22.1.1 二次函数 课件　2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 22.1.1 二次函数 22.1 二次函数的图像和性质 一次函数：y＝kx＋b (k ≠ 0). 正比例函数：y＝kx (k ≠ 0). 反比例函数：y＝k/x (k ≠ 0). 你知道吗？ 请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系： （1）圆的面积 y cm2 与圆的半径 x cm. （2）某商店 1 月份的利润是 2 万元，2、3 月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为 x，3 月份的利润为 y. 合作学习，探索新知： 解：（1）y＝πx2. （2）y＝2(1＋x)2. 第二步：互助探究 师友探究 正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为 问题1: y=6x2 ① 第二步：互助探究 师友探究 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 问题2: ② 这里式子为什么要乘二分之一？ 从哪里可以体现出？ 每两队之间进行一场比赛 第二步：互助探究 师友探究 某种新产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定， y与x之间的关系应怎样表示？ 问题3: 分析：若这种产品今年的原产量是 . 后年的产量应该为： . 20 t 20(1+x) t y=20(1+x)2 20(1+x)(1+x) t y=20x2+40x+20 即两年后的产量为： . 也可以表示为： . ③ 按每年都比上一年的产量增加x倍计算，明年的产量应该为 . 问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为_______． 此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数． y＝6x2 合 作 探 究 问题2 n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 分析：每个球队要与其他______个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为__________． 答： 此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，即m是n的函数． n－1 合 作 探 究 问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？ 分析：这种产品的年产量是20件， 一年后的产量是_________件，再经过一年的产量是__________件，即两年后的产量y＝__________． 答： y＝20x2＋40x＋20． 此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数． 20(1＋x) 20(1＋x)2 20(1＋x)2 合 作 探 究 二次函数的定义： 一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 归纳总结 例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量） ① y=ax2+bx+c ② y=3-2x² ③y=x2 ④ ⑤y=x²+x³+25 ⑥ y=(x+3)²-x² 不一定是，缺少a≠0的条件. 不是，等式右边是分式. 不是，x的最高次数是3. y=6x+9 典例精析 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有一些特殊形式如y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c等. 方法归纳 例1：判断下列 关于 的函数是不是二次函数？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） × √ × √ √ × × × ☆ 二次函数的识别 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断. 例2：请分别写出以上二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 2 -7 0 1 6 1 0 0 ☆ 小试牛刀 例3：若 是关于 的二次函数，求 的值. 解：根据二次函数的定义 ☆ 确定函数中待定字母的取值 题型一、二次函数的识别 例1： 下列函数中，（x是自变量），哪些是二次函数？为什么？ ① y=ax2+bx+c ② s=3-2t² ③y=x2 ④ ⑤y=x²+x³+25 ⑥ y=(x+3)²-x² 不一定是，缺少a≠0的条件. 不是，右边是分式. 不是，x的最高次数是3. y=6x+9 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断，即三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如 y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等. 归纳 若y＝(a+1)x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1 题型二、由二次函数的定义求字母的值 例2： B （选做题）如图，正方形ABCD的边长为4cm,动点P、Q同时从A点出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（面积：cm2），求y与x（0<x<8且x≠4）之间的函数关系式。 D Q A P B C D A B C Q P 分析： （1）从0<x<8可知，点P的运动路径在正方形的边 和 上； （2）当P点在边AB上时，此时x的取值范围为 ，y= ； （3）当P点在BC边上时，此时x的取值范围为 ，y= 。 S△BCD-S△PCQ AB BC 0<X<4 4<X<8 S△ABD-S△APQ D Q A P B C D A B C Q P 当0<x<4时，y= , = , = 。 当4<x<8时，y= ， = ， = 。 综上可知：y= 解： S△ABD-S△APQ S△BCD-S△PCQ (0<X<4) (4<X<8) 1、 一般地，形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数,叫做二次函数，其中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2、函数的两边均为整式。 3.易错点 (1)二次函数要同时保证x的最高次数为2和二次项系数不为0； (2)容易漏掉二次项系数不为0. 板书设计 21 $$