精品解析：重庆市奉节永安中学校2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试卷

永安中学高2023级高二下第二次月考数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3. 为研究某种植物的生长高度y（单位：cm）与光照时间x（单位：小时）之间的关系，研究人员随机测量了12株该种植物的光照时间和生长高度，得到的回归方程为，则样本的残差的绝对值为（ ） A. 1.05 B. 1.15 C. 1.25 D. 1.35 4. 已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为，高一、高二年级学生的近视率分别为25%，35%．若从该校三个年级中随机抽出一名学生，该学生近视的概率为40%，则高三年级学生的近视率为（ ） A. 54.5% B. 52.5% C. 50.5% D. 50.25% 6. 某班四名同学去学校食堂就餐，他们在食堂一楼、二楼、三楼都可能就餐，如果他们中有同学在一楼就餐，则他们在食堂各层楼的就餐情况有（ ）种 A. 24 B. 37 C. 48 D. 65 7. 飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 若函数，存在两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于随机变量的期望与方差，以下说法正确的是（ ） A. 设为随机变量，为常数，则 B. 若，则与试验次数无关 C. 若，则 D. 两点分布中，时，方差最大 10. 下列关于概率统计说法中正确的是（ ） A. 两个变量，的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 在回归分析中，为的模型比为的模型拟合的更好 D. 某人在10次答题中，答对题数为，，则答对7题的概率最大 11. 如图，“锦鲤曲线”由函数与的部分图象组成，其中．下列说法正确的是（ ） A. 曲线上任意点，与P对应的点也在曲线上 B. 曲线的“鱼尾”宽的取值范围为 C. 曲线“鱼身” D. 存在三条不同的直线被“锦鲤曲线”截得弦长为1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，含项的系数是__________. 13. 已知随机变量X的分布列为，，则的值为____________． 14. 在平面直角坐标系中，已知点在曲线上运动，点在直线上运动，点，为中点，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了研究高中学生每天整理数学错题的情况，沈阳市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 a 不是每天都整理数学错题人数 b 15 20 合计 40 （1）计算a，b的值，并判断是否有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ （2）从样本中不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为X，求X的分布列和期望. 附： 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 甲和乙两人进行足球射门比赛，规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢的概率为，其中. （1）若，分别计算比赛结束时甲赢的局数为2的概率及局数为3的概率； （2）记为在甲和乙进行了4局比赛分出胜负的条件下甲获胜的概率，为在甲和乙进行了5局比赛分出胜负的条件下甲获胜的概率，若，求的取值范围. 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间与极值． 18. 小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布. （1）若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布. （i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求. （ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由. （2）若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差.（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. ③参考数据：，，， ， 19. 已知函数，（）. （1）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围； （2）若存在正数x，使成立，求实数a的取值范围； （3）若，证明：对任意的，存在唯一的实数，使得成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永安中学高2023级高二下第二次月考数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等高条形图的定义和性质依次分析，即得解 【详解】观察等高条形图发现与相差很大，就判断两个分类变量之量关系最强． 故选：D 2. 设函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的极限定义，将极限值化成，再对原函数求导代入即得. 【详解】由求导，可得：. 而，故. 故选：C. 3. 为研究某种植物的生长高度y（单位：cm）与光照时间x（单位：小时）之间的关系，研究人员随机测量了12株该种植物的光照时间和生长高度，得到的回归方程为，则样本的残差的绝对值为（ ） A. 1.05 B. 1.15 C. 1.25 D. 1.35 【答案】A 【解析】 【分析】先根据回归方程求出时的预报值，再运用残差计算公式计算即可. 【详解】把代入，可得生长高度y的估计值为， 则样本的残差的绝对值为. 故选：A. 4. 已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导函数，由求出的值，即可得到函数在上的单调性，从而求出的值. 【详解】因为，所以， 所以，解得，所以，则， 所以当时，所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：D 5. 已知某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为，高一、高二年级学生的近视率分别为25%，35%．若从该校三个年级中随机抽出一名学生，该学生近视的概率为40%，则高三年级学生的近视率为（ ） A. 54.5% B. 52.5% C. 50.5% D. 50.25% 【答案】B 【解析】 【分析】设事件表示“抽出一名学生，该学生近视”，事件表示“学生抽自高一年级”，事件表示“学生抽自高二年级”， 事件表示“学生抽自高三年级”，根据全概率公式列式求解. 【详解】设事件表示“抽出一名学生，该学生近视”，事件表示“学生抽自高一年级”， 事件表示“学生抽自高二年级”， 事件表示“学生抽自高三年级”， 则，，，，，， 由全概率公式， 即，解得. 故选：B. 6. 某班四名同学去学校食堂就餐，他们在食堂一楼、二楼、三楼都可能就餐，如果他们中有同学在一楼就餐，则他们在食堂各层楼的就餐情况有（ ）种 A. 24 B. 37 C. 48 D. 65 【答案】D 【解析】 【分析】分为在一楼就餐的同学有1个，2个，3个和4个同学，再分别讨论二楼、三楼就餐的同学即可得出答案. 【详解】在一楼就餐的同学有1个，在二楼、三楼就餐的同学为， 即种； 在一楼就餐的同学有2个，在二楼、三楼就餐的同学为， 即种； 在一楼就餐的同学有3个，在二楼、三楼就餐的同学为， 即种； 在一楼就餐的同学有4个，在二楼、三楼就餐的同学为，即种. 所以共有：种. 故选：D. 7. 飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】分析出，从而得到，错位相加法求和，求极限，得到答案. 【详解】，即投掷1次到达终点，故第一次投掷的点数为3，故， ，即投掷2次到达终点，故第一次投掷的点数不为3， 第二次投掷的点数可根据第一次投掷的点数来唯一确定， 两次投掷的点数有以下的情况，， 故， ，即投掷3次到达终点，前两次投掷均没有到达终点， ， ……， ，即投掷次到达终点，前次投掷均没有到达终点， ， 故①， ②， 则①-②得 ， 故. 故选：B 【点睛】关键点点睛：分析得到，即投掷次到达终点，前次投掷均没有到达终点，得到，再根据求期望公式和错位相减法进行求解. 8. 若函数，存在两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用导数的几何意义求出与相切时的a的值，根据a的值分段讨论,利用指数函数的增长速度判断交点个数. 【详解】函数，存在两个不同的零点， 令， 即与有两个不同的交点， 又， 令，即， 此时与相切于点， 又，所以既是与交点又是切点， 当时， 当时，从递减到， 函数从递减到， 由于递减较快，在处与相交一次， 当时，当 ， 但的增长速度比 快，因此两者会在 处相交一次， 所以在 和 各有一个交点，加上固定零点，总共有两个不同的零点， 当时， 当时，的递减速度比慢， 因此始终位于上方，所以无交点， 当时，， 但的增长速度比 慢，因此两者会在 处相交一次， 所以在处有一个交点，加上固定零点，总共有两个不同的零点. 当时， 令，即仅在相交， 当时， 当时，的递减速度比慢， 因此始终位于上方，所以无交点， 当时，的增长速度进一步降低，无法与交， 所以仅有一个零点，不满足题目要求， 数的取值范围为， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于随机变量的期望与方差，以下说法正确的是（ ） A. 设为随机变量，为常数，则 B. 若，则与试验次数无关 C. 若，则 D. 两点分布中，时，方差最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据期望和方差的性质即可判断；对于B：根据二项分布的期望和方差公式直接判断即可；对于C：根据正态分布的期望和方差公式直接判断即可；对于D：根据两点分别的方差公式结合基本不等式即可判断. 【详解】对于选项A：根据期望和方差的性质可知：，故A正确； 对于选项B：若，则，与试验次数无关，故B正确； 对于选项C：若，则，故C错误； 对于选项D：设成功的概率为， 则方差， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，方差最大，故D正确； 故选：ABD. 10. 下列关于概率统计说法中正确的是（ ） A. 两个变量，的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 在回归分析中，为的模型比为的模型拟合的更好 D. 某人在10次答题中，答对题数为，，则答对7题的概率最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】用概率与统计的知识点，逐个分析每个选项，排除可得答案. 【详解】对于A，两个变量，的相关系数为，越小，与之间的相关性越弱，故A正确 对于B，，，故B错误 对于C，越接近1，模型拟合越好，且，故C正确. 对于D，，故， 令，解得， 故，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，“锦鲤曲线”由函数与的部分图象组成，其中．下列说法正确的是（ ） A. 曲线上任意点，与P对应的点也在曲线上 B. 曲线的“鱼尾”宽的取值范围为 C. 曲线“鱼身” D. 存在三条不同的直线被“锦鲤曲线”截得弦长为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】证明函数与互为反函数，可判断A的真假；设，，求的取值范围，可判断BD的真假；根据求的取值范围，可判断C的真假. 【详解】对A：由. 所以函数与互为反函数， 根据反函数的性质，曲线上任意点，与P对应的点也在曲线上，故A正确； 对C：由. 设（），则. 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，，，所以. 又，所以，所以不成立，故C错误； 对B：设，则，那么点坐标为，所以“鱼尾”的宽为： . 由题知当和时，；当时，，所以的取值范围是，故B正确； 对D：因为，根据函数的性质，且， 所以当时，，所以在，，上各有一解，故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，含项的系数是__________. 【答案】24 【解析】 【分析】根据题意，写出其通项，再求其特定项的系数即可. 【详解】在的展开式中，. 令得，所以含项的系数是. 故答案为：24. 13. 已知随机变量X的分布列为，，则的值为____________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，已知点在曲线上运动，点在直线上运动，点，为中点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，点的坐标为，求的解析式，设，利用导数证明，则，设，利用导数求的最小值，由此可得结论. 【详解】设点的坐标为，点的坐标为， 则点的坐标为，又， 所以 ， 设， 则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 所以， 当且仅当时取等号， 设，则， 令，所以， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 所以， 当且仅当，时等号成立，即，时等号成立. 所以的最小值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了研究高中学生每天整理数学错题的情况，沈阳市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 a 不是每天都整理数学错题人数 b 15 20 合计 40 （1）计算a，b的值，并判断是否有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ （2）从样本中不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为X，求X的分布列和期望. 附： 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1），，有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关” （2） X 0 1 2 3 P ， 【解析】 【分析】（1）根据列联表计算，计算卡方，利用独立性检验即可求解； （2）根据题意先求的可能取值，再求对应的概率，即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 依题意，，， 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 零假设为：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关 根据列联表中的数据，计算得 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”. 【小问2详解】 不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5，X的所有可能值为0，1，2，3， ，，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 期望. 16. 甲和乙两人进行足球射门比赛，规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢的概率为，其中. （1）若，分别计算比赛结束时甲赢的局数为2的概率及局数为3的概率； （2）记为在甲和乙进行了4局比赛分出胜负的条件下甲获胜的概率，为在甲和乙进行了5局比赛分出胜负的条件下甲获胜的概率，若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）比赛结束时甲赢的局数为2局即前4局甲赢2局，最后一局乙赢；甲赢的局数为3局即前4局甲赢2局最后一局甲赢，或者是前三局甲赢. （2）分别计算在4局和5局结束时甲获胜的条件概率，并通过比较大小求解取值范围. 【小问1详解】 记比赛结束时甲赢的局数为， 当时，比赛结束共打了5局，甲在前4局中赢2局，其余3局是乙赢， 则， 当时，比赛结束共打了3、或4、或5局，即连打3局都是甲赢、 或打4局发生甲赢前3局中2局和第4局、或打5局发生甲赢前4局中2局和第5局， 则. 【小问2详解】 记事件为“进行了4局比赛分出胜负”， 则 记事件为“甲获胜”，则事件为“进行了4局比赛且甲获胜”， 则 因此，在进行了4局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为， 记事件为“进行了5局比赛分出胜负”， 则 则表示“进行了5局比赛且甲获胜”， 故 因此，在进行了5局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为， 依题意有， 所以. 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间与极值． 【答案】（1） （2）当时，的增区间是，减区间是，， 极大值为，极小值为；当时，的增区间是，，减区间是，极大值为，极小值为． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出； （2）根据分类讨论思想以及函数单调区间与极值的求法即可解出． 【小问1详解】 函数定义域为.若,则， ，所以切线方程为. 【小问2详解】 ， 令，有两根，或. (1)当时,与的情况如下： - 0 + 0 - 减 极小 增 极大 减 由表可知,的增区间是，减区间是，， 极大值为，极小值为． (2)当时,与的情况如下： + 0 - 0 + 增 极大 减 极小 增 由表可知,的增区间是，，减区间是， 极大值为，极小值为． 18. 小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布. （1）若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布. （i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求. （ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由. （2）若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差.（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. ③参考数据：，，， ， 【答案】（1）（i）； （ii）由（i）得. 因为小张计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克，且， 所以，则小张购买的这25箱苹果质量的平均值为4938.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小张举报该超市的理由. （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）根据已知，应用特殊区间的概率及正态分布的对称性求；（ii）根据（i）结果及已知小概率事件的定义得结论； （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，且，应用特殊区间的概率求得，进而有并应用二项分布的方差公式求方差. 【小问1详解】 （i）依题意得，，所以. 设，因为， 则； （ii）略 【小问2详解】 设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则. 设，由， 得 ， 根据题意，得随机变量，故. 19. 已知函数，（）. （1）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围； （2）若存在正数x，使成立，求实数a的取值范围； （3）若，证明：对任意的，存在唯一的实数，使得成立. 【答案】（1） （2） （3） 设，，下面分唯一性和存在性两方面来证明： 唯一性：由，知的导数等于， 而，故显然恒为负，从而在上单调递减， 特别地，在上单调递减， 这表明，使得的至多有一个，从而唯一性得证. 存在性：先考虑函数，这里．由于， 故当时，当时， 从而在上单调递减，在上单调递增， 从而对于任意的，都有，即. 这就得到，对任意，有. 从而，对任意的，都有；而对任意的，都有 然后回到原题，首先有 . 同时又有， ， 故. 由零点存在定理，知一定存在，使得， 综合上述的存在性和唯一性两个方面， 知存在唯一的，使得 【解析】 【分析】（1）在区间上为减函数，可得在区间上，即， 而后根据的范围求出的范围即可； （2）先对进行求导得到，再对进行分类讨论即可； （3）从唯一性与存在性两方面进行证明，再结合零点的存在性定理得到最后结论. 【小问1详解】 解：在区间上为减函数，∴在区间上， ∴，令，只需， 显然在区间上为减函数， ∴，∴； 【小问2详解】 解：由题意得（），则， 若，由于，故存在正数使得，条件满足； 若，令，则， 可知在上单调递增，在上单调递减， 从而此时对任意的都有，条件不满足. 综上，a的取值范围是； 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：（1）在区间上为减函数，可得在区间上，即， 而后根据的范围求出的范围即可； （2）先对进行求导得到，再对进行分类讨论即可； （3）从唯一性与存在性两方面进行证明，再结合零点的存在性定理得到最后结论. 方法点睛：1、若函数在区间内的导数，则在该区间内单调递增； 若函数在区间内的导数，则在该区间内单调递减； 2、不等式恒成立问题：若要求不等式在某个区间内恒成立，可以转化为求函数在该区间内的最值问题. 关键点点睛：（1）抓住在区间上为减函数，转化为在区间上进行解题； （2）先对进行求导得到，再对进行分类讨论，将存在性问题转化为函数最值问题是关键； （3）从唯一性与存在性两方面去证明，其中理解并运用零点的存在性定理是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $