精品解析：江苏省沭阳高级中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷

高二第二学期第二次月考 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据.则该队员得分的40百分位数是（ ） 每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30 频数 2 1 2 3 1 1 1 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】首先可得一共有场比赛得分，再根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】解：依题意可知一共有场比赛得分， 其中，所以第百分位数为第个数为； 故选：C 2. 的值是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 22024 【答案】B 【解析】 【分析】逆用二项式展开式计算求解. 【详解】 . 故选：B   3. 已知直线与平面，，，能使的充分条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，判断可能平行，可能相交，可知A的正误；对于B，判断，可判断B；对于C，根据面面垂直的判定定理可判断；对于D，判断相交但不一定垂直，可判断D. 【详解】对于A，当，时，可能平行，可能相交，但不一定垂直，A错误； 对于B，当，时，，B错误； 对于C，，，根据面面垂直判定定理可知，C正确； 对于D，当，，时，，但相交但不一定垂直， 如图示： 故D错误； 故选：C 4. 下列关于回归分析的说法中错误的是（ ） A. 回归直线一定过样本中心 B. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适 C. 决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好 D. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 【答案】C 【解析】 【分析】根据回归直线过样本中心点可判断A；利用残差图与模型的拟合效果的关系可判断B；利用相关指数与模型拟合效果的关系可判断C；利用残差平方和与模型拟合效果之间的关系可判断D. 【详解】对于A选项，回归直线一定过样本中心，A选项正确； 对于B选项，残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，B选项正确； 对于C选项，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型甲的拟合效果更好，C选项错误； 对于D选项，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，D选项正确. 故选：C. 5. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. 0.12 B. 0.22 C. 0.32 D. 0.42 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合对称性可知，，从而求得的值． 【详解】解：随机变量服从正态分布，且， 由对称性可知，，又，， 故选：C． 6. 已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理求出，求出答案. 【详解】因为， 所以 ， 故，故. 故选：B 7. 某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有（ ） A. 216种 B. 240种 C. 288种 D. 384种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中，甲和乙都没有得到冠军，说明甲和乙的排名都不是第一名，乙当然不会是最差的，说明乙不是最后一名，由此对甲乙的名次进行分析计算即可． 【详解】解：由题可知，甲和乙都不是冠军，所以冠军有4种可能性， 乙不是最后一名，所以最后一名有4种可能性， 所以6人的名次排列情况可能有种． 故选：D． 8. 体积为的三棱柱，所有顶点都在球O的表面上，侧棱底面，底面是正三角形，与底面所成的角是45°．则球O的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三棱柱体积和线面角求出棱长，结合外接球半径计算方法即可得解. 【详解】 三棱柱体积为，侧棱底面，底面是正三角形， 设底面边长，与底面所成的角是45°，即，所以， 三棱柱体积为， 底面三角形外接圆半径， 所以外接球半径， 所球的表面积. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件和表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 事件B与事件相互独立 D. 是两两互斥的事件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据事件的条件概率公式、独立性公式等逐一判断可得结果. 【详解】解：依题意得，，， ， ，， 选项A：，故A不正确； 选项B：因为，故B正确； 选项C：因为，， 故， 所以事件B与事件不相互独立，故C不正确； 选项D：根据互斥事件的定义可知，是两两互斥的事件，故D正确. 故选：BD 10. 某高中有学生人，其中男生人，女生人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为的样本．经计算得到男生身高样本均值为，方差为；女生身高样本均值为，方差为．下列说法中正确的是（ ） A. 男生样本量为 B. 每个女生入样的概率均为 C. 所有样本的均值为 D. 所有样本的方差为 【答案】AC 【解析】 【分析】由分层抽样可判断A；计算女生入样的概率可判断B；计算总体的均值可判断C；计算总体的方差可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：抽样比为，所以样本中男生有人，故选项A正确； 对于B：每个女生入样的概率等于抽样比，故选项B不正确； 对于C：由分层抽样知，样本中男生有人，男生有人，所有的样本均值为：，故选项C正确； 对于D：设男生分别为，，，，平均数，，女生分别为，，，，平均数，，总体的平均数为，方差为， 因为 ， 而， 所以， 同理可得， 所以， 故选项D不正确； 故选：AC 11. 如图，在边长为3的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 过三点的正方体的截面周长为 C. 在线段上运动，则三棱锥的体积不变 D. 为正方体表面上的一个动点，分别为的三等分点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合选项，逐个进行求解，异面直线所成角可以利用平移法求解，确定截面为等腰梯形即可求周长，体积问题利用等体积法求解，的最小值可以利用补形法，补形一个全等的正方体，可求解； 【详解】对于A，取的中点，连接，如图： ， 或其补角是与所成角， 在中，， 故A正确； 对于B，过三点的截面如图所示，其中为的中点， 四边形中，， 所以四边形等腰梯形，所以截面周长为：，故B错误； 对于C，平面平面， 在线段上运动，高和底面积为定值，三棱锥的体积不变， 即三棱锥的体积不变，故C正确； 对于D，如图，补形一个全等的正方体， 设是靠近的一个三等分点，根据题意可得， , ， ， 根据对称性可知，， ，当为与平面的交点时，等号成立，即的最小值为，故D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.（其中13题第一空2分，第二空3分） 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】观察所给等式可知，先取时算出的值，然后取时算出的值代入的值即可. 【详解】因为. 所以取，得；取，得. 所以. 故答案为: 13. 人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内任意一点，则平面的方程为”．现已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，且直线l的方向向量为，则平面的一个法向量可以为_________，直线l与平面所成角的正弦值为_________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】结合题意求出平面的法向量和直线的方向向量，用线面角的向量求法处理即可. 【详解】显然平面的一个法向量可以为, 易知平面的法向量为，平面的法向量为， 且直线l的方向向量为，故，，令， 解得，，故，设直线l与平面所成角为， 则. 故答案为：； 14. 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD, ，点E在棱PB上，且， 过E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是____________. 【答案】## 【解析】 【分析】将四棱锥补形为长方体可得球O球心与球O半径，则当EO与截面垂直时，截面面积最小. 【详解】如图，将四棱锥P-ABCD补为长方体，则此长方体与四棱锥的外接球均为球O， 则球O半径.O位于PC中点处. 因底面ABCD是矩形，则.因PA⊥平面ABCD，平面ABCD，则，又平面PAB，AB平面PAB，，则平面PAB. 因PB平面PAB，则.取PB的中点为F， 则，.. 因，则，得. 则在直角三角形OEF中，. 当EO与截面垂直时，截面面积最小， 则截面半径为. 故截面面积为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 若展开式前三项的二项式系数之和为22. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的常数项. 【答案】（1） （2）135 【解析】 【分析】（1）根据展开式前三项的二项式系数之和求出n的值，即可求出展开式中二项式系数最大的项； （2）利用二项式展开式的通项公式，即可求得答案. 【小问1详解】 因为展开式前三项的二项式系数之和为22，所以， 即， 解得或（舍），故的值为6， 即展开式中最大的二项式系数为，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项， 即. 【小问2详解】 由题意知展开式中通项公式为， 令，解得， 所以，故展开式中的常数项为135. 16. 三台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.05，第二台出现废品的概率是0.03，第三台出现废品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一、二、三台加工的零件之比为3：4：3. （1）求任意取出1个零件是废品的概率； （2）如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率. 【答案】（1）0.045 （2） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）利用条件概率公式计算即可. 【小问1详解】 设事件表示“零件取自第台车床”，事件表示“取到零件为废品”， 因此，，构成样本空间的一个划分. 根据条件则： ，， ，， 根据全概率公式可得 【小问2详解】 如果任意取出的1个零件是废品，它是第二台车床加工的概率. 又因为. 根据条件概率的求解公式 ，即为所求. 17. 为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如下表所示（单位：人）． 有效 无效 合计 口服 40 10 50 注射 30 20 50 合计 70 30 100 （1）根据所选择的100个病人的数据，能否有95%的把握认为给药方式和药的效果有关？ （2）现从样本的注射病人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求至少2人有效的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）有；（2）0.7. 【解析】 【分析】（1）由表格数据计算观测值，对照附表得出结论． （2）按分层抽样方法抽取对应的人数，计算所求的概率值即可． 【详解】解：（1）提出假设：给药方式和药的效果无关， 由表格数据得：， 因为当成立时，的概率约为0.05， 所以，我们有95%的把握认为给药方式和药的效果有关． （2）依题意，从样本的注射病人（50人）中按分层抽样的方法取出的5人中， 有效的人，无效的有2人，记抽取的3人中有i人有效的为事件， 则 因为和互斥，所以抽取的这3个病人中至少有2人有效的概率为 ． 答：其中至少2个病人有效的概率为0.7． 18. 已知矩形中，，的中点为，将绕着折起，折起后点记作点（不在平面内），连接、得到几何体，为直角三角形. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出面，可得出，利用勾股定理可证得，利用线面垂直和面面垂直的判定定可证得结论成立； （2）推导出面，，以点为坐标原点，分别以、、方向为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得平面与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 证明：如图，连接，连接交于点，则， 翻折前，翻折后，则有， 由于为直角三角形，且， ，因此必有， 又因为，、平面，则面， 因为平面，从而可得， 又因，，则，所以，. 又因，、平面，即面， 因为平面，因此，面面. 【小问2详解】 解：如图，取中点为，中点为，连接， 由（1）可知，平面平面， 因为，为的中点，则， 因为平面平面，平面，所以，面， 因为、分别为、的中点，则， 因为，则， 以点为坐标原点，分别以、、方向为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 则、、、， 得，，，， 设平面的一个法向量为， 由，则， 取，则，，得到， 设平面的法向量为， 则，取，则，，则， 则， 从而， 也即平面与平面所成夹角正弦值为. 19. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为恰有1个黑球的概率为. （1）求的值； （2）求的值（用表示）； （3）求的数学期望. 【答案】（1）， （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式先求得，再结合全概率公式可得. （2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. （3）由题意得，结合，由此可得、分布列以及数学期望. 【小问1详解】 根据题意可设恰有2个黑球的概率为， 所以可得恰有0个黑球的概率为， 根据古典概型可得 所以 【小问2详解】 由题意得， 进一步整理可以得到下式： 又 故可以确定是以首项为，公比为的等比数列， 所以 【小问3详解】 由题意可得 ①， ②， ①-②，得， 因为，所以.所以，的概率分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为定值1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第二学期第二次月考 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据.则该队员得分的40百分位数是（ ） 每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30 频数 2 1 2 3 1 1 1 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 的值是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 22024 3. 已知直线与平面，，，能使的充分条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，， 4. 下列关于回归分析的说法中错误的是（ ） A 回归直线一定过样本中心 B. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适 C. 决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好 D. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 5. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. 0.12 B. 0.22 C. 0.32 D. 0.42 6. 已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有（ ） A. 216种 B. 240种 C. 288种 D. 384种 8. 体积为的三棱柱，所有顶点都在球O的表面上，侧棱底面，底面是正三角形，与底面所成的角是45°．则球O的表面积是（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件和表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 事件B与事件相互独立 D. 是两两互斥的事件 10. 某高中有学生人，其中男生人，女生人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为的样本．经计算得到男生身高样本均值为，方差为；女生身高样本均值为，方差为．下列说法中正确的是（ ） A. 男生样本量为 B. 每个女生入样的概率均为 C. 所有样本的均值为 D. 所有样本的方差为 11. 如图，在边长为3的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 过三点的正方体的截面周长为 C. 在线段上运动，则三棱锥的体积不变 D. 为正方体表面上的一个动点，分别为的三等分点，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.（其中13题第一空2分，第二空3分） 12. 若，则________． 13. 人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”．现已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，且直线l的方向向量为，则平面的一个法向量可以为_________，直线l与平面所成角的正弦值为_________. 14. 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD, ，点E在棱PB上，且， 过E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是____________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 若展开式前三项二项式系数之和为22. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中常数项. 16. 三台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.05，第二台出现废品的概率是0.03，第三台出现废品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一、二、三台加工的零件之比为3：4：3. （1）求任意取出1个零件是废品的概率； （2）如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率. 17. 为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如下表所示（单位：人）． 有效 无效 合计 口服 40 10 50 注射 30 20 50 合计 70 30 100 （1）根据所选择的100个病人的数据，能否有95%的把握认为给药方式和药的效果有关？ （2）现从样本的注射病人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求至少2人有效的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 18. 已知矩形中，，的中点为，将绕着折起，折起后点记作点（不在平面内），连接、得到几何体，为直角三角形. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 19. 马尔科夫链是概率统计中一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为恰有1个黑球的概率为. （1）求的值； （2）求的值（用表示）； （3）求的数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $