精品解析：河南省2025届普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣大联考高三数学考试卷

2025届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高三） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结来后，将本试卷和答题卡一并变回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，再求出. 【详解】易得，故. 故选：B. 2. 已知，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用，可求模. 【详解】， 故． 故选：D． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知及二倍角正弦公式可得，即可求角的大小. 【详解】由题设，故， 又，故，故，解得，故. 故选：A 4. 已知对任意的，不等式恒成立，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】分、和分别求解即可. 【详解】解：当时，， 则对于任意的恒成立， 时，， 故， 故，即; 时，，故， 故，即， 综上. 验证时，符合题意. 故选:B. 5. 已知曲线的一条切线的方程为，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先对函数求导，根据切线斜率1和切点坐标即可求出的值. 【详解】与的图象相切，设切点为， 则，故， 由，即，将代入上式，得，故. 故选：B. 6. 如图，在四棱锥中，平面，则四棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法一、根据题意可确定四棱锥外接球球心在中点处，然后求的半径即可；方法二、根据球心在底面外接圆圆心的垂线上，又的垂直平分线上，然后利用那个正弦定理求出底面外接圆半径，根据勾股定理即可求得半径并计算表面积. 【详解】方法一、连接，设的中点为， 因为平面，平面，所以，， 因为，所以平面，所以平面，故，同理，，又， 所以均以为斜边的直角三角形， ， 故为的外接球的球心，为外接球的直径， 由，得， 又为四边形外接圆的直径：， 设四棱锥的外接球的半径为， 则，解得. 故四棱锥外接球的表面积为. 方法二、连接，设的中点为，过作直线平面， ，是的公共斜边， 即是四边形的外接圆圆心， 所以直线上的点到点的距离相等， 故球心一定在直线上，即平面， 现只要保证到点的距离也相等即可， 即球心也在的垂直平分线上，设中点为，即， ,, （为底面外接圆半径）， 平面，平面，， 又，所以四边形为矩形，， 所以四棱锥外接球半径 即四棱锥外接球的表面积为. 故选：D. 7. 已知椭圆上有动点在任意位置时，总存在椭圆上另外两点，使的重心为右焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用点坐标表示的中点的坐标，再代入椭圆方程，利用椭圆方程与基本不等式，表示不等关系式，转化为离心率的不等式，即可求解. 【详解】设， 的中点为，由， 得， 而， 故， 即， 整理得， 因为的任意性，此不等式恒成立， 故，即， 解得. 故椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C. 8. 如图，是函数的3个相邻的零点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，则为的解，结合正弦函数的性质可求，故可求的值. 【详解】的零点即为的解， 令，则为的解， 也就是与的某相邻三个交点的横坐标， 由得，故， 由正弦函数的性质可得，，故. 又，故. 由，得，故 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 是实数 D. 在复平面上对应的点在第二象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的除法运算公式，求出复数，根据共轭复数，复数的乘方，和复数与复平面内点的对应关系，分别判断各选项正误. 【详解】，所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； 在复平面上对应的点在第四象限，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知直线与双曲线的图象相切，双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，若是双曲线上一点，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 直线和直线的斜率的乘积为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】联立直线与双曲线方程，由，求得，即可判断A；将代入双曲线方程，求得，即可判断B；由，即可判断C；由三角形的面积，可求得，即可判断D. 【详解】解：将代入， 整理得， ， 解得，故A正确； 将代入双曲线方程得：， 可得，即，故B正确； ，易得.，C故错误； 由题意可知双曲线的焦距为， 则， 又， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 若函数满足；①定义域为；②，；③对，，；④不恒等于0，则下列说法一定正确的有（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 在上，单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法求得，判断AB；由已知可得，，计算可判断C；取，结合C计算可判断D. 【详解】令，则，则，又， 故，故A正确； 令，则，故，∵， 故，故B错误； 由，得， 故，令，则， 且，取，则，故为偶函数， 故为奇函数，故C正确； 由C中，可取，则， 又，易知时，单调递减， 当时，单调递增，故D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的通项公式为，则从该数列的前10项中随机取出不同的两项，和为奇数的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先明确数列的前10项的奇偶性情况，再由题意利用古典概型计算公式计算求解即可. 【详解】的前10项为，，共有6个奇数､4个偶数， 当取到两项为一奇一偶时，和为奇数， 故和为奇数的概率为. 故答案为：. 13. 如图，在四棱台中，平面，四边形为正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据线面垂直判定定理得出平面，则即为所求的线面角，再计算求解. 【详解】连接与交于点，因为平面，平面， 所以， 因为四边形为正方形，所以平面， 又，则平面， 故即为在平面上的射影，即为所求的线面角， 又，，故. 故答案为：. 14. 已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，求出切线方程，构造函数并利用函数有3个零点求解即可. 【详解】设切点坐标为，则，即， 整理得，令， 依题意，函数有3个不同的零点，求导得 ，当时，，在上单调递减，值域为； 当时，，在单调递增，值域为； 当时，在上单调递减，值域为， 由函数有3个零点，得，即， 解得，又，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，的内角的对边分别为为的角平分线，且交于点，且. （1）求； （2）若的内切圆的半径为，求的周长. 