第8讲：幂函数与二次函数讲义-2026届高三数学一轮复习

第8讲 幂函数与二次函数 知识梳理 知识点1 幂函数及其性质 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． （2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 2、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 知识点2 二次函数的图像和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 【解题方法总结】 1、幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出；②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 3、一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示. 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 4、有关二次函数的问题，关键是利用图像. （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论. （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负． 题型归纳 【题型一】 幂函数的定义及其图像 方法技巧：确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的. 1．（2025·湖北·模拟预测）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的定义求出，由函数奇偶性得到A错误，求出定义域，求导得到函数的单调性，从而判断BCD. 【详解】因为是幂函数，根据幂函数的定义可知， 当时，，等式成立， 因为在R上单调递增，故为唯一解. 此时，其定义域为. A选项，，所以是偶函数，A选项错误. B选项，对求导，可得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在其定义域上不单调递减的，B错误； C选项，，在上单调递减. 因为，所以，即，C选项正确. D选项，，在上单调递增，， 所以，即，D错误. 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设幂函数的图象经过点．若，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法1  设幂函数为，将代入得，所以在上为增函数，又，所以，即，故． 解法2（特殊值法）  同解法1知幂函数为，不妨设，，则有，，，，从而可得C正确． 3．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数定义代入点可得，即可得函数值域. 【详解】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数.m的值为 【答案】1 【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于参数m的不等式和方程即可求解. 【详解】因为幂函数y=在上是减函数， 所以，所以，因为，所以或2， 又因为函数图象关于y轴对称，所以是偶数，所以. 故答案为：1 【题型二】 幂函数性质的综合应用 方法技巧：紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数． 5．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为减函数 D．的值域为 【答案】D 【分析】根据图象过点求出函数解析式，再由解析式判断定义域、单调性、奇偶性、值域得解. 【详解】设， 由函数的图像经过点，则，解得， 所以，故函数的定义域为，故A错误； 由定义域关于原点对称及可知函数为偶函数，故B错误； 由在上无单调性，故C错误； 因为，故的值域为，故D正确. 故选：D 6．（多选）（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象都经过点 B．函数的图象不经过第四象限 C．若，则函数在上单调递增 D．若，则对任意实数，有 【答案】BCD 【分析】A选项，举出反例；B选项，时，，B正确；C选项，根据幂函数性质得到C正确；D选项，作差法比较出大小. 【详解】A选项，当时，，不经过原点，A错误； B选项，当时，，故图象不经过第四象限，B正确； C选项，若，则函数在上单调递增，C正确； D选项，，， ， 故 ，当且仅当时，等号成立， 故，D正确. 故选：BCD 7．（多选）（24-25高一上·广东汕头·期末）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（   ） A．为非奇非偶函数 B．的值域是 C．若，则 D．在上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据幂函数的定义，运用代入法，结合幂函数的性质逐一判断即可. 【详解】由函数是幂函数，设，又的图像经过点， 所以，∴，即． 对于A，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，所以 ，所以，故C正确； 对于D，， 由函数单调性的性质可知，函数是上的减函数，故D正确， 故选：ACD 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象关于轴对称，且，则 ；若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 2 或 【详解】由题意知函数在区间上单调递增，所以，解得，由得．又的图象关于轴对称，所以为偶数，所以，所以．不等式等价于，解得或． 【题型三】 二次方程的实根分布及条件 方法技巧：结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围． 9．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由韦达定理求出两根之和与两根之积，根据判别式大于零，结合列不等式组求解即可. 【详解】因为关于的方程的两个不相等实数根满足， 所以，由根与系数的关系得：， 结合题意得： 即， 解得或， 即实数的取值范围是， 故选：C. 10．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 11．（2025高三下·全国·专题练习）关于的方程，求为何值时？ (1)方程有唯一实根； (2)方程一根大于1，一根小于1． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）令，当和时分情况讨论即可求解； （2）方程一根大于1，一根小于1，必须满足或解出即可. 【详解】（1）令． 当时，方程变为，即，符合题意； 当时，，． 所以当或时，方程有唯一实根． （2）因为方程有一根大于1，一根小于1．大致图象如图⑤，⑥． 所以必须满足或解得． 所以当时，方程有一根大于1，一根小于1． 12．（2025高三·全国·专题练习）若方程的两根满足一正一负，求出实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系即可求得结果. 【详解】设两根为，由题意，得 ，即,故,解得． 故实数的取值范围为． 【题型四】 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 方法技巧：“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果． 13．