第05讲 二次函数与一元二次方程（知识清单+3必考题型）考试满分全攻略同步备考系列-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

第05讲 二次函数与一元二次方程 题型梳理 题型方法 题型一 用二次函数解一元二次方程 题型二 用二次函数求一元二次方程的近似解 题型三 用二次函数解不等式 知识清单 知识点01二次函数与一元二次方程的关系（重点） 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点02二次函数与一元二次不等式的关系（拓展） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 题型方法 【题型一】用二次函数解一元二次方程 【例1】（24-25九年级上·河南安阳·期中）若二次函数的图象与x轴相交于，两点，则一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，根据二次函数与轴的交点的横坐标即为对应的方程的解，即可解答，解题的关键是掌握二次函数与轴的交点与一元二次方程的关系． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴相交于，两点， ∴一元二次方程的解为，， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是求二次函数图象与x轴的交点坐标和求一元二次方程的根，先求出m的值，然后把m代入，并解方程即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为， ∴， ∴， ∴化简为， 解得，， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）已知二次函数的图象与坐标轴恰有两个交点，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 根据二次函数的图象与坐标轴恰有两个交点，存在种情况，分类讨论：①当时，可得二次函数与坐标轴有两个交点，符合题意；②当时，则，可得的值，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象与坐标轴恰有两个交点， ①当时，二次函数与轴有两个交点，即，，符合题意； ②当时，当时，，即二次函数的图象与轴交于点， 二次函数的图象与与轴必有一个交点， ， 解得． 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 【变式3】（24-25九年级上·广西崇左·期中）已知二次函数（是常数）． (1)若该二次函数图象与轴没有交点，求的取值范围； (2)若该二次函数图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，解一元二次方程，理解二次函数与轴没有交点的含义，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据函数图象与轴没有交点，得到，求不等式的解集即可； （2）根据函数图象与轴的一个交点为，把点代入得到，再根据解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解： 函数图象与轴没有交点， ， 即， ； （2）解：函数图象与轴的一个交点为， ， 解得， 一元二次方程为， 解得，． 【题型二】用二次函数求一元二次方程的近似解 【例2】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： ．．． ．．． ．．． ．．． 则根据以上信息可判断，关于的一元二次方程的一个根的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数自变量与函数值的变化情况是解题的关键． 根据自变量与函数值的情况判定即可． 【详解】解：∵时，，时，， ∴关于的一元二次方程的一个根的取值范围是， 故选：B ． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为； ∴一元二次方程的正数解的范围是； 故选:D． 【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的解的范围是 ．（两相邻整数之间） … 0 1 … … 1 2 1 … 【答案】或 【分析】本题考查图像法求一元二次方程的解，解题的关键是理解函数和方程的关系．据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴根据函数的连续性可得在之间，存在一个数，使得， ∵和的函数值相等， ∴对称轴为：， ∴根据对称性可得：在之间，也存在一个数，使得， ∴一元二次方程的解的范围是或， 故答案为：或． 【变式3】．（23-24九年级上·全国·单元测试）利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试． 【答案】，． 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．建立平面直角坐标系，根据网格结构作出函数和的图象，然后找出两函数图象的交点坐标，从而得解． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示： 由图可知，交点坐标为，， 所以一元二次方程的近似根为，． 【题型三】用二次函数解不等式 【例3】（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式，根据二次函数的图象与直线的交点坐标即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线， ∵直线与二次函数图象的交点坐标为，，且，即， ∴或， 故答案为：或． 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数的图象如图所示，图象经过，最高点，对称轴是．根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根是？ (2)不等式的解集是？ (3)若方程有两个实数根，则的取值范围是？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与轴的交点问题，一元二次方程与二次函数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据抛物线的对称性得二次函数与轴的另一个交点坐标是，即可作答． （2）运用数形结合思想，得出当时，则的取值范围为，即可作答． （3）结合图象的开口方向以及最高点的纵坐标，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，对称轴是， 则， ∴二次函数与轴的另一个交点坐标是， ∴方程的两个根是，； （2）解：由图课得出二次函数图象的开口向下， 由（1）得二次函数与轴的交点坐标是和， ∴当时，则的取值范围为， ∴不等式的解集是． （3）解：∵二次函数的图象的最高点，且图象开口向下 ∴当方程有两个实数根，则的取值范围是． 【变式3】（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)抛物线与轴的另一个交点坐标：______； (2)不等式的解是______； (3)随的增大而减小的自变量的取值范围是______； (4)求出抛物线的解析式及顶点坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)，顶点坐标为 【分析】题目主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． （1）根据函数图象及对称轴即可求解； （2）结合函数图象及（1）中交点即可得出结果； （3）根据函数图象即可得出结果； （4）设抛物线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后化为顶点式即可求解． 【详解】（1）解：依题意得抛物线的对称轴为，与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 故答案为：； （2）抛物线与轴的两个交点坐标为， 不等式的解是； 故答案为：； （3）抛物线的对称轴为， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； 故答案为：； （4）依题意得抛物线与坐标轴的三个交点坐标为，，， 设抛物线的解析式为， 把三个点的坐标代入其中得， 解之得， ， 顶点坐标为． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级下·海南儋州·阶段练习）已知二次函数与轴只有唯一的一个交点，则一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点情况、根的判别式以及二次函数的性质，解题关键是牢记“当时，抛物线与轴有个交点；当时，抛物线与轴有个交点；当时，抛物线与轴没有交点”，根据抛物线与轴的交点情况的含义判断即可． 【详解】解： ∵二次函数与轴只有唯一的一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）二次函数的图象与轴的交点为和，且，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与轴的交点为和，且，可得对称轴直线，从而得出；根据抛物线与x轴有两个交点，从而得出，可得出；根据，，得出时，，从而得出；当时和时两种情况可以判断D． 本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，能够从函数图象获取信息，结合函数解析式、判别式、对称轴的性质解题是关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点为和，且， ∴，， ∴，故A错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故B错误； ∵，， ∴当时，，即， ∴，故C正确； 当时，，即； 当时，，即；故D错误． 故选：C． 3．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定当时，在和之间，再根据对称性得到当时，还在和之间，据此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴观察表格可知，当时，在和之间， 根据二次函数的对称性可知，当时，还在和之间， 故选：D． 4．（24-25九年级上·江西上饶·期末）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为，正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与不等式，根据抛物线与x轴没有交点可判断可判断①；根据抛物线的开口方向得到，结合可判断②；分别求当时，当时，两式相减得即可判断③；将不等式变形为：，令，根据直线与抛物线的图象交于点和，进而可判断④；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴没有交点， ，则①错误； 抛物线的开口向上， ， 由图得：抛物线的对称轴为：， ，故②正确； 当时，， 当时，， ∴两式相减得，即，故③正确； 不等式变形为：， 令，如图， 由图象得：直线与抛物线的图象交于点和， 不等式的解集为，故④正确， 则正确的个数有3个， 故选：D． 5．（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（   ） A． B．（为任意实数） C． D．关于的方程无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质，正确的应用二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与轴的交点情况可对B进行判断；时，，可对C进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对D进行判断． 【详解】解：A．抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， ，故A正确，不符合同意； B．抛物线的对称轴， 时，函数值最大， ，故B正确，不符合同意； C．抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间， 抛物线与轴的另一个交点在和之间， 时，， 即， ， ，故C错误，符合题意； D．抛物线开口向下，顶点为， 函数有最大值， 抛物线与直线无交点， 一元二次方程无实数根，故D正确，不符合同意． 故选：C． 二、填空题 6．（22-23九年级上·广西河池·期中）若函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与二次函数图象与轴的交点个数关系是解题的关键． 【详解】解：函数的图象与轴有两个交点， 令，则， ∴， 解得， 故答案为：． 7．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了图象法求不等式的解集．根据函数图象可知直线在抛物线上方时，取值范围，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得直线在抛物线上方时，， 即的解集为， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似解，根据表格中的数据计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知：当时，且当时， 一元二次方程的一个近似解的范围是 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； （3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·广西河池·期中）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定b，的符号； (2)求证：； (3)当x取何值时，，当x取何值时． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)当时，；当或时，． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数和x轴交点问题，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系． （1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定的符号； （2）根据图象和的函数值确定与0的关系； （3）根据抛物线在x轴上方时；抛物线在x轴下方时求解即可． 【详解】（1）∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴； （2）证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为， ∴当时，； （3）根据图象可知， 当时，；当或时，． 13．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）已知和是关于x的一元二次方程的两个实数根，二次函数图像与y轴交点的纵坐标为6． (1)求该二次函数的表达式及顶点坐标； (2)若点M、N是二次函数图像上的两点，请比较p与q的大小； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，二次函数图像与性质， （1）先设二次函数的交点式，再将点B坐标代入即可得出答案； （2）根据两个点的横坐标与对称轴的的大小关系，即可判断答案； （3）求出时x的值，再根据二次函数的增减性得出答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式是， ∵抛物线与y轴的交点的纵坐标为6， ∴抛物线经过点， 即， 解得：， ∴抛物线的解析式是， 则，顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，离对称轴越远函数值越小. ∵，， ∴， ∴； （3）解：当时，， 解得． 当时，． 14．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，直线与坐标轴分别交于B，C两点，其中点坐标，抛物线与直线交于，两点． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)直接写出关于不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由直线经过，可得，求出b可得直线解析式，从而可得B，再代入二次函数的解析式，最后令，从而求得A的坐标； （2）依据题意，由，从而，则关于x不等式的解集可以看作在的图象上方部分及相交的对应的自变量的取值范围，最后结合图象，即可判断得解． 【详解】（1）直线经过， ∴， ， 直线， 令，则， ∴直线与轴交点． 抛物线经过， ， ∴， 抛物线解析式：， 令， 解得， ． （2）由题意，∵， ∴， ∴关于x不等式的解集与不等式的解集相同． ∴关于x不等式的解集可以看作在的图象上方部分及相交的对应的自变量的取值范围． ∴结合图象可得，或． 15．（24-25九年级下·福建福州·期中）已知函数图象上有一点， (1)若该函数图象与轴有唯一交点，且，求证：； (2)若点也在该函数图象上（与点不重合），利用轴对称的定义证明：函数与函数的图象关于轴对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴交点问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将，，代入得到，然后根据该函数图象与轴有唯一交点得到，得到，然后代入求解即可； （2）首先判断出函数与函数的图象都开口向上，形状相同，然后判断出两个函数的对称轴关于y轴对称，进而证明即可． 【详解】（1）∵函数图象上有一点，， ∴ ∵该函数图象与轴有唯一交点 ∴ ∴ ∴将代入得， 整理得， ∴ ∴； （2）∵函数与函数的二次项系数都为1 ∴都开口向上，形状相同 ∵点也在函数图象上（与点不重合）， ∴点和点关于对称轴对称 ∴ ∴ ∵函数的图象的对称轴为直线 ∴函数与函数的图象的对称轴关于y轴对称 ∴函数与函数的图象关于轴对称． 16．（24-25九年级上·北京东城·期中）已知二次函数图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)当时，关于x的一元二次方程 有实根，则t的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意，可利用待定系数法，将点的坐标代入解析式，即可求该二次函数解析式； （2）根据二次函数的图像和性质，利用函数值等于的两点得横坐标，即可求解； （3）根据题意，关于x的一元二次方程 有实根，等价于二次函数与直线有交点，故可求得时，函数值得范围，即是参数t的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，二次函数的图像过点和 ， 所以可设二次函数的解析式为， 将代入得， 解得， 所以二次函数的解析式为； （2）由表格数据可知，二次函数在时，取得最小值， 故该二次函数开口向上，对称轴为直线， 又函数图像过点， 所以当时，或； （3）由（1）知，函数解析式为， 所以当时，， 又函数图像开口向上，过点，对称轴为直线， 故该二次函数在时，随的增大而减小； 在时，随的增大而增大； 所以当时，函数取得最小值， 所以当时，关于x的一元二次方程 有实根， 即二次函数与直线有交点， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图像和性质，含参数的一元二次方程有实根转化成函数图像与直线的交点问题，熟练掌握二次函数的定义，图像和性质是解题的关键． 17．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，二次函数经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当________时，方程； ②不等式的解集为 ． 【答案】(1) (2)①1；②且 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与x轴的交点． （1）设交点式，然后把C点坐标代入求出a即可； （2）①先利用配方法得到，则当时，有最小值；②写出函数图象在轴下方所对应的自变量的范围，并且自变量不取顶点的横坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为，即； （2）解：①， 当时，有最小值， 即时，方程， 故答案为：1； ②不等式的解集为且． 故答案为：且． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次函数与一元二次方程 题型梳理 题型方法 题型一 用二次函数解一元二次方程 题型二 用二次函数求一元二次方程的近似解 题型三 用二次函数解不等式 知识清单 知识点01二次函数与一元二次方程的关系（重点） 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点02二次函数与一元二次不等式的关系（拓展） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 题型方法 【题型一】用二次函数解一元二次方程 【例1】（24-25九年级上·河南安阳·期中）若二次函数的图象与x轴相交于，两点，则一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）已知二次函数的图象与坐标轴恰有两个交点，则 ． 【变式3】（24-25九年级上·广西崇左·期中）已知二次函数（是常数）． (1)若该二次函数图象与轴没有交点，求的取值范围； (2)若该二次函数图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解． 【题型二】用二次函数求一元二次方程的近似解 【例2】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： ．．． ．．． ．．． ．．． 则根据以上信息可判断，关于的一元二次方程的一个根的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的解的范围是 ．（两相邻整数之间） … 0 1 … … 1 2 1 … 【变式3】．（23-24九年级上·全国·单元测试）利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试． 【题型三】用二次函数解不等式 【例3】（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为 ． 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数的图象如图所示，图象经过，最高点，对称轴是．根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根是？ (2)不等式的解集是？ (3)若方程有两个实数根，则的取值范围是？ 【变式3】（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)抛物线与轴的另一个交点坐标：______； (2)不等式的解是______； (3)随的增大而减小的自变量的取值范围是______； (4)求出抛物线的解析式及顶点坐标． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级下·海南儋州·阶段练习）已知二次函数与轴只有唯一的一个交点，则一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）二次函数的图象与轴的交点为和，且，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 4．（24-25九年级上·江西上饶·期末）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为，正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（   ） A． B．（为任意实数） C． D．关于的方程无实数根 二、填空题 6．（22-23九年级上·广西河池·期中）若函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 7．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ． 8．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为 ． 9．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是 10．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 12．（23-24九年级上·广西河池·期中）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定b，的符号； (2)求证：； (3)当x取何值时，，当x取何值时． 13．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）已知和是关于x的一元二次方程的两个实数根，二次函数图像与y轴交点的纵坐标为6． (1)求该二次函数的表达式及顶点坐标； (2)若点M、N是二次函数图像上的两点，请比较p与q的大小； (3)直接写出不等式的解集． 14．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，直线与坐标轴分别交于B，C两点，其中点坐标，抛物线与直线交于，两点． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)直接写出关于不等式的解集． 15．（24-25九年级下·福建福州·期中）已知函数图象上有一点， (1)若该函数图象与轴有唯一交点，且，求证：； (2)若点也在该函数图象上（与点不重合），利用轴对称的定义证明：函数与函数的图象关于轴对称． 16．（24-25九年级上·北京东城·期中）已知二次函数图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)当时，关于x的一元二次方程 有实根，则t的取值范围是 ． 17．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，二次函数经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当________时，方程； ②不等式的解集为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$