精品解析：上海市虹口区2024-2025学年高二下学期期末学生学习能力诊断测试数学试卷

虹口区2024学年度第二学期期末学生学习能力诊断测试高二数学试卷2025.6 【注意】 1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分设试题和答题纸，作答时必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试题上作答一律不得分． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分；第7-12题，每空填对得5分．请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内． 1. 设抛物线的准线方程为__________. 2. 函数的导数_____． 3. 过平面外一点与这个平面平行的直线有___________条 4. 直线与的夹角大小为_____． 5. 若一个球的体积为，则它的表面积为_________． 6. 二项式展开式中的常数项为________.（用数字作答） 7. 在正四面体中，棱与所成角大小为________. 8. 某校高一年级名同学在一次数学测验中成绩(百分制，均为整数)的频率分布直方图如图，则成绩在之间的学生人数为_____． 9. 从甲、乙等7名学生中选派4名学生参加演讲比赛，则甲和乙至少一人参加的概率为_____． 10. 已知圆锥的母线长为其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为_____． 11. 如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的渐近线方程为_____． 12. 曲线与曲线分别交于两点，设曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，若，则_____． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 随着Deepseek的流行，各种大模型层出不穷，现有甲、乙两个大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，6位评委分别对甲、乙进行打分(满分10分)，得到如图所示的统计表格： 评委编号模型名称 1 2 3 4 5 6 甲 8.0 9.2 8.0 8.2 8.6 84 乙 7.8 9.0 8.3 8.4 8.5 85 则下列结论正确的是（ ） A. 甲得分平均数大于乙得分的平均数 B. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 C. 甲得分的极差大于乙得分的极差 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 15. 对于定义在上的两个函数，若是奇函数，是偶函数，且当时，，则时，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 16. 对于曲线，给出两个结论：①曲线所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线上的点到原点的距离的最大值为．则（ ） A ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 已知圆经过点，且圆心为． （1）求圆的标准方程； （2）若直线经过两点，且与圆相交于点，求线段的长． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点． （1）求证：平面； （2）若，平面平面，求二面角余弦值． 19. 某校为了解学生的身高情况，从高一、高二、高三三个年级中采用分层抽样的方法抽取了100名学生进行调查，其中高一、高二、高三的学生人数之比为4：3：3． （1）求从高一、高二、高三各年级抽取的学生人数； （2）从抽取的100名学生中随机选取2人协助工作人员调查，求这2人来自不同年级的概率(用最简分数表示)； （3）经过调查，抽取的高二学生身高的平均数为，方差为60，其中被抽中的小李身高是．试求除去小李后其余被抽中的高二学生身高的平均数与方差(结果精确到0.1) 20. 设 （1）当时，求函数的单调区间； （2）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； 21. 在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点． （1）若的离心率为，且，求的方程； （2）若过原点的直线，与相交于两点，是上异于的任意一点，求证：直线的斜率之积是定值； （3）设直线的一个法向量为是上任意一点，对于平面内的一定点，定义．证明：若，则直线与椭圆相切． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 虹口区2024学年度第二学期期末学生学习能力诊断测试高二数学试卷2025.6 【注意】 1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分设试题和答题纸，作答时必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试题上作答一律不得分． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分；第7-12题，每空填对得5分．请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内． 1. 设抛物线的准线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合抛物线的标准方程确定其准线方程即可. 【详解】由抛物线方程可得，则，故准线方程为. 故答案为． 【点睛】本题主要考查由抛物线方程确定其准线的方法，属于基础题. 2. 函数的导数_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式及加法法则求导即可. 【详解】由. 故答案为： 3. 过平面外一点与这个平面平行的直线有___________条 【答案】无数 【解析】 【分析】结合平面的基本性质，以及线，面平行判定定理和性质定理，即可得到结论. 