精品解析：辽宁省辽阳市灯塔市2024-2025学年九年级下学期5月期中考试数学试题

2025年灯塔市九年级期中5月质量监测 数学试卷 (试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：的绝对值是2025， 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 3. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层是两个小正方形，第三层左边一个小正方形，即： 故选：D． 【点睛】本题考查了小立方块堆砌图形的三视图，熟知从正面看得到的图形是主视图是解答本题的关键． 4. 下列各式计算正确的是（　　） A. 2a2•3a3＝6a6 B. （﹣2a）2＝﹣4a2 C. （a5）2＝a7 D. （ab2）3＝a3b6 【答案】D 【解析】 【分析】根据单项式乘法法则、积的乘方、幂的乘方法则计算即可． 【详解】A．2a2•3a3=6a5，故原题计算错误； B．（﹣2a）2=4a2，故原题计算错误； C．（a5）2=a10，故原题计算错误； D．（ab2）3=a3b6，故原题计算正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了单项式乘法，以及幂的乘方和积的乘方，关键是掌握计算法则． 5. 某校初中篮球队共有25名球员，为了球队的健康发展和培养球员，要求从13岁到16岁每个年龄段都必须有球员，下表是该球队的年龄分布统计表： 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 频数（单位：名） 3 11 对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） A. 平均数、中位数 B. 平均数、方差 C. 众数、方差 D. 众数、中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意由频数分布表可知后两组的频数和为11，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数即可得出答案． 【详解】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+11-x=11， 总人数为25，且每个年龄段都必须有球员可知14岁年龄段的频数最多， 故该组数据的众数为14岁， 由题意可知15岁和16岁年龄段的人数有：25-3-11=11（名）， 所以中位数第13位在14岁年龄段， 故中位数为： 14岁， 即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数． 故选：D． 【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键． 6. 如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积（ ） A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 先增大后减小 D. 保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，根据k的几何意义求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， 则的面积为：， 即的面积保持不变， 故选：D． 7. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：代数式有意义， ， 即． 故选：B． 8. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 两直线平行,同旁内角互补 B. 若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等 C. 对顶角相等 D. 如果那么 【答案】C 【解析】 【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】A、逆命题是同旁内角互补，两直线平行，成立； B、逆命题是如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等，成立； C、逆命题是相等的角是对顶角，不成立； D、逆命题是如果，那么，成立， 故选C． 点睛：本题考查的是逆命题 9. 如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用圆周角定理求出，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 10. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线．若，D为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，为的角平分线，在上截取，可得是等腰直角三角形，继而得到垂直平分，则为点A关于的对称点，连接，交于点E，此时最小，即的值，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，为的角平分线， 在上截取， ， 是等腰直角三角形， ，，即垂直平分， 为点A关于的对称点， 连接，交于点E， ， 此时最小，即的值， ，为边的中点， ，， ， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰直角三角形的判定和性质，垂直平分线的性质及勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 任意掷一枚均匀的正方体骰子，“偶数点朝上”发生的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列举法求概率．在正方体骰子中，写有偶数的有3面，一共有6面，根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比求解即可． 【详解】解：在正方体骰子中，朝上的数字为偶数的情况有3种，分别是：2，4，6，骰子共有6面， 偶数朝上发生的概率为：． 故答案为：． 12. 神舟十三号飞船在距地面高度m的轨道上，将数字用科学记数法表示为___________________ 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13. 如图，某飞机于空中A处探测到正下方的目标C，此时飞行高度，从飞机上看地平面指挥台B的俯角，则飞机所处位置A与指挥台B的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 14. 有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 清 风 朗 月 清 清清 清风 清朗 清月 风 风清 风风 风朗 风月 朗 朗清 朗风 朗朗 朗月 月 月清 月风 月朗 月月 共有16中等可能结果，其中，抽取的两张卡片上的汉字相同的情形有4种， ∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 15. 如图，边长为7的正方形中，点E、G分别在射线、上，在边上，与交于点，，，，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形的基本性质，和全等直角三角形的判定．本题关键搞清的运动轨迹，有，，可知，所以到的中点的距离始终相等，在根据三角形三边的关系可得的范围，从而确定它的最小值． 【详解】解：取的中点，作垂直于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是边长为7的正方形， ∴， ，，， ， ， 又，， ， ， ， 所以在以为圆心，2为半径的圆弧上运动， ∴在中，由勾股定理可得， ， 当落在上时，取到等号， 即达到最小，最小值为； 故答案为：． 三、简答题（共8小题，共75分，解答应写出文字） 16. （1） 计算： （2） 化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查立方根、绝对值和负整数指数幂的运算及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据立方根、绝对值和负整数指数幂的运算法则计算即可得答案； （2）根据分式的加法和除法法则化简即可得答案． 【详解】解：（1） （2） 17. 某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买3株A种花卉和2株B种花卉共需要19元；购买5株A种花卉和4株B种花卉共需要35元． （1）求采购每株A，B两种花卉各多少元钱； （2）若该物管中心采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购的总费用不超过34000元，则最少采购A种花卉为多少株？ 【答案】（1）采购每株A，B两种花卉各3元，5元； （2）最少采购A种花卉为8000株． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出一元一次不等式，二元一次方程组是解此题的关键． （1）设采购每株A种花卉x元，采购每株B种花卉y元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设采购A种花卉m株，则采购B种花卉株．根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【小问1详解】 解：设采购每株A种花卉x元，采购每株B种花卉y元． 根据题意得， 解得， 答：采购每株A，B两种花卉各3元，5元； 【小问2详解】 解：设采购A种花卉m株，则采购B种花卉株． 根据题意得， 解得 答：最少采购A种花卉为8000株． 18. 做家务劳动，能锻炼学生的动手和解决问题的能力，还能增强学生对家庭的责任感，某中学为了解该校学生在寒假期间一周帮助父母做家务的时间，随机抽取部分学生调查了他们在寒假期间一周帮助父母做家务的时间，将全部做家务的时间（单位：小时）进行整理后分为四组：：，：，：，：，并绘制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了______名学生，补全条形统计图； （2）扇形统计图中部分对应的圆心角为______度； （3）若该中学共有名学生，请估计该校学生在寒假期间一周帮助父母做家务的时间不少于小时的人数． 【答案】（1）， 补全频数分布直方图如下： （2） （3）人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图表中得到必要的信息，求出本次调查的样本容量是解决问题的关键． （1）由的频数除以百分比得出这次抽样调查的学生人数；用总人数减去其它组的频数求出组的人数即可补全频数分布直方图； （2）用乘以类学生人数的百分比得出对应的扇形圆心角的度数； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：这次抽样调查的学生人数是：（名）， 组学生人数为：（名）； 【小问2详解】 解：对应的扇形圆心角的度数是：， 故答案为：． 【小问3详解】 解：（名）， 故估计该校学生在寒假期间一周帮助父母做家务的时间不少于小时的人数为人． 19. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部B的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果精确到）（参考数据： ，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，再利用含角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， 在中，的坡度为，， ∴， ∴， ∴， 即的长为； 【小问2详解】 过点作，垂足为， 根据题意得：，， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度的意义，角的直角三角形，矩形的判定和性质，锐角三角函数等知识点．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 20. 随着《哪吒2》的热映，周边文创商品火热销售，其中一款手办，其成本为30元/件，在试销过程中，经过调查得到如下表数据： 销售单价x（元/件） …… 40 50 60 70 80 …… 每天销售量y（件） …… 500 400 300 200 100 …… （1）已知y与x满足一次函数关系，求出函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，这种手办每天获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）； （2）销售单价定为60元时，这种手办每天获得的利润最大，最大利润是9000元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，解答时建立二次函数的解析式，根据二次函数的解析式求解是关键． （1）利用表中数据用待定系数法求函数解析时即可； （2）利润=单件利润×销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：设y与x的关系式为：（，b为常数） 把，和，代入得， 解得 与x的函数关系式为： 【小问2详解】 设这种手办每天获得的利润为w元 由题意得 ，抛物线开口向下 有最大值， 当时， 答：销售单价定为60元时，这种手办每天获得的利润最大，最大利润是9000元． 21. 如图，是的切线，点A 为切点，连接交于点D，过点A作交于点B，连接并延长交于点C，连接． （1）求证：是的切线． （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ∵是的切线， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）先由是的切线，得，结合平行线的性质得，，整理得，证明，得因为是的半径，故是的切线．即可作答． （2）过点D作于点N，运用圆周角定理得，根据得出，根据勾股定理得，证明，则，代入数值得 ，，证明，则，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D作于点N， 则， ∵是的直径， ∴， ∵在中， ，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 【问题初探】 如图1，已知四边形是正方形，E为边上任意一点（点E不与点C，D重合），连接，作点D关于的对称点P，连接，并延长交于点F，连接，过点F作，垂足为点Q，交于点H． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； 【深化探究】 （2）当，时，求的长； 【拓展应用】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，，，的平分线交于点T，求的长． 【答案】（1）．理由如下： 由轴对称可知， ， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴∠BAF=∠PAF， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． （2）3.4； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，证明，得出，则可得出结论； （2）证明，得出，设，则，由勾股定理可得出答案； （3）构造正方形，由（1）知，则，，设，则，，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图，构造正方形，由（1）知， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23. 新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线． 问题： （1）已知点，，则的外接抛物线的解析式为______； （2）如图2，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点A，B的坐标； （3）如图2，已知是抛物线的内接三角形，，求边与y轴的交点P的坐标； （4）已知是抛物线的内接三角形，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． ①当是等腰直角三角形时，求的面积； ②当点C在y轴上，且是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围． 【答案】（1） （2）点A的坐标是，点B的坐标是 （3） （4）①1；②或 【解析】 【分析】（1）根据点A、B、O三点坐标即可设抛物线解析式为，再将代入计算即可； （2）根据等边三角形的性质设B点坐标，代入解析式求解即可； （3）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证明∽，设点，点，根据相似比可得，再联立直线和二次函数解析式得到关于x的方程组，利用根与系数的关系即可求出点P坐标； （4）①由抛物线对称性可得点C为抛物线顶点，设，从而得到点B和点C的坐标，代入抛物线解析式即可求出a值，因而得解； ②由图象得当点A和点B在y轴同侧时，则为钝角三角形，此时；当点A和点B在y轴两侧时，可讨论的临界值，因此得解． 【小问1详解】 解：，， 抛物线的对称轴为直线，即y轴， 在抛物线上， 设抛物线解析式为， 将代入得， 的外接抛物线的解析式为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设与y轴交于点M， 为等边三角形， ，， ， ， 设，则， ， 将B坐标代入得，， 解得，（不合题意，舍去， 点A的坐标是，点B的坐标是； 【小问3详解】 解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点， 设点，点，则，，，， ， ，， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 设直线的解析式为， 由， 得， ， ， 当时，， 点P的坐标是； 【小问4详解】 解：①如图，设抛物线的对称轴交于点， 由抛物线和等腰直角三角形的对称性， 得，，， 设， 对称轴为， 点B的坐标为，点C的坐标为， 将点B，C的坐标分别代入，得， 解得或（舍去）， ，， ； ②点A和点B在x轴上，点C在y轴上， 若当点A和点B在y轴同侧时，则为钝角三角形， 如图， 此时或， 抛物线开口向上， ； 若时，则可先讨论的c的值， 如图， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得或舍去， 此时时，； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年灯塔市九年级期中5月质量监测 数学试卷 (试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（　　） A. 2a2•3a3＝6a6 B. （﹣2a）2＝﹣4a2 C. （a5）2＝a7 D. （ab2）3＝a3b6 5. 某校初中篮球队共有25名球员，为了球队的健康发展和培养球员，要求从13岁到16岁每个年龄段都必须有球员，下表是该球队的年龄分布统计表： 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 频数（单位：名） 3 11 对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） A. 平均数、中位数 B. 平均数、方差 C. 众数、方差 D. 众数、中位数 6. 如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积（ ） A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 先增大后减小 D. 保持不变 7. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 8. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 两直线平行,同旁内角互补 B. 若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等 C. 对顶角相等 D. 如果那么 9. 如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线．若，D为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 任意掷一枚均匀的正方体骰子，“偶数点朝上”发生的概率为_____． 12. 神舟十三号飞船在距地面高度m的轨道上，将数字用科学记数法表示为___________________ 13. 如图，某飞机于空中A处探测到正下方的目标C，此时飞行高度，从飞机上看地平面指挥台B的俯角，则飞机所处位置A与指挥台B的距离是______． 14. 有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________． 15. 如图，边长为7的正方形中，点E、G分别在射线、上，在边上，与交于点，，，，则的最小值为______． 三、简答题（共8小题，共75分，解答应写出文字） 16. （1） 计算： （2） 化简： 17. 某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买3株A种花卉和2株B种花卉共需要19元；购买5株A种花卉和4株B种花卉共需要35元． （1）求采购每株A，B两种花卉各多少元钱； （2）若该物管中心采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购的总费用不超过34000元，则最少采购A种花卉为多少株？ 18. 做家务劳动，能锻炼学生的动手和解决问题的能力，还能增强学生对家庭的责任感，某中学为了解该校学生在寒假期间一周帮助父母做家务的时间，随机抽取部分学生调查了他们在寒假期间一周帮助父母做家务的时间，将全部做家务的时间（单位：小时）进行整理后分为四组：：，：，：，：，并绘制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了______名学生，补全条形统计图； （2）扇形统计图中部分对应的圆心角为______度； （3）若该中学共有名学生，请估计该校学生在寒假期间一周帮助父母做家务的时间不少于小时的人数． 19. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部B的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果精确到）（参考数据： ，） 20. 随着《哪吒2》的热映，周边文创商品火热销售，其中一款手办，其成本为30元/件，在试销过程中，经过调查得到如下表数据： 销售单价x（元/件） …… 40 50 60 70 80 …… 每天销售量y（件） …… 500 400 300 200 100 …… （1）已知y与x满足一次函数关系，求出函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，这种手办每天获得的利润最大？最大利润为多少？ 21. 如图，是的切线，点A 为切点，连接交于点D，过点A作交于点B，连接并延长交于点C，连接． （1）求证：是的切线． （2）若，求线段的长． 22. 【问题初探】 如图1，已知四边形是正方形，E为边上任意一点（点E不与点C，D重合），连接，作点D关于的对称点P，连接，并延长交于点F，连接，过点F作，垂足为点Q，交于点H． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； 【深化探究】 （2）当，时，求的长； 【拓展应用】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，，，的平分线交于点T，求的长． 23. 新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线． 问题： （1）已知点，，则的外接抛物线的解析式为______； （2）如图2，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点A，B的坐标； （3）如图2，已知是抛物线的内接三角形，，求边与y轴的交点P的坐标； （4）已知是抛物线的内接三角形，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． ①当是等腰直角三角形时，求的面积； ②当点C在y轴上，且是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $