第一章 特殊平行四边形(全章复习)（3大重难点题型）考试满分全攻略同步备考系列-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

第一章 特殊平行四边形 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 菱形的性质与判定 题型二 矩形的性质与判定 题型三 正方形的性质与判定 知识清单 知识点01：菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 知识点02：菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 知识点03：矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 知识点04：矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 知识点05：直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 知识点06：正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 知识点07：正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 题型方法 【题型一】菱形的性质与判定 【例1】（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，菱形的面积为，，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．3 B．3.5 C．5 D．5.5 【答案】A 【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为3， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在菱形中，于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握菱形的性质．根据菱形的性质可得，，推出，由于点，于点，可得，最后根据，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ， 于点，于点， ， ， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·河南许昌·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为 ． 【答案】10 【分析】根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得． 故答案为：10． 【变式3】（22-23九年级上·福建三明·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点O，，点E是延长线上一点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识点；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再证即可证明结论； （2）由菱形的性质可得，再根据勾股定理得，则，再证四边形是平行四边形得，然后由三角形面积求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2） 解：∵平行四边形是菱形 ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴的面积． 【题型二】矩形的性质与判定 【例2】（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形中，，的角平分线交于点P，连接，刚好，则矩形的面积是（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由矩形的性质可得，，由角平分线的性质和直角三角形的性质可求，，即可求解． 【详解】∵四边形是矩形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积， 故答案为：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明是等边三角形，是等腰直角三角形是解题的关键． 根据矩形的性质可得，再证明是等边三角形，可得，，然后得到是等腰直角三角形，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，连接，由矩形的性质可得，，由线段垂直平分线的性质得，设，则，由勾股定理得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明：∵中，，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，平分，，， ∴． 在直角三角形中，由勾股定理得：． ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴． 【题型三】正方形的性质与判定 【例3】（23-24九年级下·重庆·期中）如图，正方形中，点E、F、G、H分别为边、、、上的点，连接、、，若，，．当时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，如图，过作，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， 如图，过作， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判断和性质，勾股定理，过点作于，由正方形的性质可得，，即可得四边形是矩形，进而得到四边形是正方形，得到，再利用勾股定理求出可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题重点考查正方形的判定、三角形中位线定理等知识，推导出四边形是矩形是解题的关键．由中位线定理得到，，，结合得四边形是矩形，当时，四边形是正方形，据此可添加条件． 【详解】解：点D，E，F分别是边的中点， ，且，，且， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 添加的条件可以是，故答案为：．（答案不唯一） 【变式3】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点E为正方形外一点，，将旋转得到，的延长线交于H点． (1)绕点 逆时针方向旋转 得到； (2)试判定四边形的形状，并说明理由； (3)已知，，求的长． 【答案】(1)A， (2)四边形是正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的定义和图形进行解答即可； （2）由旋转的性质可得，由正方形的判定可证四边形是正方形； （3）连接，利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：由题意可知，绕点A逆时针方向旋转得到； 故答案为：A， （2）解：四边形是正方形，理由如下： 根据旋转：， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． （3）连接， ∵， 在中，， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，，又， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”，由此得到答案． 【详解】解：A、添加，根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； B、添加，根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； C、添加，不能得到为矩形，本选项不符合题意； D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能得到为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·山西运城·期中）已知中，对角线，相交于点O．若，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据平行四边形对角线垂直得到是菱形，再根据性质进行判断即可． 【详解】解：∵中，对角线，相交于点O，， ∴是菱形， A．菱形对角线不一定相等，此选项结论不一定成立； B．由菱形的四边相等，得到，此选项结论一定成立； C．菱形的内角不一定等于，此选项结论不一定成立； D．由题可得是菱形，，当时，，此选项结论不一定成立． 故选：B． 3．（23-24九年级上·重庆石柱·期中）已知如图，菱形中，对角线与相交于点O，于E，交于点F，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出，进而利用互余解答. 【详解】∵四边形是菱形, ， ， ， ， ， ， ， 故选: C. 4．（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（    ） A． B． C． D．＋1 【答案】A 【分析】根据正方形是轴对称图形，所在的直线是正方形的一条对称轴，进而根据对称性可知，BP+EP＝PD+PE，当在同一直线上时，的值最小为的长，进而根据勾股定理求得的值． 【详解】解：连接BD， ∵正方形是轴对称图形，所在的直线是正方形的一条对称轴， ∴无论P在什么位置，都有PD＝PB； 故均有BP+EP＝PD+PE成立； 连接DE与AC，所得的交点，即为BP+EP的最小值时的位置， 如图所示： 此时BP+EP＝DE， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴DC＝BC＝2， ∵E是BC的中点， ∴EC＝1， 在Rt△DEC中， DE＝＝＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，理解对角线所在的直线是正方形的对称轴是解题的关键． 5．（24-25九年级上·山西·期中）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（   ） A．36 B．32 C．24 D．20 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先证明出是的中位线，得到，，同理得到，，然后证明出四边形是矩形，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵点E，F，分别为边，的中点， ∴是的中位线 ∴， 同理可得，是的中位线 ∴， ∵ ∴ ∵点G，H分别为边和的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是矩形 ∴四边形的面积等于． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件 ，使平行四边形是菱形．（写出一个即可） 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定，熟记相关定理内容：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴当时，可使平行四边形是菱形 故答案为：（答案不唯一）． 7．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相连，用钉子钉成四边形，若，，则B、D两点间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，根据题意可证明四边形是菱形，则，再证明是等边三角形，得到，则，利用勾股定理求出，则． 【详解】解：如图所示，连接交于O， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·山西太原·期中）我们知道，在图形从一般向特殊变化的过程中，它的组成元索及相关元素之间的关系也越来越特殊.下面是小颖从“对角线”的角度对平行四边形矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是    【答案】对角线互相垂直且相等 【分析】本题考查了正方形的判断方法，根据图形即可得到答案，熟记正方形的判断方法是解题的关键． 【详解】解：由图可得，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形， 故答案为：对角线互相垂直且相等． 9．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】由中点四边形的含义可得矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，而中点四边形的面积是原四边形的面积的一半，可得原矩形的面积为1，矩形的中点四边形（菱形）的面积为 再得到菱形的中点四边形（矩形）的面积为： 从而总结归纳出规律，可得答案．本题考查了中点四边形的性质，是一道找规律的题目． 【详解】已知第一个矩形的面积是1， 第二个矩形的面积为 第三个矩形的面积是 则第n个矩形的面积是 故答案为：． 三、解答题 10．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且． (1)求证：； (2)不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)补充：，证明见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质知，，，得到，又有，故由证得； （2）平行四边形的性质知，，，由可求得，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，由可得平行四边形是菱形． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ； （2）补充的条件是：． 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定，证得四边形是平行四边形是解决问题的关键． 11．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）如图，在矩形中，点在边上，平分交边于点，，延长交于点F，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定，掌握以上知识是关键． 根据矩形的性质，结合题意得到，由角平分线的定义，平行线的性质得到，，，四边形是平行四边形，，根据菱形的判定即可求解． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 12．（23-24九年级上·广东珠海·期末）综合与实践 已知正方形纸片． 第一步：如图1，将正方形纸片沿、分别折叠，然后展开后得到折痕、，折痕相交于点． 第二步：如图2，将正方形纸片折叠，使点的对应点恰好落在上，得到折痕，与相交于点，然后展开，连接、． 问题解决： (1)的度数是________． (2)已知的边长是4，求的长， 【答案】(1)； (2)的长为 【分析】（1）由正方形的性质得：，由折叠的性质得，在中，根据三角形的内角和即可得答案； （2）由正方形和勾股定理求出得长，由折叠额性质得，，，，最后根据勾股定理计算可得答案． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质得：， 在中，； （2）设， 在正方形中， ，， 由折叠知：，，，，， 在中，，即， 解得：， 的长为． 【点睛】本题考查了正方形得性质，三角形的内角和，图形的翻折，勾股定理的性质，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． 13．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下： ①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点； ②作直线交于点，连接； ③以为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，连接． (1)根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断依据； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形，四边相等的四边形是菱形 (2)四边形的面积为． 【分析】此题考查了尺规作垂直平分线以及垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的性质和判定等知识． （1）根据作图得到垂直平分， 然后得到，即可求解； （2）首先根据题意得到，再利用勾股定理得到，求出，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据作图可得，垂直平分， ∴，， ∵由作图得，， ∴， ∴四边形是菱形，判断的根据是四边相等的四边形是菱形； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 菱形的性质与判定 题型二 矩形的性质与判定 题型三 正方形的性质与判定 知识清单 知识点01：菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 知识点02：菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 知识点03：矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 知识点04：矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 知识点05：直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 知识点06：正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 知识点07：正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 题型方法 【题型一】菱形的性质与判定 【例1】（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，菱形的面积为，，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．3 B．3.5 C．5 D．5.5 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在菱形中，于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·河南许昌·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为 ． 【变式3】（22-23九年级上·福建三明·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点O，，点E是延长线上一点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的面积． 【题型二】矩形的性质与判定 【例2】（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形中，，的角平分线交于点P，连接，刚好，则矩形的面积是（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点．若，则的长为 ． 【变式3】（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 【题型三】正方形的性质与判定 【例3】（23-24九年级下·重庆·期中）如图，正方形中，点E、F、G、H分别为边、、、上的点，连接、、，若，，．当时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 【变式3】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点E为正方形外一点，，将旋转得到，的延长线交于H点． (1)绕点 逆时针方向旋转 得到； (2)试判定四边形的形状，并说明理由； (3)已知，，求的长． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西运城·期中）已知中，对角线，相交于点O．若，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·重庆石柱·期中）已知如图，菱形中，对角线与相交于点O，于E，交于点F，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 4．（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（    ） A． B． C． D．＋1 5．（24-25九年级上·山西·期中）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（   ） A．36 B．32 C．24 D．20 二、填空题 6．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件 ，使平行四边形是菱形．（写出一个即可） 7．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相连，用钉子钉成四边形，若，，则B、D两点间的距离为 ． 8．（23-24九年级上·山西太原·期中）我们知道，在图形从一般向特殊变化的过程中，它的组成元索及相关元素之间的关系也越来越特殊.下面是小颖从“对角线”的角度对平行四边形矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是    9．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ． 三、解答题 10．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且． (1)求证：； (2)不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明． 11．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）如图，在矩形中，点在边上，平分交边于点，，延长交于点F，连接．求证：四边形是菱形． 12．（23-24九年级上·广东珠海·期末）综合与实践 已知正方形纸片． 第一步：如图1，将正方形纸片沿、分别折叠，然后展开后得到折痕、，折痕相交于点． 第二步：如图2，将正方形纸片折叠，使点的对应点恰好落在上，得到折痕，与相交于点，然后展开，连接、． 问题解决： (1)的度数是________． (2)已知的边长是4，求的长， 13．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下： ①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点； ②作直线交于点，连接； ③以为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，连接． (1)根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断依据； (2)若，，，求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$