精品解析：上海市宝山区2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷

2024学年第二学期期末 高一年级数学学科质量监测试卷 考生注意： 1.本试卷共21题，满分100分，考试时间90分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题（本大题共12小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分. 1. 函数的最小正周期是_____. 2. 已知集合，则________. 3. 已知，则_____. 4. 已知复数（是虚数单位），则值为_____. 5. 若，用表示_____. 6. 某扇形的弧所对的圆心角为，且半径等于5，则其面积为_____. 7. 平行四边形中，，是的中点，记，，则_____.（用、表示） 8. 如图，某池塘中浮萍蔓延的面积（单位：）与时间（单位：月）满足关系式：（且），则浮萍面积从到至少需要经过_____个月.（精确到0.1） 9. 已知函数有唯一的零点，则实数的取值范围是_____. 10. 已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为_____. 11. 如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形.若点、在八边形的内部（含边界），则的最小值为_____. 12. 已知函数，若对于任意正整数在区间上总存在个实数，，，，使得，则的最大值是_____. 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分. 13. “”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 若均是单位向量，且，则（ ） A. B. 7 C. D. 6 15. 已知对任意，（且）均有意义，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 16. 已知非空集合、满足：，，函数已知如下两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.则下列选项中正确的是（ ） A ①、②都正确 B. ①、②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 三、解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知点、. （1）求的单位向量； （2）求向量与夹角的余弦值. 18. 已知关于的实系数一元二次方程. （1）若（是虚数单位）是此方程的一个根.求、的值； （2）若是此方程的两个虚根，且满足，，求、的值. 19 已知向量，，且函数. （1）若，，求的值； （2）求函数在上严格增区间. 20. 上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图，设想在其中规划出三个功能区：为露营区，为垂钓区，为活动区.已知为直角三角形，，，，为内一点，且. （1）安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知， ①求的大小； ②求护栏的长度（精确到0.01）； （2）求露营区面积的最大值. 21. 已知函数的定义域为，对任意，定义：. （1）若，判断和是否是集合中的元素； （2）若，，是否存在实数，使得？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由； （3）若，设，且，求证：“是上的减函数”是“”的充分不必要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期期末 高一年级数学学科质量监测试卷 考生注意： 1.本试卷共21题，满分100分，考试时间90分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题（本大题共12小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分. 1. 函数的最小正周期是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用正切函数的周期公式直接求解. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为： 2. 已知集合，则________. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式求出集合A，即可求集合的交集. 【详解】解集合A中的不等式，得， 就是求既属于A又属于的元素，所以. 故答案为： 3. 已知，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式化简即得. 【详解】由，得，所以. 故答案为： 4. 已知复数（是虚数单位），则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数除法求出，进而求出模. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 5. 若，用表示_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则求解. 详解】由，得，则， 所以. 故答案为：. 6. 某扇形的弧所对的圆心角为，且半径等于5，则其面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知求出圆心角的弧度，再由扇形面积公式求面积. 【详解】由题设，圆心角为， 所以扇形面积为. 故答案为： 7. 平行四边形中，，是的中点，记，，则_____.（用、表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用给定的基底，结合向量线性运算求解. 【详解】依题意，，， 所以. 故答案为： 8. 如图，某池塘中的浮萍蔓延的面积（单位：）与时间（单位：月）满足关系式：（且），则浮萍面积从到至少需要经过_____个月.（精确到0.1） 【答案】 【解析】 【分析】根据图象得，再解指数方程求面积为、的对应月数，作差即可得. 【详解】由题设过点，则，可得，即， 所以，， 所以个月. 故答案为： 9. 已知函数有唯一的零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式易知是的零点，结合零点个数及指数函数的性质确定参数范围. 【详解】由，可得是唯一的零点， 所以在上无零点，又在定义域上单调递增， 所以，故只需. 故答案为：. 10. 已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设有关于对称，在上为严格增函数，利用对称性和单调性有，即可求解. 【详解】由，即关于对称， 又在上为严格减函数，则在上为严格增函数， 由，则，即， 所以不等式的解集为. 故答案为： 11. 如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形.若点、在八边形的内部（含边界），则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的几何意义，结合几何图形求出最小值. 【详解】要使取到最小值，则的夹角为钝角或平角，且它们的模尽可能的大， 因此点应在八边形边界上，由对称性不妨取点为点， 则点在直线上的投影在的延长线， 当点与重合时，在上的投影向量的模最大，且与方向相反， 此时取得最小值，，， ， 所以. 故答案为： 12. 已知函数，若对于任意正整数在区间上总存在个实数，，，，使得，则的最大值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的存在性，来研究最值情况，为了使的值越大，则让取到最大值，都取到最小值，此时满足的值最大，然后考虑任意区间，从而找到的最小区间来研究，即可得解. 【详解】由， 当时，对于任意正整数有， 而存在个实数，，，，使得， 不妨取，，，，在上各任取一个值， 此时满足是最大值，都是取到最小值， 即，此时的最大值是， 由于此时成立，显然对任意正整数在区间上也一定存在个实数 ，，，，使得， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：不等式的存在性问题，往往是研究函数的最大值和最小值，而对任意的区间都成立，往往研究最小长度的区间，从而此题可得解. 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分. 13. “”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为不能推出，而能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 14. 若均是单位向量，且，则（ ） A. B. 7 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算律，准确计算，即可求解. 【详解】由向量均是单位向量，且， 则， 所以. 故选：A. 15. 已知对任意，（且）均有意义，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，然后得出函数是偶函数且在上单调递减即可选出答案. 【详解】因为当时，均有意义，所以，所以， 当时， 令，可得在上单调递减，单调递增， 所以在上单调递减， 设函数，则， 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故A符合题意. 故选：A. 16. 已知非空集合、满足：，，函数已知如下两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.则下列选项中正确的是（ ） A. ①、②都正确 B. ①、②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】D 【解析】 【分析】对于命题①，利用反证法，假设存在某个非空集合对使为偶函数，然后证明该非空集合对不唯一；对于命题②，先求出令的所有解，然后确定是否有无穷多个非空集合对满足要求即可. 【详解】命题①： 因为，， 所以要么，要么. 假设存在某个非空集合对满足且使为偶函数， 那么将元素0从集合中取出，放入集合，其它元素不变，得到一个新非空集合对， 则新的非空集合对使仍然为偶函数； 假设存在某个非空集合对满足且使为偶函数， 那么将元素0从集合中取出，放入集合，其它元素不变，得到一个新的非空集合对， 则新的非空集合对使仍然为偶函数. 所以当存在非空集合对使为偶函数时，非空集合对不唯一. 所以命题①错误. 命题②： 解方程，解得；解方程，解得. 当非空集合对满足时，方程无解. 而满足这个条件的非空集合对有无穷多个，故命题②正确. 故选：D. 三、解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知点、. （1）求的单位向量； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算及单位向量的定义求解. （2）利用向量数量积的定义及夹角公式求解. 【小问1详解】 由点、，得， 则 【小问2详解】 依题意，、， 则，， ，， 所以向量与夹角的余弦值为. 18. 已知关于的实系数一元二次方程. （1）若（是虚数单位）是此方程的一个根.求、的值； （2）若是此方程的两个虚根，且满足，，求、的值. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）利用方程根的定义列式，再利用复数为0求得答案. （2）求出方程的两个高根，再利用复数模的意义求解. 【小问1详解】 由是的一个根，得， 整理得，而，则， 所以. 【小问2详解】 依题意，设， 由，得，即， 又，所以，则， 代入，得， 根据韦达定理，， 当时，；当时，，都满足， 所以. 19. 已知向量，，且函数. （1）若，，求的值； （2）求函数在上的严格增区间. 【答案】（1）或 （2）严格增区间为和 【解析】 【分析】（1）首先化简函数的表达式，然后将函数值代入，根据的范围求出的值. （2）根据正弦函数的单调递增区间以及的范围直接求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 令，则，所以或. 解得或. 因为，所以或. 【小问2详解】 因为， 所以当时，函数严格递增. 解得. 因为，所以令时，；令时，. 所以函数在上严格增区间为和. 20. 上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图，设想在其中规划出三个功能区：为露营区，为垂钓区，为活动区.已知为直角三角形，，，，为内一点，且. （1）安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知， ①求的大小； ②求护栏的长度（精确到0.01）； （2）求露营区面积的最大值. 【答案】（1）①；②千米； （2）. 【解析】 【分析】（1）①应用正弦定理求角的大小；②应用余弦定理求边长； （2）由余弦定理及基本不等式得，再由三角形面积公式求最大面积. 【小问1详解】 ①由题设，， 而，即，故； ②由上可知，而，则， 所以千米. 【小问2详解】 由题设， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即露营区面积最大值. 21. 已知函数的定义域为，对任意，定义：. （1）若，判断和是否是集合中的元素； （2）若，，是否存在实数，使得？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由； （3）若，设，且，求证：“是上的减函数”是“”的充分不必要条件. 【答案】（1）是集合中的元素；不是集合中的元素. （2）当时，存在实数，使得，此时实数的取值范围为. （3）证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题目中的定义，采用验证的方法可解答. （2）先利用作差法得出；再结合指数函数的性质分类讨论，判断的最大值；最后结合题目中的定义即可求解. （3）先根据函数的单调性、余弦函数的有界性和两角和的正弦公式证明充分性；再通过满足的函数，得出，利用具体值推出与是上的减函数相矛盾，从而证明必要性不成立. 【小问1详解】 对于函数，，： 有. 因为，， 所以恒成立，即对任意，，恒成立， 故是集合中的元素. 对于函数，，： 有 . 因为，， 当，时，， 这与对任意，，矛盾， 故不是集合中的元素. 综上可得：是集合中的元素；不是集合中的元素. 【小问2详解】 对于函数，，： 有 根据指数函数的性质可知： 当，，时，趋近于，不满足题意，此时不存在实数，使得. 当时，对任意，，有， ， 则，，，此时. 要使，须满足，解得：. 综上可得：当时，存在实数，使得，此时实数取值范围为， 【小问3详解】 充分性证明： 因为函数是上的减函数，，， 所以，. 根据余弦函数的有界性可得：， 则 所以 ，即， 所以. 必要性证明： 取，，， 则对于任意的任意，有， 所以. 又因为，，. 因为， 所以，这与是上的减函数相矛盾， 故必要性不成立， 综上可证得：“是上的减函数”是“”的充分不必要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $