山东省青岛市城阳第一高级中学2024-2025学年高一下学期数学期末复习练习题

高一期末复习练习题 一、选择题： 1. 若，则复数z的虚部为（   ） A．-5 B．5 C．7 D．-7 2. 如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（    ）    A． B． C． D． 3. 已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 4. 已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 5. 在中，内角，，所对应的边分别为，，．若，且，则的面积为（    ） A． B． C．3 D． 6. 平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 7. 已知函数的部分图象如图所示，下列不正确的个数有（    ） ①函数的图象关于点中心对称 ②函数的单调增区间为 ③函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 ④函数在上有2个零点，则实数的取值范围为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8. 为庆祝中国共产党成立100周年，深入推进党史学习教育，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为a，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b，方差为．若a=b，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为（ ）A. B. C. D. 二、选择题： 9. 一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时图中点开始计时，则．(    ) A. 点第一次到达最高点需要秒 B. 当水轮转动秒时，点距离水面米 C. 当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米 D. 点距离水面的高度米与秒的函数解析式为   10. 光明学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（ ） A. 选取的这部分学生的总人数为500人 B. 合唱社团的人数占样本总量的 C. 选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人 D. 选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125 11. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列说法正确的是（    ） A．丙与丁是互斥事件 B．甲与丙是互斥事件 C．甲与丁相互独立 D．（乙丙） （乙）+（丙） 三、填空题： 12. 假设要考察某公司生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个的样本个体的编号是______． （下面摘取了随机数表第7行到第9行） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 13 在中， 角，，的对边分别为，，，且，，若是锐角三角形，则的取值范围为_____________________________ 14. 设是球表面上的四个点，平面，，，，，则球的表面积为______________________ 四、解答题： 15.如图，在平面四边形ABCD中，，，，CD=4，AB=2，求AC 16 某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图． (1)根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数； (2)估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）； (3)现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率． 17 如图，直三棱柱中，，，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 18. ．已知扇形半径为1，，弧上的点满足. (1)求的最大值； (2)求最小值. 19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一期末复习练习题答案 一、选择题： 1. 若，则复数z的虚部为（   ） A．-5 B．5 C．7 D．-7 【详解】依题意，，故z的虚部为-5，故选：A 2.2. 如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（    ）    A． B． C． D． 【详解】，故， 则. 故选：A 3. 已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】A 【解析】对于A，因为，，所以， 又，，所以，A正确； 对于B，在正方体中， 记平面为，平面为，为，为， 则，，，但与不平行，B错误； 对于C，记平面为，平面为，为，为， 由正方体性质可知，平面，平面，所以， 则，，，但不垂直，C错误； 对于D，记为，为，平面为， 则，，但与不垂直，D错误. 故选：A 4. 已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、， 因为，，则，， 因为圆锥顶点到直线的距离为，所以， 因为圆锥底面半径，故，又， 所以为等腰直角三角形，为斜边， 因为为线段的中点， 故， 因为平面，平面，，， 在中，， 在中，， 所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为， 因此，该圆锥的侧面积为. 故答案为：. 5. 在中，内角，，所对应的边分别为，，．若，且，则的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理可得： ， 所以， 所以， 故选：C 6. 平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，， 所以， 故选：C． 7. 3．已知函数的部分图象如图所示，下列不正确的个数有（    ） ①函数的图象关于点中心对称 ②函数的单调增区间为 ③函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 ④函数在上有2个零点，则实数的取值范围为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【详解】， 由图象知函数的最小正周期为，因此，即， ，因此函数的图象关于点中心对称，①正确； 由得，，②正确； ，因此把的图象向左平移个单位长度得的图象，③正确； 由题意，时， 当时，，在上有2个零点，则，解得， 当时，，在上有2个零点，则，解得， 因此的范围是或，④错． 故选：B． 8. 为庆祝中国共产党成立100周年，深入推进党史学习教育，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为a，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b，方差为．若a=b，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为（ ） A. B. C. D. 【详解】设初中部20名党员竞赛成绩分别为， 高中部50名党员竞赛成绩的平均分，根据题意得 则， ， 所以， ，由于， 所以该学校全体参赛党员竞赛成绩的平均分为， 则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为 . 二、选择题： 9. 一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时图中点开始计时，则．(    ) A. 点第一次到达最高点需要秒 B. 当水轮转动秒时，点距离水面米 C. 当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米 D. 点距离水面的高度米与秒的函数解析式为 【详解】 设点距离水面的高度米和时间秒的函数解析式为 ， 由题意得： 解得： ，故D错误； 对于，令，即，即， 则，当时，，故点第一次到达最高点需要秒，故A正确； 对于，令 ，代入，解得：，故B错误； 对于，令 ，代入，解得：，故C正确． 故选AC．   10. 光明学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（ ） A. 选取的这部分学生的总人数为500人 B. 合唱社团的人数占样本总量的 C. 选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人 D. 选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125 解：由两个统计图表可得参加演讲的人数为50，占选取的学生的总数的10 所以选取的总人数为人，故选项A正确. 合唱社团的人数为200人，则合唱社团的人数占样本总量的，故选B正确. 则选取的学生中参加机器人社团的人数占样本总量的 所以选取的学生中参加机器人社团的学生数为人，故选项C不正确. 选取的学生中参加合唱社团的人数为200，参加机器人社团人数为75人， 所以选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125，选项D正确. 11. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列说法正确的是（    ） A．丙与丁是互斥事件 B．甲与丙是互斥事件 C．甲与丁相互独立 D．（乙丙） （乙）+（丙） 【详解】对于A：丙与丁不可能同时发生，所以丙与丁是互斥事件，A正确； 对于B：若第一次取出的球的数字是1，则两次取出的球的数字之和不可能是8，所以甲与丙不可能同时发生，是互斥事件，B正确； 对于C：（甲），（丁），（甲丁）， 则（甲）（丁）（甲丁），所以甲与丁相互独立，C正确； 对于D：乙丙包含的基本事件有共10个， 乙包含的基本事件有共6个， 丙包含的基本事件有共5个， 所以P（乙丙）P（乙）+P（丙），D错误. 故选：ABC 三、填空题： 12. 假设要考察某公司生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个的样本个体的编号是______． （下面摘取了随机数表第7行到第9行） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 解：068. 13 在中， 角，，的对边分别为，，，且，，若是锐角三角形，则的取值范围为_____________________________ 【详解】 由，则，，且，得， 所以，, 所以的范围是，故D正确. 14. 设是球表面上的四个点，平面，，，，，则球的表面积为______________________ 【详解】解：由题意，画出几何体的图形，如图所示，把扩展为三棱柱，上下底面三角形外接圆圆心连线的中点与的距离为球的半径， 由，，，， 则， 设三角形外接圆半径为，球的半径为， 则，且， 所以外接球的表面积为. 四、解答题： 15.如图，在平面四边形ABCD中，，，，CD=4，AB=2，求AC 【详解】在中，由正弦定理可得：， 所以①， 在中，由正弦定理可得：， 所以②， 又因为，所以由①②可得：， 解得：， 所以在中，由余弦定理得： ， 解得：. 16 某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图． (1)根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数； (2)估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）； (3)现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率． 【详解】（1）由题意可知，甲组20名同学成绩的中位数是， ∵，∴甲组20名同学成绩的第80百分位数为． 所以甲组20名同学成绩的中位数为119, 甲组20名同学成绩的第80百分位数为133. （2）由频率分布直方图可知：乙组20名同学成绩的平均数分为： ． （3）甲组20名同学的成绩不低于140（分）的有2个，记作、；乙组20名同学的成绩不低于140（分）的有个，记作、、． 记事件为“取出的2个成绩不是同一组”，任意选出2个成绩的所有样本点为：，，，，，，，，，，共10个，其中两个成绩不是同一组的样本点是：，，，，，，共6个， ∴． 所以取出的2个人的成绩不在同一组的概率为. 17 2．如图，直三棱柱中，，，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）证明：∵为直三棱柱，∴ 又平面，平面， ∴平面 （2）解：在中，，， 则，的面积为 ∵为直三棱柱，∴平面， ∴，从而 取的中点，连接，则， ∴的面积为， 设点到平面的距离为， 由于 ∴，解得 故点到平面的距离为. 18. ．已知扇形半径为1，，弧上的点满足. (1)求的最大值； (2)求最小值. 【详解】（1）由题设，构建如下图示的直角坐标系，且， 设，，则， 所以，，， 由，得， 即，，解得， 所以， 所以当时，取得最大值，且. （2）由（1）可得，， 所以 ， 因为，所以当，即当时，取得最小值是. 19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）解：∵平面，平面，∴， 又四边形是矩形，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴， 又是的中点，，∴， ∵，所以平面. （2）解：∵底面是矩形，∴， ∴异面直线与所成角即为直线与直线所成的角， 由（1）得平面，∴平面， ∵平面，∴，∴为直角三角形， 又是的中点，，∴， ∴在中，即为异面直线与所成角，故， ∴异面直线与所成角的正切值为. （3）解：取中点为，连接，， 在中，分别为线段的中点，故， ∵平面，∴平面， ∴， 由（1）得平面，∵平面，∴， ∵，∴，又，∴, ∴， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得：， 故， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$