3.4.1 圆周角定理及推论1 课件 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

3.4.1 圆周角定理及推论1 1.圆周角的定义:顶点在　 　,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角叫做圆周角.  2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的　 　. [例1-1] 下列图形中,∠BAC是圆周角的是( ) 探究点一　圆周角的定义和圆周角定理 【新知探究】 圆上 一半 B [例1-2] (2024南充)如图所示,AB是☉O的直径,位于AB两侧的点C,D均在☉O上,∠BOC=30°,则∠ADC=　 　度.  75 30° 【新知巩固】 1.(2023云南)如图所示,AB是☉O的直径,C是☉O上一点.若∠BOC= 66°,则∠A等于( ) A.66° B.33° C.24° D.30° B D D A 5.(2022永州)如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠ADC=30°,则∠BOC的度数为　 　.  120° 6.(2024成都模拟)如图所示,AB是☉O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交☉O于点D,点E在☉O上. (1)若∠AOD=62°,求∠DEB的度数; (2)若OC=6,OA=10,求AB的长. (2)∵OD⊥AB,∴AC=BC. ∵AC2=OA2-OC2,∴AC2=102-62. ∴AC=8.∴AB=2AC=16. 同弧或等弧所对的圆周角　 　.  [例2-1] (2022滨州)如图所示,在☉O中,弦AB,CD相交于点P,若∠A= 48°,∠APD=80°,则∠B的大小为( ) A.32° B.42° C.52° D.62° 探究点二　圆周角定理的推论1 【新知探究】 相等 A B 圆周角定理的推论1需注意两点: (1)若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论不成立; (2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”. 【新知巩固】 50° (2)若∠BDC=20°,求∠BEC的度数. 谢谢观赏！ 16 [例1-3] (2022湖州)如图所示,已知AB是☉O的弦,∠AOB=120°,OC⊥AB,垂足为C,OC的延长线交☉O于点D.若∠APD是所对的圆周 角,则∠APD的度数是　 　. 2.(2023杭州)如图所示,在☉O中,半径OA,OB互相垂直,点C在上.若∠ABC=19°,则∠BAC等于( ) A.23° B.24° C.25° D.26° 3.如图所示,AC为☉O的弦,点B在上,若∠CBO=58°,∠CAO=20°,则∠AOB的度数为( ) A.38° B.56° C.66° D.76° 4.(2022陕西改编)如图所示,△ABC的三个顶点都在☉O上,∠C=46°,连接OA,则∠OAB的度数为( ) A.44° B.45° C.54° D.67° 解:(1)∵AB是☉O的一条弦,OD⊥AB, ∴=.∴∠DEB=∠AOD=×62°=31°. [例2-2] (2023凉山)如图所示,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC= 2,则OC的长为( ) A.1 B.2 C.2 D.4 [例2-3] 如图所示,E是的中点,点A在☉O上,AE交BC于点D,连接AB,AC.求证:BE2=AE·DE. 证明:∵E是的中点,∴∠BAE=∠CAE. ∵∠EBC=∠EAC,∴∠EBC=∠BAE. ∵∠EBD=∠EAB,∠BED=∠AEB, ∴△EBD∽△EAB.∴BE∶AE=DE∶BE. ∴BE2=AE·DE. 1.如图所示,A,B,C三点都在☉O上,在△ABC中,∠ABC=70°,∠ACB= 30°,D是的中点,连接DB,DC,则∠DBC的度数为　 　. 解:∵=,∠C=70°, ∴∠B=∠C=70°. ∴∠A=180°-∠B-∠C=40°, 即∠A的度数为40°. 2.如图所示,在☉O中,=,∠C=70°,求∠A的度数. (1)证明:∵==, ∴+=+. ∴=.∴AC=BD. 3.如图所示,在☉O中,弦AC,BD相交于点E,==,连接CD. (1)求证:AC=BD; (2)解:如图所示,连接AD, ∵∠BDC=20°,==, ∴∠CAD=∠BDA=∠BDC=20°. ∵∠AED+∠CAD+∠BDA=180°, ∴∠AED=180°-∠CAD-∠BDA=180°-20°-20°=140°. ∴∠BEC=∠AED=140°. $$