8.1.1 三角形的高、中线与角平分线 课件-2024-2025学年华东师大版七年级数学下册

第八章 三角形 8.1 与三角形有关的边和角 第2课时 三角形的高、角平分线和中线 学习目标 掌握三角形的高、中线、角平分线的概念. (重点) 掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 掌握钝角三角形的两短边上高的画法. (难点) 复习回顾 定义 图示 垂线 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线 线段中点 把一条线段分成两条相等的线段的点 角平分线 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 复习回顾 1.过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条，怎么画？ 只能画一条. 2.已知△ABC 中，BC =5cm,高为4cm,求△ABC 的面积。 新课讲授——三角形的高 问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？ 定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高. 问题2 由三角形的高你能得到什么结论？ ∠ADB = ∠ADC = 90° A B C D 垂足 注意：标明垂直符号和垂足的字母. 新课讲授——三角形的高 A B C D E F A B C D A B C D E F O (E,F) O 画一画 如图，分别画出锐角、直角、钝角三角形的三条高，并观察高的交点有什么规律？ 总结归纳 画图发现 三角形的三条高交于一点. （1）锐角三角形的高交于三角形内一点； （2）直角三角形的高交于直角的顶点； （3）钝角三角形的高交于三角形外一点. A B C D E F A B C D A B C D E F O (E,F) O 新课讲授——三角形的中线 问题1 如图，如果点C 是线段AB 的中点，你能得到什么结论？ A C B AC = BC = AB 新课讲授——三角形的中线 定义：如图，连结△ABC 的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线. 问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就是△ABC的一条中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线. A B C 想一想：由三角形的中线能得到什么结论？ BD = CD = BC D 新课讲授——三角形的中线 画一画：如图，画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 总结归纳 画图发现 三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心. A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 面积相等，因为两个三角形等底同高 新课讲授——三角形的中线 问题3 如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系，为什么？ B C D E A 问题4 通过问题3你能发现什么规律？ 三角形的中线能将三角形的面积平分. 新课讲授——三角形的角平分线 问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？ A C B O ∠AOC = ∠BOC 新课讲授——三角形的角平分线 想一想：三角形的角平分线与角的平分线相同吗? 相同点是：∠BAD=∠CAD； 不同点是：前者是线段，后者是射线. 问题2 如图，在△ABC中，如果∠BAC的平分线AD交BC边于点D，我们就称AD是△ABC的角平分线．类比探索三角形的高和中线的过程，你能得到哪些结论？ 三角形的三条角平分线交于三角形内一点. B C D A ( ( 典例精析 例1 如图，已知AD，AE 分别是 △ABC 的高和中线， AB = 6cm，AC = 8cm，BC = 10cm， ∠CAB = 90°， 试求：(1) △ABE 的面积； (2) △ACE 和 △ABE 的周长的差. A B C D E 解：(1) 即 AD = 4.8. 典例精析 解：∵AE 是 △ABC 的中线， ∴BE=CE. ∴△ACE 和△ABE 的周长的差 =(AC+AE+CE)-(AB+AE+BE) =AC+AE+CE-AB-AE-BE =AC-AB =8-6 =2(cm). A B C D E (2) △ACE 和 △ABE 的周长的差. 重要发现 △ABC的中线AE把原三角形分成的两个三角形的周长差就是AC与AB的差. 典例精析 例2 如图，在△ABC 中，请作图： (1) 画出 △ABC 的 ∠C 的平分线； (2) 画出 △ABC 的边 AC 上的中线； (3) 画出 △ABC 的边 BC 上的高. A B C D E F 答：(1)如图所示，线段CF 即为所求； (2)如图所示，线段BE 即为所求 (3)如图所示，线段AD 即为所求 画高要标明垂直符号. 三角形的角平分线，中线及高都要画成线段. 当堂练习 1、下列各组图形，哪一组图形中 AD 是△ABC 的边 BC 上 的高 ( ) D A D C B A B A B C D C A B C D D A B C D 当堂练习 解：∵ CD 是△ABC 的中线， ∴ BD = AD. ∵ BC - AC = 5cm， ∴△DBC 与△ADC 的周长差是 5 cm. 又∵△DBC 的周长为 25 cm， ∴△ADC 的周长为 25 - 5 = 20 (cm). 2. 如图，在△ABC 中，CD 是中线，已知 BC - AC = 5 cm， △DBC 的周长为 25 cm，求△ADC 的周长. A D B C 当堂练习 3. 如图是一张三角形纸片，请你动手画出它的 BC 边上的中线，BC 边上的高，∠A 的平分线. A B C 能力提升 有一块三角形的菜地，现在要将它们平均分四份，在菜地的一角A处有一口池塘，为了使分开后的四块菜地都能就近取水，你能想出什么办法吗？ 如果不考虑水源，你认为还可以怎样分? A 思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分. 课堂小结 三角形的重要线段 高：钝角三角形两短边上的高的画法 中线：会把原三角形的面积平分；一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 角平分线：是线段，不是射线 下课 $$