（24-25高一上·广东广州·期中）若函数的最大值为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】通过讨论，，确定函数单调性，确定最大值点，即可求解. 【详解】函数的对称轴为，图象开口向下. 当时，函数在区间是减函数， ，由，得. 当时，函数在区间是增函数，在上是减函数， . 由，计算出或， ， 两个值都不满足. 当时，函数在区间是增函数， ， . 综上可知或. 故选：C. 14．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在区间上的最大值为5，最小值为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意结合二次函数性质和图象分析求解即可. 【详解】因为函数， 可知函数图象的对称轴为直线，且函数的最小值为． 令，解得或4， 因为在区间上的最大值为5，最小值为，    所以的取值范围是． 故答案为：. 15．（23-24高一上·广东惠州·期中）设函数，其中. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二次函数的区间单调性求区间最值，进而确定值域； （2）问题化为，由已知，其开口向上且对称轴为，讨论对称轴与区间的位置关系确定最值，结合不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设， 则在上单调递减，在上单调递增， 由，，， 故上函数的值域为； （2）由，其开口向上且对称轴为， 又对任意的，都有，即， 当时，，可得，不符合前提； 当时，，可得，此时； 当时，，可得，此时； 当时，，可得，不符合前提； 综上，. 16．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知二次函数满足. (1)求的解析式. (2)若存在，使得成立，求实数m的取值范围. (3)记. ①当的定义域为时，值域为，求实数c的取值范围； ②若，设函数在区间上的最小值为，求的表达式. 【答案】(1) (2) (3)① ② 【分析】（1）设两根式，结合可得； （2）参变分离，转化为的最值问题； （3）①根据单调性，转化为有两个正根可得；②根据分类讨论即可. 【详解】（1）因为二次函数满足，所以可设， 又，所以，解得，故. （2）由(1)知等价于， 因为存在，使得成立，所以. 令，， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，故.故实数m的取值范围是. （3）①，显然在上单调递增， 依题意可得，即是方程的两个互异的正根， 故，即，故实数c的取值范围是. ②若，则. 当时，在上单调递增，所以； 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减， 所以. 综上， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8讲 幂函数与二次函数 知识梳理 知识点1 幂函数及其性质 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． （2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 2、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 知识点2 二次函数的图像和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 【解题方法总结】 1、幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出；②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 3、一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示. 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 4、有关二次函数的问题，关键是利用图像. （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论. （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负． 题型归纳 【题型一】 幂函数的定义及其图像 方法技巧：确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的. 1．（2025·湖北·模拟预测）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设幂函数的图象经过点．若，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 4．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数.m的值为 【题型二】 幂函数性质的综合应用 方法技巧：紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数． 5．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为减函数 D．的值域为 6．（多选）（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象都经过点 B．函数的图象不经过第四象限 C．若，则函数在上单调递增 D．若，则对任意实数，有 7．（多选）（24-25高一上·广东汕头·期末）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（   ） A．为非奇非偶函数 B．的值域是 C．若，则 D．在上单调递减 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象关于轴对称，且，则 ；若，则实数的取值范围是 ． 【题型三】 二次方程的实根分布及条件 方法技巧：结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围． 9．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 11．（2025高三下·全国·专题练习）关于的方程，求为何值时？ (1)方程有唯一实根； (2)方程一根大于1，一根小于1． 12．（2025高三·全国·专题练习）若方程的两根满足一正一负，求出实数的取值范围． 【题型四】 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 方法技巧：“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果． 13．（24-25高一上·广东广州·期中）若函数的最大值为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 14．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在区间上的最大值为5，最小值为，则的取值范围是 ． 15．（23-24高一上·广东惠州·期中）设函数，其中. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 16．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知二次函数满足. (1)求的解析式. (2)若存在，使得成立，求实数m的取值范围. (3)记. ①当的定义域为时，值域为，求实数c的取值范围； ②若，设函数在区间上的最小值为，求的表达式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$