专项归类复习卷(五) 第二十二章 四边形-【锦上添花·期末大赢家】2024-2025学年八年级下学期数学（冀教版）

９　 　　　　专项归类复习卷（五） 读万卷书莫过此寥寥数语 知识点梳理 １．平行四边形 ① 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． ② 性质：平行四边形的对边相等、对角相等；对角线相互平分；平行四 边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点． ③ 判定：ａ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ｂ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ｃ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； ｅ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ２．三角形的中位线 ① 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． ② 中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． ３．矩形 ① 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． ② 性质：矩形的四个角都是直角；对角线相等；矩形既是中心对称图 形，又是轴对称图形；矩形具有平行四边形的所有性质． ③ 判定：ａ．有一个角是直角的平行四边形是矩形． ｂ．有三个角是直角的四边形是矩形． ｃ．对角线相等的平行四边形是矩形． ｄ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形． ４．菱形 ① 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． ② 性质：菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分，且每一条对角线 平分一组对角；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形；菱 形的面积等于两条对角线乘积的一半；菱形具有平行四边形 的一切性质． ③ 判定：ａ．有一组邻边相等的四边形是菱形． ｂ．四条边都相等的四边形是菱形． ｃ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形． ｄ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形． ５．正方形 ① 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形． ② 性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形既是 中心对称图形，又是轴对称图形． ③ 判定：判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是菱形，也可 判定这个四边形是矩形，再加上其它条件说明． ６．多边形 ① 概念：同一平面上，由不在同一条直线上的线段首尾顺次连接的图 形，叫做多边形，连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边 形的对角线． ② 多边形的内角和：ｎ边形的内角和等于（ｎ－２）×１８０°（ｎ≥３）． ③ 多边形的外角和：多边形的外角和等于３６０°． 行万里路可攻他山之石 一、选择题 １．在ＡＢＣＤ中，下列结论一定正确的是 （　　） Ａ．ＡＣ⊥ＢＤ Ｂ．∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０° Ｃ．ＡＢ＝ＡＤ Ｄ．∠Ａ≠∠Ｃ ２．下列命题是假命题的是 （　　） Ａ．四个角都相等的四边形是矩形 Ｂ．对角线相等的平行四边形是矩形 Ｃ．对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｄ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ３．如图，在ＡＢＣＤ中，已知ＡＤ＝１２ｃｍ，ＡＢ＝８ｃｍ，ＡＥ平分∠ＢＡＤ交ＢＣ 边于点Ｅ，则ＣＥ的长等于 （　　） Ａ．８ｃｍ Ｂ．６ｃｍ Ｃ．４ｃｍ Ｄ．２ｃｍ 第３题图 　　　 第４题图 　　　 第５题图 ４．如图，把一张矩形纸片沿着ＥＦ折叠，点Ｃ，Ｄ分别落在Ｍ，Ｎ的位置，且 ∠ＭＦＢ＝１２∠ＭＦＥ．则∠ＡＥＦ＝ （　　） Ａ．３０° Ｂ．３６° Ｃ．４５° Ｄ．７２° ５．如图，在菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点 Ｏ，Ｅ是 ＢＣ的中点， ＡＤ＝６ｃｍ，则ＯＥ的长为 （　　） Ａ．６ｃｍ Ｂ．４ｃｍ Ｃ．３ｃｍ Ｄ．２ｃｍ ６．如图，四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ＝ＢＤ，且ＡＣ⊥ＢＤ，分别过点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 作对角线的平行线ＥＦ、ＦＧ、ＧＨ、ＥＨ，则四边形ＥＦＧＨ是 （　　） Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．任意四边形 第６题图 　　　 第７题图 　　　 第８题图 ７．如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ是边ＢＣ上的点（与Ｂ，Ｃ两点不重合），过点 Ｄ 作ＤＥ∥ＡＣ，ＤＦ∥ＡＢ，分别交ＡＢ，ＡＣ于Ｅ，Ｆ两点，下列说法正确的是 （　　） Ａ．若ＡＤ⊥ＢＣ，则四边形ＡＥＤＦ是矩形 Ｂ．若ＡＤ垂直平分ＢＣ，则四边形ＡＥＤＦ是矩形 Ｃ．若ＢＤ＝ＣＤ，则四边形ＡＥＤＦ是菱形 Ｄ．若ＡＤ平分∠ＢＡＣ，则四边形ＡＥＤＦ是菱形 ８．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝８，ＢＣ＝６．若ＤＥ是△ＡＢＣ的中位 线，延长ＤＥ交△ＡＢＣ的外角∠ＡＣＭ的平分线于点 Ｆ，则线段 ＤＦ的长 为 （　　） Ａ．７ Ｂ．８ Ｃ．９ Ｄ．１０ ９．如图，有一张矩形纸片 ＡＢＣＤ，ＡＢ＝８，ＡＤ＝６，将纸片折叠，使得 ＡＤ边 落在ＡＢ边上，折痕为ＡＥ，再将△ＡＥＤ沿 ＤＥ向右翻折，ＡＥ与 ＢＣ的交 点为Ｆ，则△ＣＥＦ的面积为 （　　） Ａ．１２ Ｂ． ９ ８ Ｃ．２ Ｄ．４ １０．如图，已知直线ｌ１∥ｌ２∥ｌ３∥ｌ４，相邻两条平行线间的距离都是１，正方 形ＡＢＣＤ的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ＡＢＣＤ的面积为 （　　） Ａ．槡３ Ｂ．５ Ｃ．３ Ｄ．槡５ 第１０题图 　　　 第１１题图 　　　 第１２题图 １１．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，Ｄ为斜边ＡＢ上一动点，ＤＥ⊥ＢＣ， ＤＦ⊥ＡＣ，垂足分别为Ｅ，Ｆ，则线段ＥＦ的最小值为 （　　） Ａ．４５ Ｂ． ３ ５ Ｃ． ５ ２ Ｄ． １２ ５ １２．如图，正方形ＡＢＣＤ中 ，点Ｅ，Ｆ分别在ＢＣ，ＣＤ上，△ＡＥＦ是等边三角 形，连接ＡＣ交ＥＦ于Ｇ，下列结论：① ＢＥ＝ＤＦ；② ∠ＤＡＦ＝１５°；③ ＡＣ 垂直平分ＥＦ；④ ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ；⑤ Ｓ△ＣＥＦ＝２Ｓ△ＡＢＥ．其中正确结论有 （　　） Ａ．２个 Ｂ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 二、填空题 １３．边数为２０２０的多边形的外角和为　　　　． １０　 １４．如图，菱形ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ、ＢＤ相交于点 Ｏ，且 ＡＣ＝８，ＢＤ＝６，过 点Ｏ作ＯＨ ! ＡＢ，垂足为Ｈ，则点Ｏ到边ＡＢ的距离ＯＨ＝　　　　． 第１４题图 　　　　　　 第１５题图 １５．如图为某城市部分街道示意图，四边形ＡＢＣＤ为正方形，点Ｇ在对角线 ＢＤ上，ＧＥ⊥ＣＤ，ＧＦ⊥ＢＣ，ＡＤ＝１５００ｍ，小敏行走的路线为Ｂ→Ａ→Ｇ→Ｅ， 小聪行走的路线为Ｂ→Ａ→Ｄ→Ｅ→Ｆ．若小敏行走的路程为３１００ｍ，则 ＡＧ＋ＧＥ＝　　　　ｍ，由此可得小聪行走的路程为　　　　ｍ． 三、解答题 １６．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＣＡＢ＝９０°，ＤＥ、ＤＦ是△ＡＢＣ的中位线，连接ＥＦ、 ＡＤ，求证：ＥＦ＝ＡＤ． １７．如图，ＡＢＣＤ内有一点 Ｅ，满足 ＥＤ⊥ＡＤ于 Ｄ，∠ＥＢＣ＝∠ＥＤＣ， ∠ＥＣＢ＝４５°，请找出与ＢＥ相等的一条线段，并予以证明． １８．如图，一个含４５°角的三角板ＨＢＥ的两条直角边与正方形ＡＢＣＤ的两 邻边重合，过Ｅ点作ＥＦ⊥ＡＥ交∠ＤＣＥ的平分线于 Ｆ点．试探究线段 ＡＥ与ＥＦ的数量关系，并说明理由． １９．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝４，过对角线 ＢＤ中点 Ｏ的直线分 别交ＡＢ，ＣＤ边于点Ｅ，Ｆ． （１）求证：四边形ＢＥＤＦ是平行四边形； （２）当四边形ＢＥＤＦ是菱形时，求ＥＦ的长． ２０．四边形ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ的角平分线与边ＢＣ交于点Ｅ，∠ＡＤＣ的角平 分线交直线ＡＥ于点Ｏ． （１）若点Ｏ在四边形ＡＢＣＤ的内部， ① 如图１，若ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ＝４０°，∠Ｃ＝７０°，则∠ＤＯＥ＝　　　　； ② 如图２，试探索∠Ｂ、∠Ｃ、∠ＤＯＥ之间的数量关系，并将你的探 索过程写下来； （２）如图３，若点 Ｏ在四边形 ＡＢＣＤ的外部，请你直接写出∠Ｂ、∠Ｃ、 ∠ＤＯＥ之间的数量关系． ２１．已知，正方形ＡＢＣＤ中，∠ＭＡＮ＝４５°，∠ＭＡＮ绕点Ａ顺时针旋转，它的 两边分别交ＣＢ、ＤＣ（或它们的延长线）于点Ｍ、Ｎ，ＡＨ⊥ＭＮ于点Ｈ． （１）如图①，当∠ＭＡＮ绕点 Ａ旋转到 ＢＭ＝ＤＮ时，请你直接写出 ＡＨ 与ＡＢ的数量关系：　　　　； （２）如图②，当∠ＭＡＮ绕点Ａ旋转到ＢＭ≠ＤＮ时，（１）中发现的ＡＨ与 ＡＢ的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请 证明； （３）如图③，已知∠ＭＡＮ＝４５°，ＡＨ⊥ＭＮ于点Ｈ，且ＭＨ＝２，ＮＨ＝３，求 ＡＨ的长．（可利用（２）得到的结论） ２８　 析式为 ｙ＝ｋ′ｘ＋ｂ′，由题意得 ０＝２ｋ′＋ｂ′，１２０＝３．５ｋ′＋{ ｂ′．解得： ｋ′＝８０， ｂ′＝－１６０{ ．∴ｙ＝８０ｘ－１６０．当 ４０ｘ－２０－５０＝８０ｘ－１６０ 时，解得：ｘ＝９４．当４０ｘ－２０＋５０＝８０ｘ－１６０时，解得：ｘ＝ １９ ４．∴ ９ ４－２＝ １ ４， １９ ４－２＝ １１ ４．∴乙车行驶 １ ４小时或 １１ ４小 时，两车恰好相距５０ｋｍ，故④错误．故选：Ｃ． １２．Ａ　【解析】∵ＯＢ＝槡３，ＯＣ＝１，∴ＢＣ＝２，∴∠ＯＢＣ＝３０°， ∠ＯＣＢ＝６０°．而△ＡＡ１Ｂ１为等边三角形，∠Ａ１ＡＢ１＝６０°，∴ ∠ＣＯＡ１＝３０°，则∠ＣＡ１Ｏ＝９０°．在Ｒｔ△ＣＡＡ１中，ＡＡ１＝槡 ３ ２ＯＣ＝ 槡３ ２，同理得：Ｂ１Ａ２＝ １ ２Ａ１Ｂ１＝ 槡３ ２２ ，依此类推，第 ｎ个等边三 角形的边长等于槡 ３ ２ｎ ．故选：Ａ． 二、填空题 １３．（３，０）　１４．ｙ＝３ｘ＋３ １５．１６　【解析】无论ａ取什么实数，点Ｐ（ａ－１，２ａ－３）都在直 线ｌ上，设直线ｌ对应的函数表达式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ．令 ａ＝１， 则有点（０，－１）在直线ｌ上；令 ａ＝０，则有点（－１，－３）在 直线ｌ上，故 ｂ＝－１，－ｋ＋ｂ＝－３{ ．解得 ｋ＝２，ｂ＝－１{ ．∴ｙ＝２ｘ－１， ∴点Ｑ（ｍ，ｎ）在直线ｙ＝２ｘ－１上，∴２ｍ－１＝ｎ．∴２ｍ－ｎ ＝１，∴（２ｍ－ｎ＋３）２＝（１＋３）２＝１６．故答案为：１６． 三、解答题 １６．解：（１）根据一次函数的定义，得２－｜ｍ｜＝１，且ｍ＋１≠０， 解得 ｍ＝１．∴当 ｍ＝１，ｎ为任意实数时，此函数是一次 函数． （２）根据正比例函数的定义，得２－｜ｍ｜＝１，ｎ＋４＝０，且 ｍ ＋１≠０，解得ｍ＝１，ｎ＝－４．∴当ｍ＝１，ｎ＝－４时，此函数 是正比例函数． １７．解：（１）令ｙ＝０，则ｘ＝２，令ｘ＝０，则ｙ＝１，∴点Ａ的坐标为 （２，０），点Ｂ的坐标为（０，１）； （２）如图： （３）由题意得，ｙ随ｘ的增大而减小， ∵－１＜３，∴ｙ１＞ｙ２． １８．解：（１）设正比例函数的表达式为ｙ＝ｋ１ｘ，一次函数的表达 式为ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ，把Ａ（３，４）的坐标代入 ｙ＝ｋ１ｘ得 ｋ１＝ ４ ３， 把Ａ（３，４），Ｂ（０，－５）的坐标分别代入 ４＝３ｋ２ｘ＋ｂ，－５＝{ ｂ 解得 ｋ２＝３， ｂ＝－５{ ，故正比例函数的表达式为 ｙ＝４３ｘ，一次函数的 表达式为ｙ＝３ｘ－５． （２）∵Ａ点横坐标为３，∴Ａ点到 ＯＢ的距离为３．又∵Ｂ点 纵坐标为－５，∴ＯＢ＝５． ∴△ＡＯＢ的面积为 １２×５×３＝７．５． １９．解：（１）１２０　 ５２　【解题思路】轿车从甲地到乙地的速度 是： １２０ ３ ２ ＝８０（千米／小时），则轿车从乙地返回甲地的速度为： ８０×１．５＝１２０（千米／小时），则ｔ＝３２＋ １２０ １２０＝ ５ ２（小时）． （２）设ｙ与ｘ的函数解析式是ｙ＝ｋｘ＋ｂ，则 ３ ２ｋ＋ｂ＝１２０， ５ ２ｋ＋ｂ＝０ { ． 解得： ｋ＝－１２０， ｂ＝３００{ ． 则函数解析式是ｙ＝－１２０ｘ＋３００； （３）设货车的解析式是ｙ＝ｍｘ，将（２，０）代入 ｙ＝ｍｘ得，２ｍ ＝１２０，解得：ｍ＝６０，则函数解析式是ｙ＝６０ｘ．根据题意得： ｙ＝－１２０ｘ＋３００， ｙ＝６０{ ｘ． 解得：ｘ＝ ５ ３， ｙ{ ＝１００则轿车从乙地返回甲地 的途中与货车相遇时，相遇处到甲地的距离是１００千米． ２０．解：（１）分两种情况： ① 当０≤ｘ≤１５时，设日销售量 ｙ与销售时间 ｘ的函数解 析式为ｙ＝ｋ１ｘ，∵直线 ｙ＝ｋ１ｘ过点（１５，３０），∴１５ｋ１＝３０， 解得ｋ１＝２，∴ｙ＝２ｘ（０≤ｘ≤１５）； ② 当１５＜ｘ＜２０时，设日销售量ｙ与销售时间 ｘ的函数解 析式为ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ，∵点（１５，３０），（２０，０）在ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ的图 象上，∴ １５ｋ２＋ｂ＝３０，２０ｋ２＋ｂ＝０{ ．解得： ｋ２＝－６， ｂ{ ＝１２０ ∴ｙ＝－６ｘ＋１２０ （１５＜ｘ≤２０）；综上，可知 ｙ与 ｘ之间的函数关系式为：ｙ ＝ ２ｘ，（０≤ｘ≤１５），－６ｘ＋１２０，（１５＜ｘ≤２０{ ）； （２）∴当１０≤ｘ≤２０时，设销售单价 ｐ（元／千克）与销售时 间ｘ（天）之间的函数解析式为 ｐ＝ｍｘ＋ｎ，∵点（１０，１０）， （２０，８）在 ｐ＝ｍｘ＋ｎ的图象上，∴ １０ｍ＋ｎ＝１０，２０ｍ＋ｎ{ ＝８ ，解得： ｍ＝－１５， ｎ{ ＝１２ ∴ｐ＝－１５ｘ＋１２（１０≤ｘ≤２０），当 ｘ＝１０时，ｐ ＝１０，ｙ＝２×１０＝２０，销售金额为：１０×２０＝２００（元）．故第 １０天的销售金额分别为２００元． ２１．解：（１）设甲鱼苗价格为ｘ元／ｋｇ，乙鱼苗价格为ｙ元／ｋｇ，由 题意得： １０ｘ＋５ｙ＝７００， ２０ｘ＋１５ｙ{ ＝１６００，解得：ｘ＝５０，ｙ{ ＝４０．即甲鱼苗价格 为５０元／ｋｇ，乙鱼苗价格为４０元／ｋｇ． （２）根据题意得：９０－ａ≤２ａ，解得：ａ≥３０， ∵ａ≤５０，∴３０≤ａ≤５０． ① 当３０≤ａ＜４０时，Ｗ＝５０ａ＋４０×０．８×（９０－ａ）＝１８ａ ＋２８８０； ② 当４０≤ａ≤５０时，Ｗ＝５０×０．７ａ＋４０×０．８×（９０－ａ）＝ ３ａ＋２８８０． （３）① 当３０≤ａ＜４０时，Ｗ＝１８ａ＋２８８０，∵１８＞０，∴Ｗ随ａ 的增大而增大，当ａ＝３０时，Ｗ的值最小，此时 Ｗ＝１８ａ＋ ２８８０＝１８×３０＋２８８０＝３４２０（元）； ② 当４０≤ａ≤５０时，Ｗ＝３ａ＋２８８０，∵３＞０，∴Ｗ随 ａ的增 大而增大，当ａ＝４０时，Ｗ的值最小，此时Ｗ＝３ａ＋２８８０＝３ ×４０＋２８８０＝３０００． ∵３０００＜３４２０，∴当购买甲鱼苗４０ｋｇ，乙鱼苗５０ｋｇ时，所 需总费用最低，最低费用为３０００元． 专项归类复习卷（五） 一、选择题 １．Ｂ　２．Ｃ　３．Ｃ　４．Ｄ　５．Ｃ　６．Ａ　７．Ｄ　８．Ｂ　９．Ｃ １０．Ｂ　【解析】作ＥＦ⊥ｌ２，交ｌ１于Ｅ点， 交ｌ４于Ｆ点．∵ｌ１∥ｌ２∥ｌ３∥ｌ４，ＥＦ⊥ ｌ２，∴ＥＦ⊥ｌ１，ＥＦ⊥ｌ４，即∠ＡＥＤ＝ ∠ＤＦＣ＝９０°．∵ＡＢＣＤ为正方形，∴ ∠ＡＤＣ＝９０°．∴∠ＡＤＥ＋∠ＣＤＦ＝ ９０°．又∵∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＥ＝９０°，∴ ∠ＣＤＦ＝∠ＤＡＥ．∵ＡＤ＝ＣＤ，∴△ＡＤＥ≌△ＤＣＦ，∴ＣＦ＝ＤＥ ＝１．∵ＤＦ＝２，∴ＣＤ２＝１２＋２２＝５，即正方形 ＡＢＣＤ的面积 为５．故选：Ｂ． １１．Ｄ　【解析】连接 ＣＤ，∵ＤＥ⊥ＢＣ，ＤＦ⊥ＡＣ，∠Ｃ＝９０°，∴四 边形ＣＥＤＦ是矩形，∴ＣＤ＝ＥＦ，∴当 ＣＤ⊥ＡＢ时，线段 ＥＦ 最小，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝５， Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ＝ １ ２ＣＤ·ＡＢ，∴ＣＤ＝ １２ ５．故选：Ｄ． １２．Ｃ　【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ ＡＤ，∠Ｂ＝∠ＢＣＤ＝∠Ｄ＝∠ＢＡＤ＝９０°．∵△ＡＥＦ是等边三 角形，∴ＡＥ＝ＥＦ＝ＡＦ，∠ＥＡＦ＝６０°．∴∠ＢＡＥ＋∠ＤＡＦ＝ ３０°．在 Ｒｔ△ＡＢＥ和 Ｒｔ△ＡＤＦ中，ＡＥ＝ＡＦ，ＡＢ＝{ ＡＤ．∴Ｒｔ△ＡＢＥ≌ Ｒｔ△ＡＤＦ（ＨＬ），∴ＢＥ＝ＤＦ，故①正确．易知∠ＢＡＥ＝ ∠ＤＡＦ．∴∠ＤＡＦ＝１５°，故②正确．∵ＢＣ＝ＣＤ，∴ＢＣ－ＢＥ ＝ＣＤ－ＤＦ，即ＣＥ＝ＣＦ，又∵ＡＥ＝ＡＦ，∴ＡＣ垂直平分 ＥＦ， 故③正确． 设ＥＣ＝ｘ，由勾股定理，得ＥＦ＝ＡＥ＝槡２ｘ，∴ＥＧ＝ＣＧ＝ 槡２ ２ｘ，∴ＡＧ＝ 槡６ ２ｘ，∴ＡＣ＝ 槡６ｘ＋槡２ｘ ２ ， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝槡３ｘ＋ｘ２ ，∴ＢＥ＝ 槡３ｘ＋ｘ ２ －ｘ＝ 槡３ｘ－ｘ ２ ， ∴ＢＥ＋ＤＦ＝槡３ｘ－ｘ≠槡２ｘ，故④错误． ∵Ｓ△ＣＥＦ＝ ｘ２ ２，Ｓ△ＡＢＥ＝ 槡３ｘ－ｘ ２ · 槡３ｘ＋ｘ ２ ２ ＝ ｘ２ ４， ∴２Ｓ△ＡＢＥ＝ ｘ２ ２＝Ｓ△ＣＥＦ，故⑤正确． 综上所述，正确的有４个．故选：Ｃ． 二、填空题 １３．３６０° １４．１２５　【解析】∵ＡＣ＝８，ＢＤ＝６，∴ＢＯ＝３，ＡＯ＝４，∴ＡＢ＝５， ∵ １２ＡＯ·ＢＯ＝ １ ２ＡＢ·ＯＨ，∴ＯＨ＝ １２ ５．故答案为： １２ ５． １５．１６００　４６００　【解析】由题意得：ＡＢ＋ＡＧ＋ＧＥ＝３１００，ＡＢ＝ １５００，∴ＡＧ＋ＧＥ＝３１００－１５００＝１６００，连接 ＧＣ，∵四边形 ＡＢＣＤ为正方形，∴ＡＤ＝ＤＣ，∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ＝４５°，∵ ∠ＣＤＢ＝４５°，ＧＥ⊥ＤＣ，∴△ＤＥＧ是等腰直角三角形， ∴ＤＥ＝ＧＥ．在△ＡＧＤ和△ＧＤＣ中， ＡＤ＝ＤＣ ∠ＡＤＧ＝∠ＣＤＧ ＤＧ＝{ ＤＧ ， ∴△ＡＧＤ≌△ＧＤＣ，∴ＡＧ＝ＣＧ，在矩形 ＧＥＣＦ中，ＥＦ＝ＣＧ， ∴ＥＦ＝ＡＧ．∵ＢＡ＋ＡＤ＋ＤＥ＋ＥＦ－ＢＡ－ＡＧ－ＧＥ＝ＡＤ＝ １５００ｍ．∵小敏共走了３１００ｍ，∴小聪行走的路程为３１００ ＋１５００＝４６００（ｍ）．故答案为：１６００　４６００． 三、解答题 １６．证明：∵ＤＥ，ＤＦ是△ＡＢＣ的中位线， ∴ＤＥ∥ＡＢ，ＤＦ∥ＡＣ， ∴四边形ＡＥＤＦ是平行四边形， 又∵∠ＢＡＣ＝９０°， ∴平行四边形ＡＥＤＦ是矩形，∴ＥＦ＝ＡＤ． １７．ＢＥ＝ＣＤ　证明：如图，延长 ＤＥ，交 ＢＣ于Ｆ， ∵ＡＤ∥ＢＣ，ＥＤ⊥ＡＤ， ∴ＤＦ⊥ＢＣ，∴∠ＢＦＥ＝∠ＤＦＣ＝９０°， 又∵∠ＥＣＢ＝４５°， ∴∠ＦＥＣ＝∠ＥＣＢ＝４５°，∴ＦＥ＝ＦＣ， ∵∠ＥＢＣ＝∠ＥＤＣ，∴△ＢＥＦ≌△ＤＣＦ（ＡＡＳ）， ∴ＣＤ＝ＢＥ． １８．解：ＡＥ＝ＥＦ，理由如下： ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ＢＣ，∠ＤＣＥ＝９０°． 又∵ＢＨ＝ＢＥ，∴ＡＨ＝ＣＥ． ∵△ＢＨＥ是等腰直角三角形，∴∠Ｈ＝４５°． 又∵ＣＦ平分∠ＤＣＥ，∴∠ＦＣＥ＝∠Ｈ＝４５°． ∵ＡＥ⊥ＥＦ，∠ＡＢＥ＝９０°， ∴∠ＢＡＥ＋∠ＢＥＡ＝∠ＢＥＡ＋∠ＦＥＭ＝９０°， 即∠ＢＡＥ＝∠ＦＥＭ．∴∠ＣＥＦ＝∠ＨＡＥ． ∵∠Ｈ＝∠ＦＣＥ，ＡＨ＝ＥＣ，∠ＨＡＥ＝∠ＣＥＦ， ∴△ＨＡＥ≌△ＣＥＦ（ＡＳＡ）．∴ＡＥ＝ＥＦ． １９．解：（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，Ｏ是ＢＤ的中点， ∴ＡＢ∥ＤＣ，ＯＢ＝ＯＤ．∴∠ＯＢＥ＝∠ＯＤＦ． 又∵∠ＢＯＥ＝∠ＤＯＦ， ∴△ＢＯＥ≌△ＤＯＦ（ＡＳＡ）． ∴ＥＯ＝ＦＯ．∴四边形ＢＥＤＦ是平行四边形． （２）当四边形ＢＥＤＦ是菱形时，设ＢＥ＝ｘ，则ＤＥ＝ｘ，ＡＥ＝６ －ｘ，在 Ｒｔ△ＡＤＥ中，ＤＥ２＝ＡＤ２＋ＡＥ２，即 ｘ２＝４２＋（６－ ｘ）２．解得ｘ＝１３３．∴Ｓ菱形ＢＥＤＦ＝ＢＥ·ＡＤ＝ １３ ３×４＝ ５２ ３＝ １ ２ ＢＤ·ＥＦ．又∵ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２＝ ６２＋４槡 ２＝２槡１３， ∴ １２×２槡１３·ＥＦ＝ ５２ ３．∴ＥＦ＝ ４槡１３ ３ ． ２０．解：（１）① １２５°； ② ∠Ｂ＋∠Ｃ＋２∠ＤＯＥ＝３６０°，理由：∵∠ＤＯＥ＝∠ＯＡＤ＋ ∠ＡＤＯ，∵ＡＥ、ＤＯ分别平分∠ＢＡＤ、∠ＣＤＡ，∴２∠ＤＯＥ＝ ∠ＢＡＤ＋∠ＡＤＣ，∵∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠ＢＡＤ＋∠ＡＤＣ＝３６０°，∴ ∠Ｂ＋∠Ｃ＋２∠ＤＯＥ＝３６０°． （２）∠Ｂ＋∠Ｃ＝２∠ＤＯＥ， 【解题思路】∵∠ＢＡＤ＋∠ＡＤＣ＝３６０°－∠Ｂ－∠Ｃ，∠ＥＡＤ ＋∠ＡＤＯ＝１８０°－∠ＤＯＥ， ∵ＡＥ、ＤＯ分别平分∠ＢＡＤ、∠ＣＤＡ， ∴∠ＢＡＤ＝２∠ＥＡＤ，∠ＡＤＣ＝２∠ＡＤＯ， ∴∠ＢＡＤ＋∠ＡＤＣ＝２（∠ＥＡＤ＋∠ＡＤＯ）， ∴３６０°－∠Ｂ－∠Ｃ＝２（１８０°－∠ＤＯＥ）， ∴∠Ｂ＋∠Ｃ＝２∠ＤＯＥ． ２１．解：（１）ＡＨ＝ＡＢ； （２）数量关系成立．如图②，延长ＣＢ至Ｅ，使ＢＥ＝ＤＮ． ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ＝ＡＤ，∠Ｄ＝∠ＡＢＥ＝９０°，在 Ｒｔ△ＡＥＢ和 Ｒｔ△ＡＮＤ 中， ＡＢ＝ＡＤ ∠ＡＢＥ＝∠ＡＤＮ ＢＥ＝{ ＤＮ ，∴Ｒｔ△ＡＥＢ≌Ｒｔ△ＡＮＤ， ∴ＡＥ＝ＡＮ，∠ＥＡＢ＝∠ＮＡＤ，∵∠ＤＡＮ＋∠ＢＡＭ＝４５°， ∴∠ＥＡＢ＋∠ＢＡＭ＝４５°，∴∠ＥＡＭ＝４５°， ∴∠ＥＡＭ＝∠ＮＡＭ＝４５°， 在△ＡＥＭ和△ＡＮＭ中， ＡＥ＝ＡＮ ∠ＥＡＭ＝∠ＮＡＭ ＡＭ＝{ ＡＭ ， ∴△ＡＥＭ≌△ＡＮＭ．∴Ｓ△ＡＥＭ＝Ｓ△ＡＮＭ，ＥＭ＝ＭＮ， ∵ＡＢ、ＡＨ是△ＡＥＭ和△ＡＮＭ对应边上的高，∴ＡＢ＝ＡＨ． （３）如图③分别沿 ＡＭ、ＡＮ翻折△ＡＭＨ和△ＡＮＨ，得到 △ＡＢＭ和△ＡＮＤ，∴∠Ｂ＝∠ＡＨＭ＝９０°，∠Ｄ＝∠ＡＨＮ＝ ９０°，∠ＢＡＭ＝∠ＨＡＭ，∠ＨＡＮ＝∠ＤＡＮ，又∵∠ＭＡＨ＝４５°， ∴∠ＢＡＤ＝９０°，∴四边形ＡＢＣＤ是矩形． ∴ＢＭ＝２，ＤＮ＝３，∠Ｂ＝∠Ｄ＝∠ＢＡＤ＝９０°． 分别延长ＢＭ和ＤＮ交于点Ｃ，由（２）知ＡＢ＝ＡＨ＝ＡＤ．∴四 边形ＡＢＣＤ是正方形． 设ＡＨ＝ｘ，则ＭＣ＝ｘ－２，ＮＣ＝ｘ－３， 在Ｒｔ△ＭＣＮ中，由勾股定理，得ＭＮ２＝ＭＣ２＋ＮＣ２， ∴５２＝（ｘ－２）２＋（ｘ－３）２． 解得：ｘ＝６（负值舍去）．∴ＡＨ＝６． 全真模拟冲刺卷（一） 一、选择题 １．Ｄ　２．Ｂ　３．Ｄ　４．Ｄ　５．Ｃ　６．Ｃ　７．Ｄ　８．Ｄ　９．Ｂ　１０．Ｂ １１．Ａ　１２．Ｄ　１３．Ｃ １４．Ａ　【解析】∵Ｄ、Ｅ分别是 ＢＣ、ＡＣ的中点，∴ＤＥ为△ＡＢＣ 的中位线，∴ＤＥ∥ＡＢ，∴∠ＢＦＤ＝∠ＡＢＦ，∵ＢＦ为角平分 线，∴∠ＡＢＦ＝∠ＦＢＤ，∴∠ＦＢＤ＝∠ＢＦＤ，∴ＤＦ＝ＤＢ，∵ ＤＢ＝ＤＣ，∴ＤＦ＝１２ＢＣ＝３．故选：Ａ． １５．Ｄ　【解析】∵图②平行四边形个数有：５＝２２＋２－１，图③ 平行四边形个数有：１１＝３２＋３－１，图④平行四边形个数 有：１９＝４２＋４－１，∴第 ｎ个图有（ｎ２＋ｎ－１）个平行四边 形，∴图⑩的平行四边形的个数为：１０２＋１０－１＝１０９．故 选：Ｄ． １６．Ｃ　【解析】∵Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是 ＢＤ、ＢＣ、ＡＣ、ＡＤ的中点，∴ ＥＦ＝１２ＣＤ，ＦＧ＝ １ ２ＡＢ，ＧＨ＝ １ ２ＣＤ，ＨＥ＝ １ ２ＡＢ，∵ＡＢ＝ ＣＤ，∴ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ＝ＨＥ，∴四边形ＥＦＧＨ是菱形，∴ＥＧ⊥ ＦＨ，ＨＦ平分∠ＥＨＧ，∴①②③正确；当 ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ，Ｇ分别 为ＢＤ，ＡＣ中点，延长 ＥＧ到 ＣＤ上一点 Ｎ，∴ＥＮ＝１２ＢＣ， ＧＮ＝１２ＡＤ，∴ＥＧ＝ １ ２（ＢＣ－ＡＤ），只有 ＡＤ∥ＢＣ时才可以 成立，而本题ＡＤ与 ＢＣ很显然不平行，故④错误．综上所 述，①②③共３个正确．故选：Ｃ． 二、填空题 １７．ｘ＝－１　１８．－１或０ １９．（１，１）　（－１，－１）　【解析】菱形 ＯＡＢＣ的顶点 Ｏ（０，０）， Ｂ（２，２），得 Ｄ点坐标为（１，１）．每秒旋转４５°，则第６０秒 时，得：４５°×６０＝２７００°，２７００°÷３６０°＝７．５（周），ＯＤ旋转 了７周半，菱形的对角线交点Ｄ的坐标为（－１，－１）．故答 案为：（１，１）（－１，－１）． 三、解答题 ２０．证明：∵ＡＥ⊥ＣＤ，ＣＦ⊥ＡＢ， ∴∠ＡＦＣ＝∠ＡＥＣ＝９０°， ∵四边形ＡＢＣＤ为平行四边形，