第06讲 实际问题与二次函数（知识清单+5必考题型）考试满分全攻略同步备考系列-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

第06讲 实际问题与二次函数 题型梳理 题型方法 题型一 几何图形面积最值问题 题型二 “每、每”问题 题型三 最大利润问题 题型四 实际问题中的抛物线形轨迹问题 题型五 实际问题中的拱桥形问题 知识清单 知识点01 利用二次函数解实际问题的步骤（重点） 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点02 利用二次函数解实际问题的常见类型 知识点03 增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 知识点04 面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 知识点05 数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 知识点06 利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 知识点07 比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 知识点08 传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型方法 【题型一】几何图形面积最值问题 【例1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，用长为8的铝合金条制成如图的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（   ）． A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】此题注意考查了二次函数的应用，解题的关键是得出面积的表达式，将实际问题转化为函数问题解答，渗透了数学建模的思想． 设出矩形窗户的透光面积为，窗户的宽为，则窗户的高为，利用长方形的面积求出函数解析式，进一步利用函数求最大值． 【详解】解：设矩形窗户的透光面积为，窗户的宽为，则窗户的高为，根据题意得： ， 整理得， ∵， ∴抛物线开口向下，取得最大值，最大值为， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（   ）秒，四边形的面积最小． A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值． 根据等量关系“四边形的面积三角形的面积三角形的面积”列出函数关系求最小值． 【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为，四边形的面积为， 则有： ∴当时，S取得最小值． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达时，两点同时停止运动．则的最大面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，设运动时间为，则，，，，然后用面积公式得出二次函数解析式，最后利用性质即可求解，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，，， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴当时，的面积有最大值，为， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，动点从点开始沿向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿以的速度移动（不与点重合）．如果分别从同时出发，求经过多少时间，四边形的面积最小，最小面积为多少？ 【答案】经过3秒，最小面积是 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，先设运动时间为秒时，四边形的面积为，可表示，进而得出，再根据得出二次函数，配方得出顶点式，讨论得出答案. 【详解】解：设运动时间为秒时，四边形的面积为， 根据题意可知， 则， ， ， ， 经过3秒四边形的面积最小，最小面积是． 【题型二】“每、每”问题 【例2】（24-25九年级上·四川凉山·期末）彝族年假期期间，某店销售特产苦荞饼，经调查发现每盒苦荞饼售价为20元时，日销售量为500盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加10盒．已知每盒苦荞饼的成本为10元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，审清题意、弄清数量关系是解题的关键． 由“”列出y与x之间的函数表达式即可． 【详解】解：由题知：日销售量为盒，每盒利润为元， 所以y与x之间的函数关系式为． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）某文学书的售价为每本30元．每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本．设每本书降价元后，每星期售出此文学书的销售额为元，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，设每本书降价元，则每星期可售出本，根据每星期的销售总额销售单价每星期的销售数量，即可得出与之间的函数关系式． 【详解】解：设每本书降价元，则每星期可售出本， 每星期售出此文学书的销售额． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）某西瓜经营户以元千克的价格购进一批西瓜，以元千克售出，每天可售出千克，经调查，售价每降元，每天多卖千克，当定价为 元能获得最大利润． 【答案】 【分析】此题考查了列二次函数的应用，二次函数的性质，设每千克定价为元，每天利润为元，则每千克西瓜的利润为元，那么每天的西瓜销售量可表示为千克，然后列出二次函数关系式，再通过二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设每千克定价为元，每天利润为元，则每千克西瓜的利润为元，那么每天的西瓜销售量可表示为千克， ∴ ， ∵， ∴当每千克定价为元时，每天利润最大， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）圣女果，常被称为小西红柿，中文正式名称为樱桃番茄，是一年生草本植物，属茄科番茄属．某水果店对一款成本价为每盒20元的圣女果进行销售，如果按每盒40元销售，每天可卖出60盒．通过市场调查发现，每盒圣女果售价每上涨1元，则日销售量减少2盒． (1)若该水果店某天销售圣女果的盈利为1248元，求每盒圣女果的售价； (2)当每盒圣女果的售价定为多少元时，该水果店销售圣女果可以获得最大日利润？并求出最大日利润； (3)若该水果店销售圣女果获得的利润不低于1218元，则圣女果售价m（元/盒）的取值范围为_____． 【答案】(1)每盒圣女果的售价为或元； (2)当每盒圣女果的售价定为45元时，该水果店销售圣女果可以获得最大日利润1250元； (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设每盒圣女果的售价为元，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每盒圣女果的售价为元，日利润为元，根据题意列式得到二次函数，再配方求最值即可； （3）先求出时对应的售价，再根据二次函数的性质，即可得到售价m取值范围． 【详解】（1）解：设每盒圣女果的售价为元， 则， 解得：，， 即每盒圣女果的售价为或元； （2）解：设每盒圣女果的售价为元，日利润为元， 则， ， 当时，有最大值为， 即当每盒圣女果的售价定为45元时，该水果店销售圣女果可以获得最大日利润1250元； （3）解：由（2）可知，， 当时，， 解得：，， 由（2）可知，当时，有最大值为， 若该水果店销售圣女果获得的利润不低于1218元，则圣女果售价m（元/盒）的取值范围为， 故答案为：． 【题型三】最大利润问题 【例3】（24-25九年级上·广东珠海·阶段练习）某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”玩具，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得的最大利润是（    ） A．1568元 B．1518 元 C．1368 元 D．50元 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的基本应用及二次函数的最值问题，熟练掌握基本知识是解题关键． 先根据二次函数解析式求出开口方向和对称轴，再通过的取值范围求出最大值即可． 【详解】解：∵一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足， 函数开口向下，对称轴为，当时，函数取到最大值为1568， 所以当时，函数取到的最大值为1568， ∴可获得的最大利润为1568元． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（   ） A．25元 B．20元 C．30元 D．40元 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的销售利润以及的图象性质，根据，得出开口向下，在时，有最大值，且为元，据此即可作答． 【详解】解：∵这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系， ∴开口向下，在时，有最大值，且为元， 即销售单价x为25元， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润(万元)与销售量(辆)之间分别满足、．若该公司在甲、乙两地共销售辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为 万元． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，设公司在甲地销售辆，则在乙地销售辆，可得，设总利润为万元，即可由得到关于的二次函数，最后根据二次函数的性质解答即可求解，根据题意正确列出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设公司在甲地销售辆，则在乙地销售辆， ∴， 设总利润为万元， 则， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， ∴获得的最大利润为万元， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件． (1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求函数关系式，根据题意列出函数关系和方程是解题的关键． （1）进而设销售单价为x元，平均月销售量为y件，根据题意先求得x的取值范围，根据题意列出y与x的函数关系式； （2）设销售这种童装每月获得的利润为w，根据利润=（售价-进价）×数量-其他费用，得到w关于x的二次函数，进而求得答案，注意x的取值范围． 【详解】（1）解：∵单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元， 设销售单价为x元， ∴， ∵平均月销售量为y件，则， ∴； （2）解：设每月获得的利润为w元，由题意得： ∵ ∴当时，w随x的增大而增大 ∵ ∴当时， 答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元 【题型四】实际问题中的抛物线形轨迹问题 【例4】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，抛物线的表达式为，沿此抛物线篮球可准确落入篮圈．求篮圈中心到地面的距离为多少米？ A．3.5 B．1.5 C． D．3.05 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意，将代入抛物线表达式求解即可． 【详解】（米） ∵抛物线的表达式为 ∴将代入得，． ∴篮圈中心到地面的距离为3.05米． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键． 【详解】解：选图中第一象限的抛物线， 由题意得，抛物线顶点坐标为，过点， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）在体育课上，小颖站在操场上的O点练习掷实心球，发现若不考虑空气阻力，实心球的飞行路线是一条抛物线．如图，已知实心球出手时的高度米，当飞行到与点O的水平距离为米时达到最大高度米，则小颖这次实心球训练的成绩为 米（即的长度）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 根据题意可知点的坐标为，顶点坐标为，设抛物线解析式为，求出抛物线解析式，令，求出的值即可． 【详解】解：根据题意可知点的坐标为，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入得， 解得：， 抛物线解析式为， 令得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 小颖这次实心球训练的成绩为米， 故答案为：10． 【变式3】（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，在水池中心点处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点在同一水平面．安装师傅进行了调试，记录了三次数据：第一次，喷头高时，水柱落点距点；第二次，喷头高时，水柱落点距点．第三次，喷头高时，水柱落点距点． (1)根据上述数据，求该抛物线表达式中的值； (2)若记第一次调试时，抛物线形水柱距离水平面的最大高度为，记第二次调试时，抛物线形水柱距离水面的最大高度为，在某次调试中，抛物线形水柱距离水面的最大高度为，若，则喷头的高度为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键： （1）根据上下平移不改变a、b的值利用待定系数法求解即可； （2）分别求出第一次调试和第二次调试时的解析式，进而确定的值，进而确定d的值，则可求出抛物线形水柱距离水面的最大高度为时的解析式，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，故a、b的值不发生变化， ∵第一次，喷头高时，水柱落点距点；第二次，喷头高时，水柱落点距点．第三次，喷头高时，水柱落点距点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得第一次调试时的解析式为，第二次调试时的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线形水柱距离水面的最大高度为的这次调试时的解析式为， 在中，当时，， ∴喷头的高度为． 【题型五】实际问题中的拱桥形问题 【例5】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，当水面上升时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，然后求出函数的解析式，然后令求出相应的x的值，则水面的宽就是此时两个x的差的绝对值．本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，根据函数值求出相应的x的值． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为：， ∵函数图象过点， ∴， 得a， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， 解得，，， ∴水面的宽度是：． 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·天津宁河·阶段练习）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面，水面宽为．如果水面宽度为，则水面下降 （ ） ①以拱顶（抛物线顶点）为原点建立如图 所示坐标系，则抛物线解析式为 ； ②若水面由l位置下降，水面宽度为；   ③若水面由l位置下降，水面宽度增加 ； 以上结论正确的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查抛物线的图形及性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据待定系数法进行求解出解析式，再根据题意逐一计算判断即可． 【详解】解：设出抛物线方程， 由图象可知该图象经过点，则， 解得：，故，故①正确； 若水面由l位置下降，令，则， 解得：，则水面宽度为，故②正确； 若水面由l位置下降，令，则， 解得：，则水面宽度增加，故③正确； 则正确的有3个， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·河南南阳·期末）一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示现测得当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．这时，离开水面处，涵洞的宽度是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据图象，先设出抛物线的解析式，然后根据题意可以得到点的坐标，代入抛物线解析式，即可求出抛物线的解析式，然后再将点的纵坐标代入，即可得到点和点的横坐标，从而可以求得的长．解题的关键是明确题意，求出相应的抛物线解析式． 【详解】解：设该涵洞的截面边缘对应的抛物线解析式为， ∵当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离是， ∴， ∴， 解得：， ∴物线解析式为， 由题意可知点的纵坐标为：， 当时，得：， 解得：或， ∴，， ∴， ∴涵洞的宽度是 故答案为： 【变式3】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）某公路有一个抛物线形状的隧道，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点．（长度单位：） (1)求该隧道截面的最大跨度（即的长度）是 米． (2)该隧道为双向车道，现有一辆货运卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【答案】(1) (2)卡车能顺利通过隧道，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点C坐标代入解析式，求出对应的函数解析式，再令函数值为0，求出x的值得到A、B坐标即可得到答案； （2）把代入解析式求出此时y的值即可得到结论． 【详解】（1）解：∵抛物线的解析式为且过顶点， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴； （2）解：卡车能顺利通过隧道，理由如下： 在中，当时，， ∴卡车能顺利通过隧道． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某同学在实心球训练时，某一次实心球飞行轨迹呈抛物线型，其实心球飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则此次该同学实心球训练的成绩为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用（投球问题），求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标是解题的关键． 令，则，解方程求出的值，即可得出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，从而得解． 【详解】解：令，则， 解得：，（不符合题意，故舍去）， ∴抛物线与x轴正半轴的交点为，即此次该同学实心球训练的成绩为， 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为（    ）    A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积 ， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出修改后的花园面积与x之间的关系式． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）弗里热是2024年巴黎夏季奥运会和残奥会的吉祥物．某特许经销店销售一种弗里热造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件．若该商店销售这种玩偶每天获得的利润为w元，则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用．根据给定的数据,利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式，利用销售这种玩偶每天的利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式． 【详解】解：设每天的销售量（件）与每件售价（元）函数关系式为：， 由题意可知：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； 根据题意得： 故选：C 4．（24-25九年级下·天津北辰·阶段练习）某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出a即可判断②；把代入解析式求出，再用即可判断③；把代入解析式即可判断④． 【详解】解：①观察图形可知，， 即水面宽度为， 故①错误； ②设池底所在抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为； 故②错误； ③∵， ∴当时，， ∴最大水深为， 故③正确； ④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为时， 将代入，得， 可知此时最深处到水面的距离为， 即为原来的， 故④错误． 故选：A． 二、填空题 5．（24-25九年级上·山东威海·期中）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨2元，每天销量减少20个．将纪念品的销售单价定为 元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大． 【答案】52 【分析】本题考查二次函数的应用．得到销售量以及利润的关系式是解决本题的关键． 设商家每天销售纪念品获得的利润为w元，纪念品的销售单价为x元，根据题意表示出，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设商家每天销售纪念品获得的利润为w元，纪念品的销售单价为x元， 根据题意得， 抛物线的对称轴为：． ，， 当时，有最大值． 故答案为：52． 6．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，有一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面1米时，宽10米，水位再下降3米时为水面，则这时水面宽度为 米． 【答案】20 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出抛物线解析式是解题关键． 设抛物线解析式为，进而求出解析式，即可得出水面的宽． 【详解】解：根据题意，设抛物线解析式为， 由已知抛物线过点，则， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 当时，则， 解得：， ， 故答案为：20． 7．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，综合实践小组的同学们研究了某草坪喷灌系统的设计，发现喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线（其中为垂直高度，为水平距离，单位：m），则该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离为 m． 【答案】6． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题意将问题转化为是解题的关键． 根据题意得到，解方程即可得到结论． 【详解】解：， 当时，即， 解得，（不合题意，舍去）， 该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离米． 故答案为：6． 8．（21-22九年级上·山东德州·阶段练习）如图，线段，点是上一点，点、是线段的三等分点，分别以、、、为边作正方形，则 时，四个正方形的面积之和最小． 【答案】6 【分析】设，则、，四个正方形的面积之和，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，，则、， 由题意可得：四个正方形的面积之和 对称轴，，开口向上， ∴当时，最小，此时 故答案为6 【点睛】此题考查了二次函数与几何图形的实际应用，以及二次函数的性质，解题的关键是根据题意列出函数表达式，再根据函数性质求解． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设动点运动的时间为t s，从而，故，再结合二次函数的性质可以判断得解． 【详解】解：根据题意，点运动的时间为，点运动的时间为，设动点运动的时间为，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为：， 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，拱顶到水面的距离为． (1)请求出抛物线的表达式； (2)一艘轮船（横截面可看成矩形）装满货物后的宽度为，高为，为保证通航安全，船顶离拱桥至少要留的距离，试判断正常水位时货船能安全通过拱矫吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用， 正确求出二次函数解析式是解题的关键． （1）由题意可得，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设此抛物线解析式为，而，拱顶到水面的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴此抛物线解析式为； （2）解：当时，， ∵， ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 答：在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 11．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，某饲养员想用长为的栅栏，并借助一段围墙围成一个矩形鸡场，在边上留一个宽为的门（门不需要栅栏），已知围墙的长度为． (1)当为多少米时，能围成一个面积为的鸡场？ (2)求鸡场能围成的最大面积． 【答案】(1)当为米时，能围成一个面积为的鸡场； (2)鸡场能围成的最大面积是． 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找到周长等量关系列出方程与矩形的边的二次函数关系是解决本题的关键． （1）根据栅栏总长，再利用矩形面积公式即可求出； （2）根据题意求出鸡场的面积与矩形的边的二次函数关系，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 解得，， ∵门的宽度是1m，围墙的长度为， ， 解得：， ， 答：当为米时，能围成一个面积为的鸡场； （2）解：设羊圈的面积为，则矩形的边， 根据题意，得， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴鸡场能围成的最大面积是， 答：鸡场能围成的最大面积是． 12．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出400个，调查表明：该台灯的售价不超过50元（售价为整数），台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x元． (1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出 个台灯（用含x的代数式表示）； (2)为了实现平均每月5250元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ (3)台灯售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)这种台灯的售价应定为元 (3)台灯售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是6000元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列代数式，正确理解题意列出代数式，方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个列式求解即可； （2）根据题意可得每个台灯的利润为元，再根据总利润等于每个台灯的利润乘以销售量列出方程求解即可； （3）设月销售利润为W元，根据总利润等于每个台灯的利润乘以销售量列出W关于x的二次函数关系式，再求出x的取值范围，即可利用二次函数的性质求出答案． 【详解】（1）解：由题意得，售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个台灯； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴， 答：这种台灯的售价应定为元； （3）解：设月销售利润为W元， 由题意得， ， ∵该台灯的售价不超过50元（售价为整数）， ∴， 解得，且x为非负整数， ∵， ∴当时，W随x增大而增大， ∴当时，W最大，最大值为， ∴此时， 答：台灯售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是6000元． 13．（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）掷实心球是高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分.该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】(1) (2)该女生在此项考试中能得满分，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． （1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵当水平距离为时，实心球行进至最高点处， ∴设， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：该女生在此项考试中能得满分，理由如下： ∵对于二次函数，当时，有 解得：， （舍去）， ∵， ∴该女生在此项考试中能得满分． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 实际问题与二次函数 题型梳理 题型方法 题型一 几何图形面积最值问题 题型二 “每、每”问题 题型三 最大利润问题 题型四 实际问题中的抛物线形轨迹问题 题型五 实际问题中的拱桥形问题 知识清单 知识点01 利用二次函数解实际问题的步骤（重点） 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点02 利用二次函数解实际问题的常见类型 知识点03 增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 知识点04 面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 知识点05 数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 知识点06 利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 知识点07 比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 知识点08 传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型方法 【题型一】几何图形面积最值问题 【例1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，用长为8的铝合金条制成如图的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（   ）． A． B． C． D．4 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（   ）秒，四边形的面积最小． A． B．1 C． D．2 【变式2】（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达时，两点同时停止运动．则的最大面积是 ． 【变式3】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，动点从点开始沿向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿以的速度移动（不与点重合）．如果分别从同时出发，求经过多少时间，四边形的面积最小，最小面积为多少？ 【题型二】“每、每”问题 【例2】（24-25九年级上·四川凉山·期末）彝族年假期期间，某店销售特产苦荞饼，经调查发现每盒苦荞饼售价为20元时，日销售量为500盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加10盒．已知每盒苦荞饼的成本为10元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）某文学书的售价为每本30元．每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本．设每本书降价元后，每星期售出此文学书的销售额为元，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）某西瓜经营户以元千克的价格购进一批西瓜，以元千克售出，每天可售出千克，经调查，售价每降元，每天多卖千克，当定价为 元能获得最大利润． 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）圣女果，常被称为小西红柿，中文正式名称为樱桃番茄，是一年生草本植物，属茄科番茄属．某水果店对一款成本价为每盒20元的圣女果进行销售，如果按每盒40元销售，每天可卖出60盒．通过市场调查发现，每盒圣女果售价每上涨1元，则日销售量减少2盒． (1)若该水果店某天销售圣女果的盈利为1248元，求每盒圣女果的售价； (2)当每盒圣女果的售价定为多少元时，该水果店销售圣女果可以获得最大日利润？并求出最大日利润； (3)若该水果店销售圣女果获得的利润不低于1218元，则圣女果售价m（元/盒）的取值范围为_____． 【题型三】最大利润问题 【例3】（24-25九年级上·广东珠海·阶段练习）某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”玩具，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得的最大利润是（    ） A．1568元 B．1518 元 C．1368 元 D．50元 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（   ） A．25元 B．20元 C．30元 D．40元 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润(万元)与销售量(辆)之间分别满足、．若该公司在甲、乙两地共销售辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为 万元． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件． (1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【题型四】实际问题中的抛物线形轨迹问题 【例4】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，抛物线的表达式为，沿此抛物线篮球可准确落入篮圈．求篮圈中心到地面的距离为多少米？ A．3.5 B．1.5 C． D．3.05 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）在体育课上，小颖站在操场上的O点练习掷实心球，发现若不考虑空气阻力，实心球的飞行路线是一条抛物线．如图，已知实心球出手时的高度米，当飞行到与点O的水平距离为米时达到最大高度米，则小颖这次实心球训练的成绩为 米（即的长度）． 【变式3】（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，在水池中心点处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点在同一水平面．安装师傅进行了调试，记录了三次数据：第一次，喷头高时，水柱落点距点；第二次，喷头高时，水柱落点距点．第三次，喷头高时，水柱落点距点． (1)根据上述数据，求该抛物线表达式中的值； (2)若记第一次调试时，抛物线形水柱距离水平面的最大高度为，记第二次调试时，抛物线形水柱距离水面的最大高度为，在某次调试中，抛物线形水柱距离水面的最大高度为，若，则喷头的高度为___________． 【题型五】实际问题中的拱桥形问题 【例5】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，当水面上升时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·天津宁河·阶段练习）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面，水面宽为．如果水面宽度为，则水面下降 （ ） ①以拱顶（抛物线顶点）为原点建立如图 所示坐标系，则抛物线解析式为 ； ②若水面由l位置下降，水面宽度为；   ③若水面由l位置下降，水面宽度增加 ； 以上结论正确的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（24-25九年级上·河南南阳·期末）一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示现测得当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．这时，离开水面处，涵洞的宽度是 ． 【变式3】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）某公路有一个抛物线形状的隧道，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点．（长度单位：） (1)求该隧道截面的最大跨度（即的长度）是 米． (2)该隧道为双向车道，现有一辆货运卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某同学在实心球训练时，某一次实心球飞行轨迹呈抛物线型，其实心球飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则此次该同学实心球训练的成绩为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为（    ）    A．1 B． C．2 D．4 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）弗里热是2024年巴黎夏季奥运会和残奥会的吉祥物．某特许经销店销售一种弗里热造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件．若该商店销售这种玩偶每天获得的利润为w元，则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·天津北辰·阶段练习）某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（24-25九年级上·山东威海·期中）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨2元，每天销量减少20个．将纪念品的销售单价定为 元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大． 6．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，有一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面1米时，宽10米，水位再下降3米时为水面，则这时水面宽度为 米． 7．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，综合实践小组的同学们研究了某草坪喷灌系统的设计，发现喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线（其中为垂直高度，为水平距离，单位：m），则该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离为 m． 8．（21-22九年级上·山东德州·阶段练习）如图，线段，点是上一点，点、是线段的三等分点，分别以、、、为边作正方形，则 时，四个正方形的面积之和最小． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是 ． 三、解答题 10．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，拱顶到水面的距离为． (1)请求出抛物线的表达式； (2)一艘轮船（横截面可看成矩形）装满货物后的宽度为，高为，为保证通航安全，船顶离拱桥至少要留的距离，试判断正常水位时货船能安全通过拱矫吗？请说明理由． 11．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，某饲养员想用长为的栅栏，并借助一段围墙围成一个矩形鸡场，在边上留一个宽为的门（门不需要栅栏），已知围墙的长度为． (1)当为多少米时，能围成一个面积为的鸡场？ (2)求鸡场能围成的最大面积． 12．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出400个，调查表明：该台灯的售价不超过50元（售价为整数），台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x元． (1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出 个台灯（用含x的代数式表示）； (2)为了实现平均每月5250元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ (3)台灯售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少元？ 13．（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）掷实心球是高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分.该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$