22.2 相似三角形的判定 课件-2025-2026学年沪科版数学九年级上册

22.2相似三角形的判定 学习目标 1. 了解相似三角形的概念. 2.理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明。 3.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算。(重点、难点) 复习导入 两个边数相同的多边形，如果他们的对应角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形. 类比 对应角分别相等，并且边也成比例的两个三角形叫作相似三角形 下面我们一起进行相似三角形的学习. 1、相似多边形的对应角 ，对应边 ，对应边的比叫做 . 复习回顾 2、如图，△ABC 和 △A′B′C′ 相似需要满足什么条件？ 相等 成比例 相似比 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △ABC与△A′B′C′ 相似记作“△ABC∽△A′B′C′”. 相似三角形定义：我们把三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 对应角……？ 对应边……？ 问题1 根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？ 知识回顾 如图, △ABC 与△A′B′C′ 相似, 记作“△ABC∽△A′B′C′”, 读作“△ABC 相似于△A′B′C′”. A B C A′ B′ C′ 新课探究 A B C A′ B′ C′ 对于△ABC∽△A′B′C′ ,根据相似形的定义，应有 ∠A=∠___, ∠B=∠___, ∠C=∠___, A′ B′ C′ A B C A′ B′ C′ 设△ABC与△A′B′C′ 的相似比为 k1 , △A′B′C′与△ABC 的相似比为 k2 . 当且仅当这两个三角形全等时，才有 k1 = k2 = 1. 1.两个全等三角形一定相似吗？为什么？ 思考 2.两个直角三角形一定相似吗？为什么？两个等腰直角三角形呢？ 3.两个等腰三角形一定相似吗？为什么？两个等边三角形呢？ 探究新知 如图，△ABC 和 △A′B′C′ 相似需要满足什么条件？ A B C A′ B′ C′ 对应角分别相等，对应边成比例 即∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′， 则，△ABC与△A′B′C′相似，且相似比为k. 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △ABC与△A′B′C′ 相似记作“△ABC∽△A′B′C′”. 归纳总结 A B C A′ B′ C′ 对应角分别相等，且边也成比例的两个三角形相似. 符号语言： 在△ABC和△A'B'C'中， ∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′， ∴△ABC与∽A′B′C′相似 归纳总结 【注意】（1）当边的比值等于1时，相似三角形是全等三角形.即相似不一定全等，但全等一定相似. （2）相似三角形的定义既是最基本的判定方法，也是最本质、最重要的性质. （3）在书写两三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即△ABC∽△A'B'C'，则说明A的对应点是A'，B的对应点是B'，C的对应点是C'. 相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 简记为：两角分别相等的两个三角形相似. 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例, 并且夹角相等,那么这两个三角形相似. 相似三角形判定定理2 简记为:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例, 那么这两个三角形相似. 相似三角形判定定理3 可以简单说成: 三边成比例的两个三角形相似. 例1 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的 垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F. 求证：△ABF∽△CAF. 分析： 要证△ABF∽△CAF， ∠AFB是公共角，只要再 找一对角相等即可。 4 公共角 ∠3＝∠B＋∠1， ∠FAD＝∠4＋∠2， ∠3＝∠FAD， ∠1＝∠2， ∠B＝∠4 △ABF∽△CAF ∵EF垂直平分AD ∴AF＝DF 例1 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的 垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F. 求证：△ABF∽△CAF. 思考：由△ABF∽△CAF可以得到什么？ 从而∠FAD＝∠3 ∵∠B＝∠3－∠1 ∠4＝∠FAD－∠2 ∠1＝∠2 ∴∠B＝∠4 又∵∠BFA＝∠AFC ∴△ABF∽△CAF 证明：∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠1＝∠2 变式练习：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F，求证： 【注意】解答中不能写成“线段EF是AD的垂直平分线，”因为EF是一条线段，而线段的垂直平分线是一条直线. 【分析】连接AF，则AF=FD，原式变为 而要证 　 ，可以通过证明△ACF∽△BAF得到. ∵EF垂直平分AD ∴AF＝DF 从而∠FAD＝∠3 ∵∠B＝∠3－∠1 ∠4＝∠FAD－∠2 ∠1＝∠2 ∴∠B＝∠4 又∵∠BFA＝∠AFC ∴△ABF∽△CAF 证明：连结AF ∴∠1＝∠2 变式练习：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线， AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F. 求证： 1 2 3 4 于是 即 因此 ∵AD是∠BAC的平分线 例2如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP. 分析：要证△ADQ与△QCP相似，已知这两个三角形分别有一个角为直角，只需证明夹这对直角的两组对应边成比例即可． 思考：由△ADQ∽△QCP可以得到什么？ 夹角的顶点 证明：设正方形ABCD的边长为4a， 则AD＝CD＝BC＝4a ∵Q是CD的中点，BP＝3PC， ∴DQ＝CQ＝ CD＝2a，PC＝a. 　　　 例2如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP. 又∵∠D＝∠C＝90°， ∴△ADQ∽△QCP 设正方形ABCD的边长为4a， 则AD＝CD＝BC＝4a， ∵Q是CD的中点，BP＝3PC， ∴DQ＝CQ＝ CD＝2a，PC＝a. 　　　又∵∠D＝∠C＝90°， ∴△ADQ∽△QCP. 从而 变式练习2如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． 求证： 是直角三角形 1 2 3 因此 是直角三角形 又 即 证明：连结AP 例3如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF， 求证：△DEF∽△ABC. 证明：∵AB∥DE ∴△ODE∽△OAB 同理可得： ∴△DEF∽△ABC $$