精品解析：江苏省宿迁市沭阳县建陵中学、马塘中学2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题

2024—2025学年度第二学期第一次学情调研 高二数学 （考试时间：120分钟） 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求. 1.本试卷共4页，包含选择题（第1题～第11题）填空题（第12题～第14题，共73分）、解答题（第15～19题，共77分），满分150分. 2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置. 3.答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答.在试卷或草稿纸上作答一律无效. 4.如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在点处的切线的倾斜角为，则实数的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2. 随机变量的分布列为，，，则（ ） A B. C. D. 3. 已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（ ） x 4 4.5 5 5.5 6 y 7 6 4 2 1 A. 0.2 B. C. 0.4 D. 4. 函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（ ） A. 16 B. 32 C. 27 D. 81 6. 已知定义在上函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（ ） A. 直线MN与所成角的余弦值为 B. 平面与平面夹角的余弦值为 C. 在上存在点Q，使得 D. 在上存在点P，使得平面 8. 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名.由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为50万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分或3分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知直线l⊥平面，直线m∥平面，则“∥”是“l⊥m”的必要不充分条件 B. 若随机变量服从正态分布N(1，)，P(≤4)＝0.79，则P(≤﹣2)＝0.21 C. 若随机变量服从二项分布，~B(4，)，则E(2＋3)＝5 D. 甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件M为“4个人去的景点各不相同”，事件N为“甲不去其中的A景点”，则P(MN)＝ 10. 已知函数，下列判断正确是（ ） A. 的单调减区间是， B. 的定义域是 C. 的值域是 D. 与有一个公共点，则或 11. 正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是3（如图），则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 该正八面体的外接球与内切球的半径之比为 D. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则______. 13. 若点是曲线上任意一点，则点P到直线：距离的最小值为________. 14. 某公园有一个坐落在地面上的大型石雕，如图是该石雕的直观图．已知该石雕是正方体截去一个三棱锥后剩余部分，是该石雕与地面的接触面，其中是该石雕所在正方体的一个顶点．某兴趣小组通过测量的三边长，来计算该正方体石雕的相关数据．已知测得，，，则该石雕所在正方体的棱长为______；该石雕最高点到地面的距离为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中. （1）求展开式的第4项的系数； （2）若第项是有理项，求取值集合. 16. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的极值点； （3）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 17. 为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群（数量较大）进行试验，从该试验种群中随机抽查了80只，得到如下的样本数据（单位：只）： 发病 没发病 合计 使用药物 10 30 40 没使用药物 25 15 40 合计 35 45 80 （1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？ （2）从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物使用药物，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，证明：，并利用表中数据求出值． （3）若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中使用药物的只数为，求随机变量的分布列，数学期望． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3841 6.635 10.828 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 19. 强基计划于年在有关高校开始实施，主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. （1）若数学组的名学员中恰有人来自中学，从这名学员中随机选取人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为、.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且. ①求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值； ②如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期第一次学情调研 高二数学 （考试时间：120分钟） 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求. 1.本试卷共4页，包含选择题（第1题～第11题）填空题（第12题～第14题，共73分）、解答题（第15～19题，共77分），满分150分. 2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置. 3.答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答.在试卷或草稿纸上作答一律无效. 4.如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在点处的切线的倾斜角为，则实数的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义计算即可. 【详解】易知，所以. 故选：A 2. 随机变量的分布列为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由均值的计算公式和均值的性质求解即可得出答案. 【详解】由题意可得，， 则. 故选：C. 3. 已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（ ） x 4 4.5 5 5.5 6 y 7 6 4 2 1 A. 0.2 B. C. 0.4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得样本中心点的坐标，即可得到，得到线性回归方程，然后求得时的预测值，再由残差定义即可求解. 【详解】因为，， 则样本中心点为，代入可得， 所以回归直线方程为， 当时，， 所以时的残差为. 故选：D 4. 函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数在上单调递增，可得在上恒成立，然后利用分离参数法即可求解. 【详解】因为，所以. 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即，即可 令，则 由函数单调性的性质知，在上减函数， ，即. 所以实数的取值范围为。 故选：A. 5. 的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（ ） A. 16 B. 32 C. 27 D. 81 【答案】D 【解析】 【分析】原问题即为求展开式中的所有项的系数和，令，即可得答案. 【详解】解：展开式的通项公式为， 若展开式中的项不含z，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项， 令，可得所有不含z的项的系数之和为， 故选：D. 6. 已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构建，根据题意分析可知在上单调递减，结合函数单调性解不等式. 【详解】构建，则， 因为，则，即， 可知在上单调递减，且， 由可得，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：根据构建，进而利用导数判断函数单调性，结合单调性解不等式. 7. 已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（ ） A. 直线MN与所成角余弦值为 B. 平面与平面夹角的余弦值为 C. 在上存在点Q，使得 D. 在上存在点P，使得平面 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，由空间向量计算异面直线所成角，二面角和线线垂直可判断ABC；由四点共面，而平面可判断D. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1， 所以，， ， 对于A，，， 直线MN与所成角的余弦值为，故A错误； 对于B，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， ，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 平面与平面夹角的余弦值为： ，故B错误； 对于C，因为Q在上，设，所以，， 则，所以， 所以，， 所以，解得：. 故上存在点，使得，故C正确； 对于D，因为，所以四点共面， 而平面，所以上不存在点P，使得平面，故D错误. 故选：C. . 8. 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名.由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为50万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为,设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为，根据马尔可夫不等式可得，再根据二项分布求得，令，利用导数即可求得最大值. 【详解】设为某市去年1名市民的年收入， 某市去年的人均年收入为50万元，则， 设1名市民去年的年收入超过100万元的概率为， 所以， 因为， 由题可得， 设，， 则， 所以， 即的最大值为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分或3分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知直线l⊥平面，直线m∥平面，则“∥”是“l⊥m”的必要不充分条件 B. 若随机变量服从正态分布N(1，)，P(≤4)＝0.79，则P(≤﹣2)＝0.21 C. 若随机变量服从二项分布，~B(4，)，则E(2＋3)＝5 D. 甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件M为“4个人去的景点各不相同”，事件N为“甲不去其中的A景点”，则P(MN)＝ 【答案】BC 【解析】 【分析】“∥”是“l⊥m”的充分不必要条件，所以选项A错误；由正态分布计算得选项B正确；利用二项分布计算得选项C正确；由题得P(MN)＝，所以选项D错误． 【详解】已知直线l⊥平面，直线m∥平面，当∥时，一定有l⊥m；当l⊥m时，有可能平行，也有可能相交，则“∥”是“l⊥m”的充分不必要条件，所以选项A错误； 由题得P(≤﹣2)＝P(≥4)＝1﹣P(≤4)＝0.21，所以选项B正确； 若随机变量服从二项分布，~(4，)，则()＝1，所以(2＋3)＝2()＋3＝5，所以选项C正确； 由题得(MN)＝，所以选项D错误． 故选：BC． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于判断选项D的真假，判断其真假的关键在于弄懂事件“”的含义，它表示事件发生，且事件发生. 即“4个人去的景点各不相同，甲不去其中的A景点”. 10. 已知函数，下列判断正确的是（ ） A. 的单调减区间是， B. 的定义域是 C. 的值域是 D. 与有一个公共点，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】先判断函数定义域，再求导分析函数的单调性与最值作出简图，进而可判断各选项. 【详解】对B，函数定义域满足，解得，故B正确； 对A，，令可得和， 解得和，故的单调减区间是，，故A正确； 对C，由A可得当和时单调递减， 当时单调递增，且， 作出简图，可得的值域是，故C错误； 对D，由图象可得，与有一个公共点，则或，故D正确； 故选：ABD 11. 正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是3（如图），则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 该正八面体的外接球与内切球的半径之比为 D. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，连接，，，由题可得，，从而平面，据此可判断选项正误；对于B，连接，，由题可得四边形为菱形，从而可得，据此可判断选项正误；对于C，由对称性可得外接球球心为O，据此可得外接圆半径，由等体积法可得内切球半径，据此可判断选项正误；对于D，由B分析可知，到平面距离始终等于到平面距离，据此可得体积为定值，然后由可算得体积. 【详解】对于A，连接，，，由对称性可知，平面， 且，，相交于点，为，，的中点， 又，， 故四边形为菱形，四边形为菱形. 可知，，，是平面内两条相交直线， 所以平面，又平面，故，故A正确 对于B，连接，，由对称性可知，平面， 且，相交于点，为和的中点， 又，故四边形为菱形，故， 又平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，由对称性可得外接球球心为O，由球心定义可得， 结合四边形为菱形，可得四边形为正方形，则外接球半径为. 设内切球球心为r，则，其中S为正八面体表面积，V为正八面体体积. 则，， 则，则外接球与内切球的半径之比为，故C错误； 对于D，由B分析可知平面，因点为棱上的动点， 则到平面距离始终等于到平面距离，又为定值，则为定值. 又注意到点A到平面的距离为，设菱形的面积为， 则，， 又，则三棱锥的体积为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由正态分布的对称性可得，代入可求，再根据即可求解. 【详解】因为，所以该正态曲线关于直线对称， 所以， 则. 又，所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 若点是曲线上任意一点，则点P到直线：距离的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.根据导数的几何意义即可求解． 【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小． 设切点为， ∴切线斜率为， 由题知，解得或(舍)． ∴，此时点到直线距离． 故答案为：． 14. 某公园有一个坐落在地面上的大型石雕，如图是该石雕的直观图．已知该石雕是正方体截去一个三棱锥后剩余部分，是该石雕与地面的接触面，其中是该石雕所在正方体的一个顶点．某兴趣小组通过测量的三边长，来计算该正方体石雕的相关数据．已知测得，，，则该石雕所在正方体的棱长为______；该石雕最高点到地面的距离为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】补齐为正方体，设，，，结合勾股定理列出方程组即可解得，进而求得该石雕所在正方体的棱长；以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解点到平面的距离，进而求解. 【详解】如图，补齐为正方体，设，，， 则，解得，，， 即该石雕所在正方体的棱长为. 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，可得， 所以点到平面的距离为， 即该石雕最高点到地面的距离为. 故答案为：6；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中. （1）求展开式的第4项的系数； （2）若第项是有理项，求的取值集合. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据二项式展开式的通项公式结合题意直接求解即可； （2）先求出二项式展开式的通项公式，再由的次数为整数可求得结果. 【小问1详解】 ， 所以展开式的第4项的系数为； 【小问2详解】 ，. 当为整数时为有理项，即. 则的取值集合为. 16. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的极值点； （3）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）极小值点为，无极大值点； （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）求导，确定函数单调性即可求解； （3）参变分离，设，求其最值即可求解. 【小问1详解】 由题设的定义域是，， 则，， 所以，即， 即在处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，函数的定义域为， 求导得， 由，得，当时，；当时，， 即在单调递减，在单调递增， 所以是函数的极小值点，无极大值点. 【小问3详解】 当时， 不等式， 设， 依题意，，， 求导得， 由，得； 由，得， 函数上单调递增，在上单调递减， ，则， 所以实数的取值范围是. 17. 为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群（数量较大）进行试验，从该试验种群中随机抽查了80只，得到如下的样本数据（单位：只）： 发病 没发病 合计 使用药物 10 30 40 没使用药物 25 15 40 合计 35 45 80 （1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？ （2）从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物使用药物，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，证明：，并利用表中数据求出值． （3）若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中使用药物的只数为，求随机变量的分布列，数学期望． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10828 【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关； （2）证明过程见解析；； （3）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）求得卡方值，与临界值进行比较即可； （2）利用条件概率的概率公式、对立事件的概率公式、以及全概率公式进行化简，再利用表中数据求出，即可； （3）先求出频率，则服从二项分布，按照二项分布列出其分布列，并求其期望即可 【小问1详解】 提出零假设该药物与预防该疾病无关， 根据表格得出，， 由此推断不成立， 则能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关. 【小问2详解】 由条件可得， 由表中数据可知，，，则. 【小问3详解】 样本中没发病的动物有只，其中使用药物的有只， 则使用药物且没发病的频率为， 将频率视作概率，则， 则，， ，， 则的分布列为： 期望. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据长度关系先证明，再根据条件证明出平面，由此可得，根据线面垂直的判定定理可完成证明； （2）建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面和平面的一个法向量，先计算出法向量夹角的余弦值，则二面角的正弦值可求； （3）设，然后根据与平面法向量夹角的正弦值求解出的值，则的长度可求. 【小问1详解】 因为，所以，且， 所以四边形为矩形，所以， 又因为，，所以， 所以，所以，所以， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面. 【小问2详解】 以为原点，分别以方向为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 由条件可知，所以， 所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，取，则，所以， 设平面的一个法向量为， 所以，取，则，所以， 所以， 设二面角的平面角为，所以， 故二面角的正弦值为. 【小问3详解】 设，因为，所以， 因为，所以， 取平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 所以，解得， 因为，所以. 19. 强基计划于年在有关高校开始实施，主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. （1）若数学组的名学员中恰有人来自中学，从这名学员中随机选取人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为、.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且. ①求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值； ②如果甲、乙两位同学想此次答题活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 【答案】（1）分布列见解析， （2）①；②轮 【解析】 【分析】（1）分析可知，的所有可能取值是、、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）①设甲、乙两位同学在每轮答题中取胜为事件，利用独立事件的概率公式结合可得出，求出的取值范围，可求得的取值范围，令，，结合二次函数的基本性质可求得的最大值； ②要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值，设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，根据二项分布的期望公式以及已知条件可得出关于的不等式，即可解得的最小值. 【小问1详解】 由题意可知，的所有可能取值是、、、， ，， ，， 所以的分布列是 数学期望是. 【小问2详解】 ①设甲、乙两位同学在每轮答题中取胜为事件， 则 ， 由，得. 因为，，所以， 令， 所以，设，则， 当时，取得最大值. 所以，甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率取得最大值. ②要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值. 设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，， 由，即解得. 而，则，所以理论上至少要进行轮答题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$