21.1 一元二次方程及其应用课件2025--2026学年人教版九年级数学上册

一元二次方程及其应用 答 案 答 案 遇见 结识新朋友 1、我们的教室墙上的窗户，长比宽多半米，面积是3平米。 请问，窗户的长与宽分别是多少？ x(x+0.5)=3 源自生活的问题 2、我们区组织一场学校间的篮球比赛，需要每一个参赛队 都和其它的参赛队进行一场比赛，总共进行了28场比赛。 请问，一共有多少个队伍参加了比赛？ 答 案 答 案 3.一个正方形的面积是16平方厘米，那么这个 正方形的边长是多少厘米？ 源自生活的问题 4.甲数比乙数大5，两数之积等于0.请问，这两 个数分别是多少？ y2=16 a(a+5)=0 遇见 结识新朋友 遇见 结识新朋友 y2=16 a(a+5)=0 x(x+0.5)=3 x2+0.5x-3=0 x2-x-56=0 y2-16=0 a2+5a=0 遇见 结识新朋友 x2+0.5x-3=0 x2-x-56=0 y2-16=0 a2+5a=0 首先，明确一下， 这些等式都是…… 都是之前刚刚提到过的…… 再看看，它们还给你什么感觉？ --- 在每一个等式中……（抓特征） 如果让你来给这类方程命名，你要给它取个什么名字？ 它必须满足哪些条件？ 可以用怎样的一般式来表示它？ 遇见 慧眼识方程 看看，那个是关于x的 一元二次方程 ？ 选择一个你喜欢的一元二次方程，指出它的二次项、一次项、常数项以 及二次项系数、 一次项系数。 遇见 相信你能行 1、-2是下列哪一个方程的解（ ） A、-x=3+x B、x-5=-3 C、2-x=-2x D、x+3=7 2、3是下列哪一个一元二次方程的解（ ） A、x2-x=5 B、x2-2x-6=0 C、2x2+x-7=0 D、x2-4x+3=0 3、若(a-1)x2+3x-5=0是关于x的一元二次方程，那么a的 取值范围是 。 C D a≠1 定义：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数且a≠0) 考点梳理 ax2＋bx＋c＝0 二次项 一次项 常数项 解法 适用情况或步骤 直接开 平方法 1.当方程缺少一次项时，即方程ax2＋c＝0(a≠0，ac＜0)； 2.形如a(x＋n)2＝b(ab≥0)的方程 公式法 适用于所有的一元二次方程，求根公为_________________(b2－4ac≥0) 步骤：1.先把一元二次方程化为一般形式，方程的右边一定要化为0； 2.将a，b，c代入公式时应注意其符号； 3.若b2－4ac＜0，则原方程无解 解 法 解法 适用情况或步骤 配方法 适用于所有的一元二次方程，其中当二次项系数化为1时，一次项系数为偶数时配方法较简单， 步骤： 解 法 1.把系数化为1,即方程两边同时除以二次项系数； 2.把常数项移到方程的右边，即x2＋px＝－q； 3.在方程两边同时加上一次项系数一半的平方， 4.配方； 5.运用直接开平方法解方程 解法 适用情况或步骤 因式分解法 将方程右边化为0后，方程的左边可以提出含有x的公因式，形如 x(ax＋b)＝0或(ax＋b)(cx＋d)＝0 注：方程的两边含有相同的因式，不能在方程两边同除以该因式，避免丢根 解法 根的判别式及根与系数的关系 根的判 别式 定义：一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式通常用希腊字母“∆”表示，即∆＝_______ 与根的关系 *根与系数的关系(选学内容)：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0，∆≥0)的两个根，则x1＋x2＝________， x1x2＝________ 1.b2－4ac＞0 一元二次方程有两个不相等的 实数根 2.__________ 一元二次方程有两个相等的 实数根 3.__________ 一元二次方程无实数根 b2－4ac b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 练习：解下列方程 一元二次方程的解法（省卷2014.5，曲靖卷2014.12） 玩转云南8年中考真题 命题点 1 1. (2024曲靖卷12题3分·源于人教九上P4习题21.1第7题)已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________． x＝－1　 2. (2024省卷5题3分)一元二次方程x2－x－2＝0的解是(　　) A. x1＝1，x2＝2 B. x1＝1，x2＝－2 C. x1＝－1，x2＝－2 D. x1＝－1，x2＝2 D 命题点 2 一元二次方程根的判别式（省卷2考，昆明卷4考，曲靖卷3考） 3. (2024省卷5题3分)如果关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个相等的实数根，那么实数a的值为________． －1或2 4. (2024曲靖卷12题4分)关于x的方程ax2＋4x－2＝0(a≠0)有实数根，那么负整数a＝_________________(写出一个即可)． －2(或－1) 5. (2024曲靖卷14题3分)一元二次方程x2－5x＋c＝0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c＝___________________(只需填一个)． 1(或2或3或4或5或6) 6. (2024昆明卷9题4分)一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(　　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 B　 7. (2024省卷6题3分)下列一元二次方程中，没有实数根的是(　　) A. 4x2－5x＋2＝0 B. x2－6x＋9＝0 C. 5x2－4x－1＝0 D. 3x2－4x＋1＝0 A 8. (2024昆明卷8题4分)关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　) A. m＜3 B. m＞3 C. m≤3 D. m≥3 A 拓 展 训 练 9. 若一元二次方程(k－2)x2＋4x＋1＝0有实数根，则满足条件的k的最大整数值为(　　) A. 10 B. 4 C. 2 D. 6 D 10. (2024盐城)关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0(k为实数)根的情况是(　　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 A 增长率的等量关系：设a为基础量，x为平均增长率，2为增长次数，b为 增长后的量，则a(1＋x)2＝b；设a为基础量，x为平均 下降率，2为下降次数，b为下降后的量，则a(1－x)2＝b； 利润等量关系：1.利润＝售价－成本； 2.总利润＝单件利润×销售量； 3.利润率＝_____________ 利润 成本 一元二次方程实际应用的常见类型 ×100% 命题点 3 一元二次方程实际应用的常见类型 面积问题 握手、单循环赛与送礼物模型 1.如图①，设空白部分的宽为x，则S阴影＝______________ 2.如图②，③，④，设阴影道路的宽为x，则S空白＝_________ 握手，单循环赛总次数： (n为人数) 互送礼物总份数：n(n－1)(n为人数) (a－2x)(b－2x) (a－x)(b－x) 命题点 3 一元二次方程的实际应用（昆明卷2考） 11. (2024昆明卷6题3分)某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为(　　) A. 144(1－x)2＝100 B. 100(1－x)2＝144 C. 144(1＋x)2＝100 D. 100(1＋x)2＝144 D 12. (2024昆明卷7题3分)如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为(　　) 　第12题图 A. 100×80－100x－80x＝7644 B. (100－x)(80－x)＋x2＝7644 C. (100－x)(80－x)＝7644 D. 100x＋80x＝356 C 拓 展 训 练 13. 某毕业班的每一名同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，设全班有x名学生，根据题意可列方程为(　　) A. x(x＋1)＝2550 B. x(x－1)＝2550 C. 2x(x＋1)＝2550 D. x(x－1)＝2550 B 教材改编题 1. (人教九上P21习题第1题改编)方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是(　　) A. x＝2　　　　　　　B. x＝3 C. x1＝－1，x2＝2 D. x1＝－1，x2＝3 D 2. (北师九上P38习题2.3第3题改编)某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加80人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行或列，则列方程得________________________． (8＋x)(10＋x)＝160 3. (人教九上P22习题21.3第6题改编)参加足球联赛的两队之间都进行一场比赛，共 要比赛45场，共有________个队参加比赛． 10 $$