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）由利用三角形面积公式求解即可； （2）由三角形内切圆的半径公式及余弦定理建立方程求出即可得解. 【小问1详解】 设，， 由， 得， 解得， 又，即， 故. 【小问2详解】 设的内切圆的半径为， 而，可得， 故， 故由， 解得，故， 所以的周长为15. 16. 在直三棱柱中，. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再证明平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用法向量的夹角公式计算得解. 【小问1详解】 证明：因为四边形正方形，故， 而，又平面， 所以平面， 又平面，故， 又，且平面， 故平面， 又平面，所以，即. 【小问2详解】 以为坐标原点，方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 设平面的法向量为， 则即 取，则， 设平面的法向量为， 则 即 取，则， 所以， 故所求二面角的正弦值为. 17. 已知函数，且有两个极值点. （1）求实数的取值范围； （2）证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数极值点和导函数零点之间的关系，构造函数，求出构造函数有两个零点时的参数范围即可； （2）利用消元思想消去，构造函数，利用其单调性，证明不等式. 【小问1详解】 已知有两个极值点，易得有两个零点， 令，则， 令，即，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在处取得最小值. 若有两个零点，一定有，解得， 又易知时，， 取，易知，当且仅当时取等号， 所以由可知，， 根据零点存在定理可知，函数在，上各存在一个零点， 故的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）知：，且， 故， 故， 令，则， 当时，，在上单调递减， 所以， 故，原式得证. 18. 过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，且. （1）求； （2）已知的半径为2，证明：对于抛物线上的动点，且，总存在抛物线上的另外两点，使为的内切圆. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据直线与抛物线的位置关系，结合韦达定理求出参数. （2）根据抛物线与直线的位置关系和韦达定理，根据点到直线的距离公式，通过证明圆心到三条直线的距离都是2，证明命题. 【小问1详解】 设直线， 代入，得， 整理可得， ，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，设点，， 则， 直线的方程：， 将代入上式，化简得， 故点到直线的距离为， 化简得， 同理， 故是方程0的两个根， 易知， 而同理可得的方程为， 到直线的距离为. 故对于上的点，总存在另外两点，使为的内切圆. 19. 已知数列和常数存在以下关系：对，当时，，则称为的极限，若数列的极限是，则称数列为“超极限数列”.已知数列满足. （1）写出的前5项； （2）证明：为“超极限数列”； （3）若，从中任取一项，求该项能被9整除的概率. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合递推关系求，再求的前5项； （2）先证明，再证明，然后证明，结合定义证明结论； （3）先证明，设除以9的余数为，研究数列的周期，研究除以9的余数，结合古典概型概率公式求结论. 【小问1详解】 因为， 所以，，，， 所以. 【小问2详解】 证明：， 故， ， 而当时，， ，， 故， 故.， ， 对，要想使得，只需， 即，只需取， 其中为的整数部分， 此时，即，原命题得证 【小问3详解】 当时，， 故， 故， 则， 被9整除，有3种情况：①被9整除；②被9整除；③都能被3整除 第③种情况：若都能被3整除，则能被3整除，则能被3整除，显然错误， 设除以9的余数为，将一一列出：， 发现：， 再由的特点：，可知：， 将会重复的排列次序， 故是以24为周期的数列， 在一个周期内，，即能被9整除，故所求概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高三） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结来后，将本试卷和答题卡一并变回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知对任意的，不等式恒成立，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. D. -1 5. 已知曲线一条切线的方程为，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 6. 如图，在四棱锥中，平面，则四棱锥外接球的表面积为（ ） A B. C. D. 7. 已知椭圆上有动点在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点，使的重心为右焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是函数3个相邻的零点，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 是实数 D. 在复平面上对应的点在第二象限 10. 已知直线与双曲线的图象相切，双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，若是双曲线上一点，则下列说法正确的有（ ） A B C. 直线和直线的斜率的乘积为 D. 11. 若函数满足；①定义域为；②，；③对，，；④不恒等于0，则下列说法一定正确的有（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 在上，单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的通项公式为，则从该数列的前10项中随机取出不同的两项，和为奇数的概率为__________. 13. 如图，在四棱台中，平面，四边形为正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 14. 已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，的内角的对边分别为为的角平分线，且交于点，且. （1）求； （2）若的内切圆的半径为，求的周长. 16. 在直三棱柱中，. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 17. 已知函数，且有两个极值点. （1）求实数的取值范围； （2）证明：. 18. 过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，且. （1）求； （2）已知的半径为2，证明：对于抛物线上的动点，且，总存在抛物线上的另外两点，使为的内切圆. 19. 已知数列和常数存在以下关系：对，当时，，则称为的极限，若数列的极限是，则称数列为“超极限数列”.已知数列满足. （1）写出的前5项； （2）证明：为“超极限数列”； （3）若，从中任取一项，求该项能被9整除的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$