【详解】如图所示，因为点，在平面作两条相交直线， 由直线与点可以确定一个平面，在平面内过点作， 由直线与点可以确定一个平面，在平面内过点作， 因为且，设直线与确定平面，则平面， 在平面内过点的所有直线都平行与平面， 故过平面外一点能作出无数条直线和这个平面平行. 故答案为：无数条. 4. 直线与的夹角大小为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线的斜率求出倾斜角，再由知倾斜角为，根据倾斜角求出两直线的夹角. 【详解】直线化为斜截式为， 故直线的斜率是， 直线的倾斜角满足， 结合，可得， 直线倾斜角为 所以直线与的夹角大小为. 故答案为： 5. 若一个球的体积为，则它的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【详解】 6. 二项式展开式中的常数项为________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项公式计算求解即可. 【详解】二项式展开式中的常数项为. 故答案为：. 7. 在正四面体中，棱与所成角大小为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正四面体的结构特征，取中点，连，，利用线面垂直的判定证得平面，进而得到，即可得到答案. 【详解】如图所示，取中点，连，， 正四面体是四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等， 所以，，且， 所以平面，又由平面， 所以， 所以棱与所成角为. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，以及直线与平面垂直的判定及应用，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 8. 某校高一年级名同学在一次数学测验中成绩(百分制，均为整数)的频率分布直方图如图，则成绩在之间的学生人数为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】由频率分布直方图可得，据此可估计大致人数. 【详解】 所以成绩在之间的学生人数为. 故答案为：5 9. 从甲、乙等7名学生中选派4名学生参加演讲比赛，则甲和乙至少一人参加的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】应用组合数及对立事件的概率求法求概率即可. 【详解】由题设，4名学生来自甲乙以外其它5人有种， 所以甲和乙至少一人参加的概率为. 故答案为： 10. 已知圆锥的母线长为其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据侧面积公式解弧长公式计算求出底面半径，再应用圆锥的表面积公式计算求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的母线长为，侧面展开图的圆心角为 所以该圆锥的表面积为 故答案为：. 11. 如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的渐近线方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】四边形为矩形，利用勾股定理及双曲线、椭圆的定义建立方程，求出，再得到，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】由四边形为矩形，得， 由双曲线，且， 由椭圆，得， 解得，即， 解得，， 所以的渐近线方程为. 故答案为： 12. 曲线与曲线分别交于两点，设曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得、、，进而得到，则，最后求出，即可得参数值. 【详解】由题意，， 的导数为，在处斜率为， 的导数为，在处斜率为， 根据题意，， 结合和、，得， 对于，则，故时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，当时，显然均为正数， 而在上单调递增，故，即， 此时：， 设，方程变为：或， 当时，， 当时，不符， 综上：. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形即可逐一判断即可. 【详解】对于A，平行于同一个平面的两条直线不一定平行，如下图所示正方体，故A错误； 对于B，如下图所示正方体，由图可知B错误； 对于C，若，则，如下图所示正方体，由图可知C正确； 对于D，如下图所示正方体，由图可知D错误； 故选：C． 14. 随着Deepseek的流行，各种大模型层出不穷，现有甲、乙两个大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，6位评委分别对甲、乙进行打分(满分10分)，得到如图所示的统计表格： 评委编号模型名称 1 2 3 4 5 6 甲 8.0 9.2 8.0 8.2 8.6 8.4 乙 7.8 9.0 8.3 8.4 8.5 8.5 则下列结论正确是（ ） A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 C. 甲得分的极差大于乙得分的极差 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出甲，乙两个大模型的平均数，中位数，极差，方差即可得解. 【详解】因为甲得分的平均数, 乙得分的平均数，，故A错误； 将甲的6个得分从小到大排序：， 所以甲的中位数为； 将乙的6个得分从小到大排序：， 所以甲的中位数为；，故B错误； 甲的极差为，乙的极差为，故C错误； 甲得分的方差， 乙得分的方差， ，故D正确. 故选：D 15. 对于定义在上的两个函数，若是奇函数，是偶函数，且当时，，则时，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的奇偶性可得，的奇偶性，再根据时判断当时的正负，即可求解. 【详解】已知函数是奇函数，函数是偶函数， 则为偶函数，为奇函数， 又当时，，则当时，， 对于A选项，与的大小关系无法确定，故A错误； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C错误； 对于D选项，与的大小关系无法确定，故D错误． 故选：B． 16. 对于曲线，给出两个结论：①曲线所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线上的点到原点的距离的最大值为．则（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 【答案】A 【解析】 【分析】A根据给定的曲线方程，探讨其范围判断①；利用三角代换求出距离最大值判断②即可. 【详解】对于①，由，得，当且仅当时取等号， 由，得，当且仅当时取等号， 因此曲线在一个长为4，宽为2的矩形及内部， 因此曲线所围成的封闭图形的面积小于，①正确； 对于②，设曲线上一点为，由，设， 则到原点的距离的平方为， 其中锐角由确定，当时，距离平方有最大值，即， 因此距离的最大值为，②正确． 所以选：A 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 已知圆经过点，且圆心为． （1）求圆的标准方程； （2）若直线经过两点，且与圆相交于点，求线段的长． 【答案】（1）； （2）2. 【解析】 【分析】（1）由两点距离求半径，再结合圆心写出圆的标准方程； （2）根据已知及点斜式写出直线方程，应用几何法求相交弦的长度. 【小问1详解】 由题设，所以圆的标准方程为． 【小问2详解】 由题意，，故，即， 所以圆心到直线距离为， 所以的长等于． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点． （1）求证：平面； （2）若，平面平面，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）取中点为中点为，连接，，构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标，并求出相关平面的法向量，再由夹角公式求二面角的余弦值. 【小问1详解】 取中点，连接，， 三角形中，分别为中点，则且， 又正方形中，为中点，则， 且，四边形为平行四边形，故， 由平面，平面，则平面； 小问2详解】 取中点为中点为，连接，， 中，则， 平面平面，平面，平面平面， 所以平面，又四边形为正方形，则， 以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， ，设平面的法向量为， 由，得，所以， 取，则，可得， 设平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则． 由图，二面角锐角，所以其余弦为． 19. 某校为了解学生的身高情况，从高一、高二、高三三个年级中采用分层抽样的方法抽取了100名学生进行调查，其中高一、高二、高三的学生人数之比为4：3：3． （1）求从高一、高二、高三各年级抽取的学生人数； （2）从抽取的100名学生中随机选取2人协助工作人员调查，求这2人来自不同年级的概率(用最简分数表示)； （3）经过调查，抽取的高二学生身高的平均数为，方差为60，其中被抽中的小李身高是．试求除去小李后其余被抽中的高二学生身高的平均数与方差(结果精确到0.1) 【答案】（1）高一抽取的学生人数为40人，高二抽取的学生人数为30人，高三抽取的学生人数为30人 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样计算即可； （2）根据对立事件与互斥事件，转化为求来自高一，高二，高三的概率即可得解； （3）根据平均值与方差的定义，利用已知30人的平均值与方差计算即可得解. 【小问1详解】 高一抽取的学生人数为人， 高二抽取的学生人数为人， 高三抽取学生人数为人. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 设从高二学生中抽出的30人的身高分别为， 则由条件，这30人身高的平均数为， 身高的方差为． 设小李的身高为，则除去小李后其余被抽中的29位高二学生的身高平均 数、方差分别为， 20. 设 （1）当时，求函数的单调区间； （2）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； 【答案】（1）递减区间为(0,2)，递增区间为； （2）； 【解析】 【分析】（1）对求导，根据导数在区间内的符号判断单调区间； （2）利用导数的几何意义求切线方程，再由切线重合得到相关方程求参数值. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 所以，令， 所以函数递减区间为(0,2)，递增区间为． 【小问2详解】 由，则曲线在点处的切线的方程为， 设直线与曲线相切于点，且，结合切点在上， 所以，且. 21. 在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点． （1）若的离心率为，且，求的方程； （2）若过原点的直线，与相交于两点，是上异于的任意一点，求证：直线的斜率之积是定值； （3）设直线的一个法向量为是上任意一点，对于平面内的一定点，定义．证明：若，则直线与椭圆相切． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题可得，据此可得椭圆方程； （2）由题意得关于原点对称，设，，根据在椭圆上化简可证明结论； （3）当直线的斜率不存在时，设其方程为，由可得，据此可完成证明；当直线的斜率存在，设其方程为，由，可得与椭圆联立方程判别式为0，据此可证明结论. 【小问1详解】 由题意得，所以的方程为. 【小问2详解】 由题意得关于原点对称，设，， 因为在椭圆上，所以， 所以，即， 所以，即直线的斜率之积是定值. 【小问3详解】 ①当直线的斜率不存在时， 设其方程为，则它的一个法向量为． 设的坐标分别为， 所以， 所以 所以. 因为，所以，故直线与椭圆相切． ②若直线的斜率存在，设其方程为，则它的一个法向量为． 设，则， 所以， 所以. 由得， ， 因为， 所以， 所以直线与椭圆只有一个交点，故直线与椭圆相切． 综上，当时，直线与椭圆相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $