精品解析：湖北省黄石市第二中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试卷

黄石二中2025年5月高三适应性考试（二） 数 学 全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合A，B，再由集合的并集、补集运算求解. 【详解】因为，， 所以， ， 故选：C 2. 已知复数满足，则复数的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再得共轭复数，即可得其虚部. 【详解】复数满足， 则， 所以，故复数的共轭复数的虚部是. 故选：D. 3. 已知公比为的等比数列的前 项和为，命题，命题 ：对恒成立，则是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式写出，再结合充分必要条件的定义即可判断. 【详解】由等比数列的通项公式可知， 当时，可得到，即充分性成立； 反之，若，如，不符合，所以必要性不成立. 所以是 的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知非零平面向量，，，，向量在向量方向上的投影向量为，则向量，的夹角θ为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的计算及向量夹角公式即可求解. 【详解】由题知，，， ，， ， ， ，， 故选：C． 5. 的展开式的第4项系数是（ ） A. B. 280 C. D. 560 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理列式求得答案. 【详解】的展开式的第4项系数是. 故选：A 6. 已知随机变量，且，若函数，将向左平移个单位后，所得函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求出，由正弦函数的图像变换及正弦函数的单调性可得，从而可求解. 【详解】因为随机变量，且， 所以，解得， 所以. 将向左平移个单位后，所得函数为. 时，，故. 因为函数在上单调递增， 所以，即， 所以. 因为，所以，解得， 所以，所以. 故选:B. 7. 在 中，， 为边 上一点，满足，以为焦点作一个椭圆 ，若 经过两点，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】设，，则，， 设该椭圆长半轴长为 ，由椭圆的定义可知： ，解得 所以，，， 在 中，显然有，所以， 设，由余弦定理可知：， 即解得 因此椭圆的焦距为， 所以椭圆的离心率为：. 故选：C. 8. 狄利克雷函数定义为：，以下选项中正确的是（ ） A. 不存在，使得恒成立 B. 存在，使得恒成立 C. 对任意，满足 D. 函数图象上存在三点，使得 是直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据狄利克雷函数的定义可知当时，恒成立，即可判断选项A；分析可知对于，当 时，不成立，即可判断选项B；令，，即可判断选项C；取点，，，利用勾股定理即可即可判断选项D. 【详解】根据狄利克雷函数，可知： 当时，若，则，，所以； 若，则，，所以， 故时，恒成立，故选项A错误； ，当 时，； ，当 时，， 所以对于，当 时，不成立，故选项B错误； 令，，则，此时，，不成立，故选项C错误； 取函数图象上点，，，此时，，， 所以，所以 是直角三角形，故选项D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面说法正确的是（ ） A. 若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4 B. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 C. 已知 是随机变量，则 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 【答案】BC 【解析】 【分析】利用方差的性质判断A；根据等差数列的性质及中位数定义判断B；根据判断C；由相关系数的实际意义判断D. 【详解】A：由数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差，错； B：对于等差数列， 若正整数，则， 若正整数，则， 又等差数列的平均数为， 结合中位数定义及等差数列的性质，易知中位数也为，对； C：由于一组数据的方差，且，则，对； D：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1，错. 故选：BC 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若空间中任意一点，有，则 ，A， ，四点共面 B. 若直线与直线平行，则直线与之间的距离为 C. 过点的直线 与曲线相交于 两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线 的方程为 D. 若直线 的方向向量为，平面的一个法向量为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据四点共面的结论分析判断；对于B：根据直线平行求得 ，进而求两平行线间距离；对于C：曲线为以为圆心，半径的上半圆，进而分析的面积最值，结合图象求直线的倾斜角和方程；对于D：分析可知，进而判断线面关系. 【详解】对于选项A：因为，且， 所以 ，A， ，四点共面，故A正确； 对于选项B：若直线与平行，则，即 ， 此时直线，直线，即为， 两直线平行，符合题意， 所以直线与之间的距离为，故B正确； 对于选项C：由整理可得， 可知曲线为以为圆心，半径的上半圆， 则的面积， 当且仅当时，等号成立， 此时到直线 的距离， 因为点在圆外，且， 可知，则直线 的倾斜角为，斜率为， 所以直线 的方程为，即，故C错误； 对于选项D：因为，，即， 可知，所以，故D正确； 故选：ABD. 11. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，若 在上单调递增，则 B. 当时，函数 有两个极值点 C. 曲线的对称中心的横坐标与c有关 D. 当时，过点可作曲线的切线有3条 【答案】BD 【解析】 【分析】当时， 在上单调递增，所以在上恒成立，转换不等式构造函数求最值即可得 的取值范围，即可判断A；根据导函数的根的根个数确定极值点个数，即可判断B；由函数对称的坐标关系即可判断C；根据导数的几何意义设切点坐标为，求切线方程解得切点恒坐标的根的个数即可得判断D. 【详解】对于A，当时， 在上单调递增，所以在上恒成立， 则在上恒成立， 而，所以，即，故A错误； 对于B，当时，，， 方程有两个不等实根，易得 有两个极值，故B正确； 对于C，若曲线称中心为，则， 因为，所以， 则， 整理得：， 所以若有对称中心则：，解得， 故对称中心横坐标为，与 无关，故C错误； 对于D，当时，，设切点，，， 所以切线， 因为切线过点， 所以，化简得， 方程有三个根，切点有三个，故切线有三条，故D正确. 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前n项和为，，则公差_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式以及求和公式，建立方程组，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为： . 13. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用凑角法和同角三角函数关系得到方程组，求出，，从而利用进行求解. 【详解】， ， 故， 所以， 解得，故， 所以 . 故答案为： 14. 祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线，其中，分别联立方程组和，求得 的坐标，进而求得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同，利用圆柱的体积公式，即可求解 【详解】如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为 ， 由直线，其中， 联立方程组，解得， 联立方程组，解得， 所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为， 根据“幂势既同，则积不容异”， 可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同， 所以该几何体的体积为. 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知旋转面的面积为，可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同, 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点． （1）求证：面 面 ； （2）若直线CE与面 所成角的余弦值为，试求AE的长． 【答案】（1）证明如下： 因为三棱柱为正三棱柱， 所以，因为D为AB中点，所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ， 平面面 ， 所以面 ， 面 ， 所以平面 面 . （2）AE的长为 . 【解析】 【分析】（1）先证得 ， ，由线面垂直的判定定理可得面 ，再由面面垂直的判定定理可得平面 面 . （2）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设设，分别求出直线CE的方向向量与面 的法向量，再由线面角的向量公式即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点 作，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，， ，设面 的法向量为， ， 则，所以，令 ，则 ， 所以，因为直线CE与面 所成角的余弦值为， 所以直线CE与面 所成角的正弦值为，设为 ， 即，即 ， 解得： 或 （舍去）， 所以 ，AE的长为 . 16. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且. （1）求的大小. （2）如图所示， 为△ABC外一点，，，，求角D. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）首先由正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简等式，即可求解； （2）根据几何关系，在和 中，根据正弦定理表示，利用等量关系，即可求解. 【小问1详解】 ， 在△ABC中，由正弦定理得， ， 由三角形内角和为可得， ，即， ，，，即， 又，，即,. 【小问2详解】 设，令，， 在中，由正弦定理得，，，. 在 中，由正弦定理得，，， ，， ，解得. 17. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复． （1）求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第 天选择米饭套餐的概率为； ①求； ②当 时，恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据古典概型计算公式可得结果； （2）①利用全概率公式计算可得，再由等比数列定义计算可得；②结合通项公式以及数列单调性可得，即求得 的取值范围. 【小问1详解】 设为“第4天中午选择米饭套餐”， 根据每天与前一天选择不一样的套餐，且第一天选择米饭套餐，接下来的三天中每天都只有两种选择， 因此样本空间包含 个样本点， 若第一天选择米饭套餐，第4天选择米饭套餐，则第二天有两种选择，第三天的和前后两天都不能相同，仅有一种选择， 即事件中包含个样本点， 所以， 所以第4天中午选择米饭套餐的概率 【小问2详解】 ①设为“第 天选择米饭套餐”，为“第 天选择面食套餐”，为“第 天选择西餐套餐” 根据题意，，，， 由全概率公式得： ， ∴， 因为 ∴ 因此，因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以 ②由①可得， 当 为大于1的奇数时， 当 为正偶数时， 因此，当 时，，所以． 18. 在平面直角坐标系 中，抛物线：的焦点为F，点，过F的直线交C于M、N两点．当直线 的斜率为1时，． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线 、与抛物线C的另一个交点分别为A、B，，求 的值； （3）若记直线 、 的倾斜角分别为、，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，联立直线 与抛物线C的方程，结合韦达定理及弦长公式求解即可； （2）分别设出直线 ， 的方程与抛物线C的方程联立，结合韦达定理表示出，进而解方程求解即可； （3）由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，， 当直线 的斜率为1时，直线 的方程为，设， 联立，得, 则，, 所以，即 ， 所以抛物线C的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，， 设，直线， 联立，可得 ， 则， 设直线， 联立，得， 则，，即， 同理可得，即， 又，且， 所以， 将，，代入得， 又，则，又，则. 【小问3详解】 因为直线 、 的倾斜角分别为、， 所以，， 由，，， 则， 则， 若要使最大，则，设， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在 处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的 阶导数． （1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； （2）当时，比较与的大小，并证明； （3）设，证明：． 【答案】（1），； （2），证明如下： 记， 因为，所以在上单调递增， 又，所以时有， 所以. （3）证明如下： 由（2）知，，即， 所以， 即. 令，则， 所以在上单调递减，所以 ，故， 所以， 则，即. 综上，时，. 【解析】 【分析】（1）求出，根据泰勒公式可得； （2）构造函数，利用导数判断单调性，结合可证； （3）利用（2）中结论令，结合裂项相消法可证，构造函数证明，令，利用裂项相消法可证. 【小问1详解】 因为， 所以 所以的泰勒公式为：， 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：第三问关键在于构造差函数证明，结合（2）中结论令，使用裂项相消法即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄石二中2025年5月高三适应性考试（二） 数 学 全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知公比为的等比数列的前 项和为，命题，命题 ：对恒成立，则是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知非零平面向量，，，，向量在向量方向上的投影向量为，则向量，的夹角θ为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式的第4项系数是（ ） A. B. 280 C. D. 560 6. 已知随机变量，且，若函数，将向左平移个单位后，所得函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，为边上一点，满足，以为焦点作一个椭圆，若经过两点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 狄利克雷函数定义为：，以下选项中正确的是（ ） A. 不存在，使得恒成立 B. 存在，使得恒成立 C. 对任意，满足 D. 函数图象上存在三点，使得是直角三角形 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面说法正确的是（ ） A. 若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4 B. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 C. 已知 是随机变量，则 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若空间中任意一点，有，则，A，，四点共面 B. 若直线与直线平行，则直线与之间的距离为 C. 过点的直线 与曲线相交于 两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线 的方程为 D. 若直线 的方向向量为，平面的一个法向量为，则 11. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，若在上单调递增，则 B. 当时，函数有两个极值点 C. 曲线的对称中心的横坐标与c有关 D. 当时，过点可作曲线的切线有3条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前n项和为，，则公差_______. 13. 已知，，则________． 14. 祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为____________． 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点． （1）求证：面 面 ； （2）若直线CE与面 所成角的余弦值为，试求AE的长． 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且. （1）求的大小. （2）如图所示，为△ABC外一点，，，，求角D. 17. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复． （1）求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第 天选择米饭套餐的概率为； ①求； ②当 时，恒成立，求 的取值范围． 18. 在平面直角坐标系 中，抛物线：的焦点为F，点，过F的直线交C于M、N两点．当直线 的斜率为1时，． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线 、与抛物线C的另一个交点分别为A、B，，求 的值； （3）若记直线 、的倾斜角分别为、，求的最大值． 19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在 处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的 阶导数． （1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； （2）当时，比较与的大小，并证明； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $