1.3 有理数大小的比较 教学设计　教案　2025-2026学年湘教版数学七年级上册

1.3 有理数大小的比较 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是湘教版《义务教育教科书·数学》七年级上册第一章“有理数”中的1.3节“有理数大小的比较”。学生在小学已掌握正数和0的大小比较，本课将在此基础上，引入负数后，学习比较任意两个有理数的大小。核心内容包括：掌握“正数大于0，0大于负数，正数大于负数”的基本法则；重点理解和应用“两个负数，绝对值大的反而小”的比较法则；体会并运用“在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”的数形结合比较方法。 2.内容解析 有理数大小的比较是建立有理数概念体系和后续学习有理数运算（特别是减法、不等式）的基础。从认知角度看，学生在理解负数概念后，如何比较它们的大小是一个思维难点。本节课通过温度等生活实例的类比，引导学生从“生活经验”抽象到“数学规定”（负数比较法则），再结合数轴这一直观工具进行验证和深化，体现了从具体到抽象、从感性认识到理性认识的认知过程。掌握这些比较法则，不仅能解决单纯的大小比较问题，更是理解数轴上的点与数的对应关系、进行有理数加减运算中判断结果符号、以及后续学习不等式的重要前提。 二、目标和目标解析 1.目标 (1) 借助温度计实例或数轴，理解并掌握比较有理数大小的三条法则（正>0>负；正>负；两负，绝对值大的反而小），能准确运用法则比较两个有理数的大小，初步发展抽象概括能力和数学建模意识。 (2) 经历观察、类比、归纳、验证等过程探索有理数大小比较的法则，特别是负数比较法则的合理性，感悟数形结合思想，提升几何直观能力和逻辑推理能力。 (3) 能熟练运用比较法则解决涉及多重符号、绝对值的复杂有理数大小比较问题，以及解决简单的实际应用问题，进一步发展运算能力和应用意识。 2.目标解析 在本节课的学习中，学生需要从熟悉的温度高低等生活实例出发，抽象出数学的本质规律，将直观感受转化为严谨的数学语言和法则。通过探究活动，学生应能清晰阐述为什么“两个负数，绝对值大的反而小”，并能在数轴上直观解释任意两个有理数的大小关系。这不仅深化了他们对有理数概念（尤其是负数和绝对值）的理解，也为后续学习有理数的四则运算、解一元一次不等式奠定了坚实的逻辑基础和应用能力。同时，数轴的运用有助于发展学生的空间观念和数形结合思想。 三、教学问题诊断分析 学生在学习本节课时可能面临以下困难： 1. 负数的直观理解障碍： 部分学生可能难以摆脱“数字越大就越大”的固有思维，对“-10 < -3”这样的结论感到困惑，不理解为何绝对值大的负数反而小。 1. 法则应用的混淆与遗漏： 在比较不同类型的有理数（如一正一负、两负、含0）时，容易混淆适用哪条法则，特别是容易忽略“先看类型再选法则”的步骤。比较两个负数时，可能遗漏“先比较绝对值”这一关键步骤，或比较绝对值后忘记“反号”。 1. 含复杂符号和绝对值表达式的处理： 面对如 -(-0.3)、--4.5、- -2  等需要先化简再比较的表达式时，学生可能因符号化简错误或绝对值计算错误导致最终比较结果错误。对分数（尤其是异分母分数）的比较也可能存在计算障碍。 1. 数形结合应用的生疏： 虽然学习了数轴，但在解决具体比较问题时，不习惯或不能熟练地借助数轴进行直观验证和辅助判断。 四、教学过程设计 （一）情景引入 · 问题1： 同学们，我们知道冬天里零上2摄氏度 () 比零下3摄氏度 () 要暖和。那么， 和 ，哪个温度高？ 和 ，哪个温度高？你是根据什么来判断的？ · (预期回答： 高于 ，因为零上比零下暖和； 高于 ，因为结冰点也比零下10度暖和。判断依据是生活经验/感觉。) · 问题2： 从数学的角度看，我们能否把这些温度的高低关系用数的大小关系来表示？根据问题1的结论，你能发现正数、0、负数之间的大小关系有什么规律吗？ · (预期引导：，。规律：正数大于负数；0大于负数；正数大于0。) · 问题3： 那么，两个负数之间怎么比较大小呢？比如， 和 ，哪个温度更低？哪个更小？同时，请计算并比较 和 的大小。观察温度高低（数的大小）与它们绝对值大小之间有什么关联？你能得到什么猜想？ · (预期回答： 比 更低，所以 。计算：，，。关联：数值更小的负数（-10），它的绝对值（10）反而更大。猜想：两个负数，绝对值大的那个数反而小。) 设计意图： 从学生最熟悉的温度实例切入，通过三个层层递进的问题，引导学生从生活经验自然过渡到数学思考。问题1唤醒感性认识；问题2引导学生将生活语言抽象为数学符号语言，归纳出正数、0、负数之间大小关系的基本法则；问题3聚焦本课难点——负数比较，引导学生通过计算绝对值发现关键特征（绝对值大反而小），提出核心猜想。该过程旨在落实目标(1)，激发兴趣，培养抽象能力和建模意识，并为后续探究奠定基础。 （二）合作探究1 · 探究1： 我们如何验证“两个负数，绝对值大的反而小”这个猜想的正确性？能否借助一个工具来直观说明？ · (教师引导使用数轴)：请大家在草稿纸上画一条数轴（规定向右为正方向）。在数轴上标出表示-10的点A和表示-3的点B。观察点A和点B的位置，谁在左？谁在右？根据数轴的性质（右大左小），你能得出什么结论？ · 答： 点A（-10）在点B（-3）的左边。因为在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以 -3 > -10，即 -10 < -3。这验证了我们的猜想：对于负数-10和-3，因为 ， 所以 -10 < -3。绝对值大的负数反而小。 · 追问： 根据数轴，你能总结出比较任意两个有理数大小的通用方法吗？ · 答： 在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。因此，要比较两个有理数的大小，只需要看它们在数轴上的位置：位于右边的数大于位于左边的数。 (教师强调：这是比较有理数大小的根本方法，也解释了之前所有法则的合理性) （三）巩固练习1 1. 判断类型并比较大小（口答）： · (1) 5 和 0 （答：5 > 0， 正数 > 0） · (2) -2 和 0 （答：-2 < 0， 负数 < 0） · (3) 3 和 -4 （答：3 > -4， 正数 > 负数） · (4) -7 和 -1 （答：先看绝对值 ， ， ， 所以 -7 < -1， 两负，绝对值大的反而小） 1. 在脑海想象数轴或简单画图，比较大小： · (1) -5 和 2 （答：-5在左，2在右，所以 -5 < 2） · (2) -1.5 和 -1 （答：-1.5在-1的左边，所以 -1.5 < -1） · (3) 0 和 -100 （答：0在-100的右边，所以 0 > -100） （四）合作探究2 · 探究2： 比较下列各组数的大小，并说明你使用的法则或方法： · (a) 和 · (b) 和 · 答： · (a) 这是两个负数。比较绝对值：， 。因为 ， 所以 。（两负，绝对值大的反而小） · (b) 先化简： (负负得正)， (先算绝对值，再取负)。比较 和 ： 是正数，是负数，正数 > 负数，所以 ， 即 。 · 追问： 在比较(a)中的两个负分数 和 时，为什么可以直接比较 和 的大小？它们的分母相同有什么作用？如果分母不同（如 和 ）呢？ · 猜想： 比较两个负分数的大小，可以转化为比较它们绝对值（即对应的正分数）的大小。分母相同可以直接比较分子；分母不同时，需要先通分化成同分母分数（或化成小数），再比较它们的大小。 · 验证： 以 和 为例。绝对值： ， 。因为 ， 所以 。 (也可计算小数： ， ， ， 所以 )。猜想正确。 · 探究3： 你能将有理数大小比较的法则系统总结一下吗？比较时的一般步骤是什么？ · 法则总结： 0. 正数 > 0 > 负数。 0. 正数 > 负数。 0. 两个负数比较：绝对值大的反而小。 · 数轴方法： 右边的数 > 左边的数。 · 一般步骤： 0. 判类型： 先看是比较哪两类数（同正？同负？一正一负？含0？）。 0. 选法则： 根据类型选择合适的法则（类型3用负数法则）。 0. 做比较/化简： 若类型3，先求绝对值，比较绝对值大小，再根据“绝对值大的反而小”下结论。若遇多重符号或绝对值，先化简。 0. (可选)数轴验证： 在数轴上标出大致位置辅助判断。 设计意图： 本环节是核心知识点的深化和应用。探究2通过典型例题（同分母负分数比较、含复杂符号表达式比较）示范法则的应用步骤，特别是负数比较的关键步骤（求绝对值、比大小、反结论）。追问引发学生对异分母负分数比较方法的思考，通过猜想验证完善知识体系。探究3引导学生系统归纳法则和操作步骤，形成清晰的解题策略。该过程旨在落实目标(1)(2)，突破难点（法则应用、复杂表达式处理），强化步骤规范性，提升逻辑思维和归纳能力。 （五）典例分析 · 例1（课本例题改编）： 比较下列各组数的大小： · (1) -6 与 -3 · (2) 与 · (3) 与 · (4) 与 · 解： · (1) 类型： 两个负数。法则： 绝对值大的反而小。步骤： ， ， ， 所以 -6 < -3。 · (2) 类型： 两个负数。法则： 绝对值大的反而小。步骤： ， 。因为 ， 所以 。 · (3) 类型： 需先化简。化简： ， 。类型： 一正 () 一负 (-2)。法则： 正数 > 负数。结论： ， 即 。 · (4) 类型： 需先化简。化简： ， 。类型： 两个正数 (0.3 和 0.25)。法则： 直接比较大小。结论： ， 所以 。 · 知识点分析： (1)直接应用两负数比较法则；(2)应用两负数比较法则，涉及分数比较；(3)(4)考察多重符号化简和绝对值化简，化简后再根据数的类型选择比较法则。 · 设计意图： 通过精选的、覆盖主要知识点和难点的例题，详细展示解题的完整思维过程和规范书写步骤（判类型->选法则->做比较/化简->得结论）。特别强调遇到复杂表达式必须先化简再比较。旨在巩固目标(1)(3)，强化解题规范，提升学生综合运用法则、处理复杂表达式的能力，以及明确解题步骤。 （六）巩固练习 1. （模仿练习） 比较大小： · (1) -896 ___ 0.01 (答：< ， 负数 < 正数) · (2) -1.5 ___ -1.4 (答：< ， 两负数。 ， 所以 -1.5 < -1.4) · (3) ___ -0.3 (答：> ， 正数 > 负数) · (4) ___ (答：先化简右边： 。 比较 -5.5 和 -4.5： 两负数。 ， 所以 -5.5 < -4.5) 1. （数轴应用） 在脑海想象或草绘一条数轴，标出表示下列各数的点，并用“<”把它们连接起来：0, 3, -4, -1.5。 · (预期：点在数轴位置：-4 (最左), -1.5, 0, 3 (最右)) · 答： -4 < -1.5 < 0 < 3 1. （综合应用） 下表记录了一周的最低气温。请将每天的最低气温按从小到大的顺序排列，并思考如何在一条数轴上大致表示它们。 星期 一 二 三 四 五 六 七 最低温(℃) -12 -9 -6 -7 -15 -10 -11 · 答： 最低温数据：-15, -12, -11, -10, -9, -7, -6。排序（小->大）：-15 < -12 < -11 < -10 < -9 < -7 < -6。数轴表示：在温度数轴上，从左到右依次标出-15, -12, -11, -10, -9, -7, -6的点。 1. （拓展思考） 已知数 和 在数轴上的位置如下图所示（描述：点a在原点的左边且离原点较远，点b在原点的左边但离原点较近，点b在点a的右边）。则 ____ ， ____ 。(填 >, < 或 =) · 答： (因为b在a的右边)， (因为a离原点更远)。 设计意图： 设计多层次练习，覆盖基础法则应用(1)、数形结合(2)、实际情境应用(3)及拓展思考(4)。旨在及时巩固所学知识（目标(1)(3)），训练解题速度和准确性，强化数轴工具的使用（目标(2)），并尝试解决简单实际问题（目标(3)）。通过练习反馈，帮助教师了解学情，学生查漏补缺。 （七）归纳总结 · 有理数大小比较法则表： 比较对象类型 比较法则或方法 正数 vs 0 正数 > 0 负数 vs 0 负数 < 0 正数 vs 负数 正数 > 负数 负数 vs 负数 1. 求绝对值； 2. 比较绝对值大小； 3. 绝对值大的数反而小 正数 vs 正数 同小学比较方法（直接比大小） 通用方法 (根本) 数轴上右边的点表示的数 > 左边的点表示的数 · 解题关键步骤： 9. 判类型。 9. 选法则。 (特别注意：两负数必走“求绝对值->比绝对值->反结论”三步) 9. 做比较/化简。 (遇多重符号、绝对值，先化简！) 9. (辅助)数轴验证。 （八）感受中考 1. (2023·湖南株洲) 下列四个数中，最小的数是 ( ) · A. -2 B. 0 C. D. 1 · 答案：A 解析： 负数 < 0 < 正数，且-2是唯一负数，故最小。知识点： 正>0>负。 1. (2023·江苏苏州) 在 -1, 0, , -2 这四个数中，最大的数是 ________。 · 答案： 解析： 正数（）> 0 > 负数（-1, -2）。正数 最大。知识点： 正>0>负。 1. (2022·浙江杭州) 已知 ， ， 则 与 的大小关系是 ( ) · A. B. C. D. 无法比较 · 答案：C 解析： 化简： ， 。 比较 -3 和 2： 负数 < 正数， 所以 。知识点： 多重符号、绝对值化简，正>负。 1. (2024·四川成都) 比较大小： ________ (填 >, < 或 =)。 · 答案：< 解析： 两负数比较。求绝对值： ， 。 ， 所以 。知识点： 两负数比较法则，异分母分数通分比较。 设计意图： 在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。 （九）小结梳理 · 有理数大小比较知识点关系图： 核心概念 相互关系与应用 生活经验 (温度) → 抽象归纳出 基本法则 (正>0>负; 正>负) → 发现难点：负数比较 绝对值概念 ← 关键作用：解决 负数比较 问题 (法则：绝对值大者反而小) 数轴 ← 根本方法：右>左 → 验证所有法则的合理性，提供直观判断工具 解题步骤 整合应用：判类型 -> 选法则 (含负数三步走) -> 做比较/化简 -> (数轴验证) （十）布置作业 · 必做题： 13. （课本习题1.3）比较大小： · (1) 5 _____ -6 (答：>) · (2) -3.5 _____ -3.6 (答：>， 两负， ， 所以 -3.5 > -3.6) · (3) _____ (答：<) · (4) _____ (答：先化同分母： ， 。 两负， ， 所以 即 ) · (5) _____ (答：< ， 负数 < 正数) 13. （课本习题1.3）把下列各数用“<”连接： -3.5, 2, 0, -1。 · 答： -3.5 < -1 < 0 < 2 五、教学反思 (课后填写) 学科网（北京）股份有限公司 $$