河北省承德市第一中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试卷

河北省承德市第一中学 2024—2025学年第二学期高二年级5月份月考数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（ ） A. 0.62 B. 0.64 C. 0.58 D. 0.68 2.在的展开式中，的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 60 D. 80 3.用两种不同的颜色对下列图形中的三个区域进行着色，相邻两个区域颜色不同，所有不同的着色方法数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4.等比数列的前n项和为，已知，则（ ） A. B. C. 10 D. 9 5.已知函数与的图象如图所示，则函数（ ） A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是减函数 6.三个数，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 7.对任意实数，有，则的值为（ ） A. B. C. 22 D. 30 8.校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（ ） A. 事件A与相互独立 B. 事件A与为互斥事件 C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9.下列说法正确的是（ ） A. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 B. 已知随机变量，若，则 C. 已知，则 D. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 10.关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式的所有系数和为1 B. 展开式的第4项二项式系数最大 C. 展开式中不含项 D. 展开式的常数项为240 11.已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 三、填空题（本大题共3小题，共15分 12.在数列中，，且，则__________. 13.函数是上的单调增函数，则a的取值范围是______. 14.的展开式中，项的系数为_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题13分）一个袋子里装有大小形状完全相同的9个小球，其中有红球5个，编号分别为1，2，3，4，5；白球4个，编号分别为1，2，3，4；现从袋子中任取3个球（假设取到任何一个球的可能性相同）． （1）求取出3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； （2）求取出的3个球中恰好有2个球编号相同的概率； （3）记为取出的三个球中编号的最大值，求随机变量的分布列和数学期望． 16.（本小题15分）已知数列是等差数列，且，，数列是公比大于0的等比数列，，. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设，求数列的前项和. 17.（本小题15分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率时，乙每次击中目标的概率，假设两人射击是否击中目标．相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． （1）求甲至少有1次未击中目标的概率； （2）记甲击中目标的次数为，求的概率分布列； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． 18.（本小题17分）已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数a最大值． 19.（本小题17分）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数a的取值范围． 参考答案： 1.【答案】C 【解析】依题意，记“甲正点到达目的地”为事件，“甲乘汽车到达目的地”为事件，“甲乘动车到达目的地”为事件，则，，，， 根据全概率公式，得． 2.【答案】D 【解析】二项式的展开式的通项公式为，令，解得， 所以，所以项的系数为. 3.【答案】A 【解析】采用分步计数原理，先对第一块区域着色有2种方法，再对中间区域着色有1种方法， 最后对第三块区域着色有1种方法，所以共有种方法. 4.【答案】C 【解析】∵，∴，即又，∴． ∴． 5.【答案】B 【解析】依题意，求导得， 因为恒成立，故的符号由和大小关系决定． 观察图象可知，当时，，此时；当时，，此时； 当时，，此时；当时，，此时， 所以在和上单调递增，在和上单调递减， 对照选项，可知选项ACD错误，B正确． 6.【答案】D 【解析】，，， 记，则， 令，，，单调递增；，，单调递减；因为，所以，即. 7.【答案】B 【解析】依题意，因为，根据二项式定理，将视作整体，所以，，所以． 8.【答案】D 【解析】将4人派往3个地方，则将4人分为3组，且分组情况为：2,1,1，则所有安排方案有种，铅球区域可能安排2人或1人，A事件“志愿者甲派往铅球区域”，A中包含的基本事件数有：；所以，事件“志愿者乙派往铅球区域”，B中包含的基本事件数有：；所以；事件“志愿者乙派往跳远区域”，C中包含的基本事件数有：；， 而，， 由相互独立事件的充要条件可知，事件A与不相互独立， 故A错误；显然，事件A与能同时发生，不为互斥事件，故B错误； 由条件概率公式知，故C错误；，故D正确. 9.【答案】AC 【解析】对于A：两位男生和两位女生随机排成一列共有(种)排法； 两位女生不相邻的排法有(种)，故两位女生不相邻的概率是，故A正确； 对于B：据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，解得，故B错误；对于C：由，得，解得，故C正确； 对于D：设随机变量表示取得次品的个数，则服从超几何分布，所以，故D错误. 10.【答案】ABD 【解析】对于选项A，令，代入二项式，可得展开式的所有系数和为. 对于选项B，因为二项式指数为偶数，所以中间项的二项式系数最大，即第项二项式系数最大.对于选项C，二项式展开式通项为.令，解得，所以展开式中含项. 对于选项D，令，解得.则展开式中常数项为. 11.【答案】AC 【解析】对于选项A，由题对函数求导得， 令，解得或，则函数在，上单调递增； 令，解得，则函数在上单调递减. 则为函数是极值点，故选项A正确； 对于选项B，因为，，， 所以函数在上有且只有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故选项B错误； 对于选项C，构造函数，且， 则函数是奇函数，是函数的对称中心， 将函数的图象向上移动一个单位得到函数的图象， 所以点是曲线的对称中心，故选项C正确； 对于选项D，令，解得，又， 当切点为时，切线方程为， 当切点为时，切线方程为，故选项D错误. 12.【答案】 【解析】因为，所以为等差数列，设的公差为，因为，则；根据等差数列的通项公式知：，即，解得，所以，所以. 13.【答案】 【解析】函数定义域为R，，因为函数是上的单调增函数， 所以恒成立所以，所以，所以. 14.【答案】 【解析】展开式通项为，. . 对于，令，得该项中含的项为. 对于，令，得该项中含的项为. 合并同类项，. 所以项的系数为. 15.【答案】解：（1）依题意，记“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A，则，所以所求概率为； （2）依题意，记“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则. 所以所求概率为. （3）依题意，X的可能取值为2,3,4,5. 则，， ，. 所以X的分布列为 所以X的数学期望. 16.【答案】解：（1）设等差数列的公差为，由，得 ，解得， 所以， 设等比数列的公比为（），由，得，解得，所以. （2）因为， 所以. （3）由（1）可得， 所以， 所以， 两式相减得 ，所以. 17.【答案】解：（1）依题意，因为每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． 所以甲连续射击3次，至少1次未击中目标的概率为； （2）依题意，的可能取值为0，1，2，3，， 故，， ，， 所以的概率分布列为： （3）依题意，要使得甲恰好比乙多击中目标2次的概率则甲击中目标2次且乙击中目标0次或者甲击中目标3次且乙击中目标1次， 由（2）得，甲击中目标2次的概率为，击中目标3次的概率为； 同理乙击中目标0次的概率为，击中目标1次的概率为． 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为．， 18.【答案】解：（1）由题意得的定义域为， 当时，所以， 令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为. （2）由题意得的定义域为且， 当时，恒成立， 所以在上单调递减， 当时，令解得， 令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. （3）当时，不等式恒成立， 分离参数可得， 令， 即寻找的最小值， 当时，， 令，则， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间内存在唯一零点， 即，所以， 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以， 因为，则，即， 且为整数，则，所以整数的最大值是4. 19.【答案】解：（1）对函数求导得，且， 所以在点处的切线方程为． （2），， ， 令，解得，所以在上单调递减， 令，解得，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为． （3）由题可知，由，等价于，， 构造函数， 则， 令，解得，所以在单调递减， 令，解得，所以在单调递增， 又，即， 所以． 第4页 共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$