)的值． 3．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母得，．．．．．．．．．．．．第一步     去括号得，．．．．．．．．．．．．．．．第二步      得，．．．．．．．．．．．．．．．第三步    合并同类项得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步    系数化为一得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第五步 (1)以上求解过程中，第三步进行的是 ，这一步的依据是 (2)以上求解过程中，第 步出现错误，错误原因是 (3)该方程正确的解是 4．（2024·上海闵行·模拟预测）阅读下面解方程的过程，完成后面的问题：解方程． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 检验：当时， 所以，是原方程的根． 问题一： ①以上解题过程中，第一步是依据　　　进行变形的； A．等式的基本性质    B．不等式的基本性质    C．分式的基本性质 ②从第　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　； 问题二：该方程的正确解是　　　； 问题三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【典型例题八 与方程有关的规律问题】 【例1】（23-24六年级上·上海宝山·阶段练习）在代表按规律不断求和．设．则有，解得．故．类似地的结果是（   ） A． B． C． D．2 【例2】（24-25六年级上·上海静安·期末）有一列方程： 第1个方程是，解为； 第2个方程是，解为； 第3个方程是，解为； 第4个方程是，解为； …… 根据以上规律，若第n个方程的解为，则a的值为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【例3】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）一系列方程，第1个方程是，解为；第2个方程是，解为；第3个方程是，解为，，根据规律，第10个方程是 ． 【例4】（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）一列方程及其解如下排列： 的解是，的解是，的解是， 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： 1．（24-25六年级上·上海长宁·期中）（1）观察一列数，，，，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是_______；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么_______，_______；（可用幂的形式表示） （2）如果想要求的值，可令 将式两边同乘以2，得___________   ， 由减去式，得＝__________________． （3）若（1）中数列共有20项，设，请利用上述规律和方法计算的值．（列式计算） 2．（24-25六年级上·上海虹口·期末）小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程： ①； ②； ③； ④… （1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息； （2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由； （3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？ 3．（23-24六年级上·上海金山·阶段练习）如下表，方程①、方程②、方程③、方程④是按照一定规律排列的一列方程： 序号 方程 方程的解 ① ② ③ 　　 ④ 　　 (1)将上表补充完整； (2)写出表内这列方程中的第（为正整数）个方程和它的解． 4．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）观察下列表格中几个代数式及其相应的值，回答问题： (1)【初步感知】根据表中信息可知， ， ；当 时，的值比的值大． (2)【归纳规律】 表中 的值的变化规律是：的值每增加， 的值就都增加；的值的变化规律是：的值每增加，的值就都减少．类似地，的值的变化规律是：的值每增加，的值就都 ；的值的变化规律是：的值每增加，的值就都 ． (3)【问题解决】 若关于的代数式，当的值每增加，的值就都减少，且当时，的值为，求时这个代数式的值． 1．（2024六年级上·上海松江·专题练习）下列四个式子中，是方程的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（    ）． A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4） C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4） 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）已知关于的方程有无数多个解，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 4．（23-24六年级上·上海松江·假期作业）已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，将等式进行变形，最后得到一个明显错误的结论，则下列说法正确的是（   ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 6．（24-25六年级上·上海宝山·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 7．（2024·上海闵行·模拟预测）已知是关于x的方程的解，则a的值为 ． 8．（24-25六年级上·上海松江·课后作业）用适当的数或整式填空，使所得的式子仍是等式，请注明根据． 如果，那么 ，根据是 ． 9．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）已知，为常数，关于的方程，无论为何值，它的解总是，则的值为 ． 10．（24-25六年级上·上海闵行·期中）夏禹时代的“河图洛书”被视为中华文明之源．河图主要代表天文，洛书则主要代表地理方位．其中，“洛书”所呈现的数字排列方式，与三阶幻方有相似之处，其实际数学意义就是它每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则如图所示的幻方中 ． a 9 5 b 8 11．（24-25六年级上·上海静安·期中）已知是关于的方程的解，求下列各式的值． (1)； (2)． 12．（2024六年级上·上海松江·专题练习）（1）能不能由得到？为什么？ （2）能不能由得到？为什么？ 13．（23-24六年级上·上海静安·期末）冉冉解方程时，发现★处一个常数被涂抹了，已知方程的解是，求★处的数字． 14．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）解方程：． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 _____，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 方程两边都除以，得．……第五步 (1)横线处的步骤为_____，这一步的依据是_____． (2)该同学的解答过程从第_____步开始出现错误，错误的原因是_____， (3)请直接写出该方程正确的解． 15．（2024六年级上·上海松江·专题练习）根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $$