3.7 切线长定理 课件 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

3.7 切线长定理 1.过圆外一点画圆的切线,这点和切点之间的　 　叫做这点到圆的切线长.  2.切线长定理:过圆外一点画圆的两条切线,它们的切线长　 　.   探究点一　切线长定理 【新知探究】 线段长 相等 65° [例1-2] (2024泸州)如图所示,EA,ED是☉O的切线,切点分别为A,D,点B,C在☉O上,若∠BAE+∠BCD=236°,则∠E等于( ) A.56° B.60° C.68° D.70° C 【新知巩固】 1.如图所示,AB,AC,BD是☉O的切线,切点分别是P,C,D.若AB=5,AC=3,则BD的长是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 C D 5 115° 4.如图所示,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,AC为弦,BC为☉O的直径,若∠P=60°,PB=2 cm. (1)求证:△PAB是等边三角形; (1)证明:∵PA,PB分别与☉O相切于点A,B, ∴PA=PB. ∵∠P=60°,∴△PAB是等边三角形. (2)求AC的长. [例2-1] 如图所示,四边形ABCD是☉O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为( ) A.44 B.42 C.46 D.47 探究点二　三角形的内切圆和四边形的内切圆 【新知探究】 A [例2-2] 如图所示,☉O是Rt△ABC的内切圆,点D,E,F分别是切点,∠C= 90°.若AC=12 cm,BC=9 cm,求☉O的半径. 三角形内切圆的半径 (3)一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆有无数多个外切三角形. 【新知巩固】 1.如图所示,△ABC的内切圆☉O分别与AB,AC,BC相切于点D,E,F.若∠C=90°,AC=6,BC=8,则☉O的半径为　 　.  2 2.如图所示,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,☉O内切于菱形ABCD,则☉O的半径为　 　.  3.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O是△ABC的内切圆,分别与BC,AC,AB相切于点D,E,F,若BF=2,AF=3,则△ABC的面积是　 　.  6 4.如图所示,△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点. (1)求证:四边形ODCE是正方形; (1)证明:∵☉O是△ABC的内切圆, ∴OD⊥BC,OE⊥AC. 又∠C=90°,∴四边形ODCE是矩形. ∵OD=OE, ∴四边形ODCE是正方形. (2)如果AC=6,BC=8,求内切圆☉O的半径. 谢谢观赏！ 15 [例1-1] (2023嘉兴)如图所示,点A是☉O外一点,AB,AC分别与☉O相切于点B,C,点D在上.已知∠A=50°,则∠D的度数是　 　. 2.如图所示,AB为☉O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与☉O相切,切点分别为C,D.若AB=6,PC=4,则sin∠CAD的值为( ) A. B. C. D. 3.如图所示,P是☉O外一点,PA,PB分别和☉O相切于A,B两点,C是上任意一点,过点C作☉O的切线分别交PA,PB于点D,E.连接CA,CB. (1)若△PDE的周长为10,则PA的长为　 　;  (2)若∠P=50°,则∠BCA的度数为　 　.  (2)解:∵△PAB是等边三角形, ∴AB=PB=2 cm,∠PBA=60°. ∵BC是直径,PB是☉O的切线, ∴∠CAB=90°,∠PBC=90°.∴∠ABC=30°. ∴tan∠ABC==.∴AC=2×=(cm). 解:如图所示,连接OD,OF. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12 cm,BC=9 cm, 根据勾股定理,得AB==15(cm). 在四边形OFCD中,OD=OF,∠ODC=∠OFC=∠C=90°, 则四边形OFCD是正方形. 由切线长定理,得AD=AE,CD=CF,BE=BF. ∴CD=CF=(AC+BC-AB)=×(12+9-15)=3(cm). ∴OD=CD=3 cm.∴☉O的半径为3 cm. (1)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,它的面积为S,则它的内切圆的半径r=; (2)已知Rt△ABC的直角边长分别为a,b,斜边长为c,则它的内切圆的半径r=; (2)解:∵∠C=90°,AC=6,BC=8, ∴AB==10. 由切线长定理,得 AF=AE,BD=BF,CD=CE, ∴CD+CE=BC+AC-BD-AE=BC+AC-AB=4, 则CE=2,即☉O的半径为2. $$