3.6 直线和圆的位置关系 课件 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

3.6 直线和圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系有三种:　 　、　 　、　 　.  设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,根据直线和圆相交、相切、相离的定义,容易得到直线和圆　 　⇔d<r;直线和圆　 　⇔d= r;直线和圆　 　⇔d>r.  2.切线的定义:直线和圆有唯一的公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点. 探究点一　直线和圆的位置关系 【新知探究】 相交 相切 相离 相交 相切 相离 [例1-1] 圆的半径是7 cm,如果圆心与直线上某一点的距离是6.5 cm,那么该直线和圆的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 C B 判断直线和圆的位置关系的步骤 (1)求出圆心到直线的距离; (2)比较距离和半径的大小; (3)根据距离和半径的大小关系,判断直线和圆的位置关系. 【新知巩固】 1.(2022六盘水)如图所示的是“光盘行动”宣传海报中的图片,图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.平行 2.在同一平面内,已知点O到直线l的距离为5,以点O为圆心,r为半径画圆,当r=　 　时,☉O上有且只有3个点到直线l的距离等于3.  B 8 3.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=3,圆心O在AB上由点A向点B运动,运动到圆心O与B点重合为止,☉O的半径r=2,BO=m,则m取值范围如何时,☉O与直线BC相交?相切?相离? 解:如图所示,当☉O与直线BC相切时,作OD∥AC,交☉O于点D. ∵∠C=90°,∠B=30°,BO=m,OD=2,∴BO=2OD,即m=4. 即当m为4时,直线BC与☉O相切; 若☉O与直线BC相离,则有m>4, ∵AC=3,∴AB=6,当4<m≤6时,☉O与直线BC相离; 若☉O与直线CB相交,则有m<4,即0≤m<4. 切线的性质:圆的切线垂直于过切点的　 　.  [例2-1] (2023眉山)如图所示,AB切☉O于点B,连接OA交☉O于点C,BD ∥OA交☉O于点D,连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为( ) A.25° B.35° C.40° D.45° 探究点二　圆的切线的性质 【新知探究】 半径 C [例2-2] 如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径的圆恰好与AB相切,D为切点,连接BO.求证:BO平分∠ABC. 证明:如图所示,连接OD. ∵AB与☉O相切,∴∠ODB=90°. 在Rt△BDO和Rt△BCO中, ∵DO=CO,OB=OB, ∴Rt△BDO≌Rt△BCO(HL). ∴∠DBO=∠CBO.∴BO平分∠ABC. 【新知巩固】 C A 3.(2022怀化)如图所示,AB与☉O相切于点C,AO=3,☉O的半径为2,则AC的长为　 　.  4.如图所示,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切,点P为切点,大圆、小圆的半径分别为10 cm和6 cm,则AB的长为　 　. 16 cm 5.(2022泰安)如图所示,在△ABC中,∠B=90°,☉O过点A,C,与AB交于点D,与BC相切于点C,若∠A=32°,则∠ADO的度数为　 　.  64° 6.如图所示,AB是☉O的直径,AD平分∠BAC交☉O于点D,过点D的切线交AC的延长线于点E.求证:DE⊥AE. 证明:如图所示,连接OD. ∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE.∴∠ODE=90°. ∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA. ∵AD平分∠BAC, ∴∠CAD=∠DAB.∴∠CAD=∠ADO. ∴OD∥AE.∴∠E+∠ODE=180°. ∴∠E=90°.∴DE⊥AE. 第2课时　切线的判定与三角形的内切圆 过半径　 　且垂直于这条半径的直线是圆的切线. [例1-1] 如图所示,在△POM中,点M在☉O上,点P在☉O外,OP交☉O于点N,以下条件不能判定PM是☉O的切线的是( ) A.OM⊥MP B.∠O+∠P=∠OMP C.OM2+PM2=OP2 D.点N是OP的中点 探究点一　切线的判定 【新知探究】 外端 D [例1-2] 如图所示,AB是☉O的直径,AC是☉O的弦,过点C的直线交AB的延长线于点D,∠D=60°,∠A=15°.试判断直线CD与☉O的位置关系,并说明理由. 解:直线CD与☉O相切.理由如下: 如图所示,连接OC, ∵∠A=15°,OA=OC,∴∠ACO=∠A=15°. ∴∠COD=∠ACO+∠A=30°. ∴∠OCD=180°-∠COD-∠D=180°-30°-60°=90°. ∴OC⊥CD.∵点C在☉O上,∴CD是☉O的切线. 【新知巩固】 1.如图所示,点P为☉O外一点,连接OP,以OP为直径作圆,两圆交于点Q,连接PQ,可判定PQ是☉O的切线,则判定其为切线的依据是( ) A.经过半径的外端且垂直这条半径的直线是圆的切线 B.垂直于半径的直线是圆的切线 C.和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 D.圆心到直线的距离等于半径时,这条直线是圆的切线 A 2.如图所示,AB是半圆O的直径,点C在半圆上(不与点A,B重合),DE⊥AB于点D,交BC于点F,下列条件中能判定CE是切线的是( ) A.∠E=∠CFE B.∠E=∠ECF C.∠ECF=∠EFC D.∠ECF=60° 3.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,☉O是它的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,若∠ACB=40°,则∠DOE的度数为　 　.  C 130° 4.如图所示,已知∠AOB=30°,M为OB边上任意一点,以点M为圆心,3 cm为半径作☉M.当OM=　 　cm时,☉M与OA相切.  6 5.(2022枣庄节选)如图所示,在☉O中,AB是☉O的直径,CD是过☉O上一点C的直线,且AD⊥DC于点D,AC平分∠BAD.求证:CD是☉O的切线. 证明:如图所示,连接OC, ∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠CAO. ∵OA=OC,∴∠CAO=∠OCA. ∴∠DAC=∠OCA.∴AD∥OC. ∵AD⊥DC,∴CO⊥DC. ∵OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线. 与三角形三边都　 　的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条　 　线的交点,叫做三角形的内心,三角形的内心到三角形三条边的距离　 　.  [例2-1] 下列关于三角形的内心说法正确的为( ) A.内心是三角形三条角平分线的交点 B.内心是三角形三边垂直平分线的交点 C.内心到三角形三个顶点的距离相等 D.钝角三角形的内心在三角形外 探究点二　三角形的内切圆、内心 【新知探究】 相切 角平分 相等 A [例2-2] 如图所示,△ABC的内切圆☉I分别与BC,AC,AB相切于点D,E,F,若∠B=55°,∠C=75°,则∠EDF的度数是( ) A.55° B.60° C.65° D.70° C 【新知巩固】 1.一个三角形的内心也是它的外接圆圆心,这个三角形的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 2.在平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别是(0,6),(-8,0),则Rt△ABO内心的坐标为　 　.  C (-2,2) 3.(2023仙桃)如图所示,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,求∠AFD的 度数. 解:如图所示,连接OD,OE,OB,OB交ED于点G. ∵∠ACB=70°,∴∠CAB+∠CBA=110°. ∵点O为△ABC的内切圆的圆心, ∴∠OAB+∠OBA=55°. ∴∠AOB=125°.∵OE=OD,BD=BE, ∴OB垂直平分DE.∴∠OGE=90°. ∴∠AFD=∠AOB-∠OGF=125°-90°=35°. 谢谢观赏！ 25 [例1-2] 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,cos A=,以点B为圆心,r为半径作☉B,当r=3时,☉B与AC的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定  [例1-3] 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,若以点C为圆心,r 为半径的圆与边AB所在的直线相离,则r的取值范围为　 　. 0<r< 1.(2023重庆)如图所示,AC是☉O的切线,B为切点,连接OA,OC.若 ∠A=30°,AB=2,BC=3,则OC的长度是( ) A.3 B.2 C. D.6 2.(2024福建)如图所示,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,且C为的中点,则∠ACM等于( ) A.18° B.30° C.36° D.72° $$