期末复习专题03导数在研究函数中的应用（6考点清单+12考点题型）2024-2025学年高二下学期数学期末复习（人教A版2019选必二 全国通用）

期末复习专题03 导数在研究函数中的应用 内容导图预览 考点清单总结 考点清单1 导数的相关概念 一、平均速度 求物体运动的平均速度的主要步骤 （1）计算位移的改变量s（t2）-s（t1）. （2）计算时间的改变量t2-t1. （3）得平均速度= 二、瞬时速度 1.瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 2.瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t=t0时的瞬时速度. 3.瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y=h（t），则物体在t0时刻的瞬时速度为. 三、导数的概念 1.平均变化率 对于函数y=f（x），设自变量x从x0变化到x0+Δx，相应地，函数值y就从f（x0）变化到f（x0+Δx）.这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.我们把比值，即=叫做函数y=f（x）从x0到x0+Δx的平均变化率. 2.导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y=f（x）在x=x0处可导，并把这个确定的值叫做y=f（x）在x=x0处的导数（也称为瞬时变化率），记作f'（x0）或y'，即f'（x0）==. 3.导数的几何意义 函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率.也就是说，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率是f'（x0）.相应地，切线方程为y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）. 四、导函数（导数） 导函数的定义 从求函数f（x）在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'（x0）是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'（x）就是x的函数，我们称它为y=f（x）的导函数（简称导数）.y=f（x）的导函数记作f'（x）或y'，即f'（x）=y'=. 考点清单2 基本初等函数的导数公式 一、基本初等函数的求导公式 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f（x）=c（c为常数） f'（x）=0 f（x）=xα，（α∈R，且α≠0） f'（x）=αxα-1 f（x）=sin x f'（x）=cos x f（x）=cos x f'（x）=-sin x f（x）=ax（a>0，且a≠1） f'（x）=axln a f（x）=ex f'（x）=ex f（x）=logax（a>0，且a≠1） f'（x）= f（x）=ln x f'（x）= 二、基本初等函数的求导法则 1.f（x）±g（x）的导数 两个函数和或差的导数：［f（x）±g（x）］'=f'（x）±g'（x）. 注意点：推广［f1（x）±f2（x）±…±fn（x）］'=f'1（x）±f'2（x）±…±f'n（x）. 2.f（x）g（x）和的导数 （1）［f（x）g（x）］'=f'（x）g（x）+f（x）g'（x），特别地，［cf（x）］'=cf'（x）. （2）'=（g（x）≠0）. （3）注意点：对于（logax）'=，我们可以先换底再求导：（logax）'='=·（ln x）'=. 三、利用导数研究曲线的切线方程 （1）在某点处的切线方程的步骤 （2）求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤 考点清单3 复合函数 一、复合函数的概念 一般地，对于两个函数y=f（u）和u=g（x），如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，记作y=f（g（x））. 二、复合函数的导数 1.复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y=f（u）和u=g（x）复合而成的函数y=f（g（x）），它的导数与函数y=f（u），u=g（x）的导数间的关系为y'x=y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 2.注意点：（1）中间变量的选择应是基本初等函数的结构；（2）求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；（3）求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导. 3.求复合函数的导数的步骤 考点清单4 利用导数求函数单调性 一、函数的单调性与导数的关系 定义在区间（a，b）上的函数y=f（x）： f'（x）的正负 f（x）的单调性 f'（x）>0 单调递增 f'（x）<0 单调递减 注意点：（1）在某个区间上恒有f'（x）=0，f（x）是常函数；（2）原函数的图象只看增（减）的变化，导函数的图象只看正（负）变化. 二、利用导数求函数的单调区间 利用导数求函数的单调区间的一般步骤 （1）确定函数y=f（x）的定义域. （2）求出导数f'（x）的零点. （3）用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各区间上的正负，由此得出函数y=f（x）的单调区间 三、求含参数的函数的单调区间 （1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. （2）划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点. 四、由导数的信息画函数的大致图象 （1）由导函数图象画原函数图象的依据：根据f'（x）>0，则f（x）单调递增，f'（x）<0，则f（x）单调递减. （2）由原函数图象画导函数图象的依据： 若f（x）单调递增，则f'（x）的图象一定在x轴的上方；若f（x）单调递减，则f'（x）的图象一定在x轴的下方；若f（x）是常函数，则f'（x）=0. 考点清单5 利用导数求函数极值 一、求函数的极值 极值点与极值的概念 （1）极小值点与极小值 函数y=f（x）在点x=a处的函数值f（a）比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f'（a）=0；而且在点x=a附近的左侧f'（x）<0，右侧f'（x）>0，则把a叫做函数y=f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极小值. （2）极大值点与极大值 函数y=f（x）在点x=b处的函数值f（b）比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f'（b）=0；而且在点x=b附近的左侧f'（x）>0，右侧f'（x）<0，则把b叫做函数y=f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y=f（x）的极大值. （3）极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 注意点：（1）极值点不是点；（2）极值是函数的局部性质；（3）函数的极值不唯一；（4）极大值与极小值两者的大小不确定；（5）极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；（6）若f'（x0）=0，则x0不一定是极值点，即f'（x0）=0是f（x）在x=x0处取到极值的必要不充分条件，函数y=f'（x）的变号零点，才是函数的极值点. 二、含参数的函数的极值问题 一般地，遇到题目中含有参数的问题时，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类讨论时做到分类标准明确，不重不漏. 三、根据极值求参数的值或范围 已知函数的极值求参数的方法 （1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号. 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件. （2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f'（x）≥0或f'（x）≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立. 考点清单6 利用导数求函数最值 一、极值与最值的关系 函数最值的定义 （1）一般地，如果在区间［a，b］上函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. （2）对于函数f（x），给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f（x）≥f（x0），则称f（x0）为函数f（x）在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f（x）≤f（x0），则称f（x0）为函数f（x）在区间I上的最大值. 注意点：（1）开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；（2）函数f（x）在闭区间［a，b］上连续是f（x）在闭区间［a，b］上有最大值和最小值的充分不必要条件. （3）求函数y=f（x）在区间［a，b］上的最值的步骤 ①求在（a，b）内方程f'（x）=0的所有根； ②计算（1）中所有根对应的函数值； ③把②中计算的函数值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 二、求含参数的函数的最值 含参数的函数最值问题的两类情况 （1）能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题. （2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值. 三、根据最值求参数的值或范围 反思感悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程（不等式）解决问题. 考点题型·巩新知 考点一 导数的概念与意义及基本运算 1．设函数满足，则（   ） A． B．3 C． D． 2．函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 3．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 考点二 利用导数解决切线的相关问题 7．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 8．曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 9．设为实数，则直线能作为下列曲线的切线的是（    ） A． B． C． D． 10．过点作曲线的切线的斜率为 ． 11．曲线上的点到直线的最短距离是 ． 12．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 考点三 求不含参函数的单调性 13．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 14．函数的单调递减区间为 ． 15．已知函数，，则该函数的严格增区间是 . 16．已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 17．已知函数 (1)当 时，求函数 的单调递增区间； (2)若函数 在 处的切线的斜率为，求实数 a 的值. 考点四 已知单调性求参数 18．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 19．已知是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．已知函数在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ． 24．若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是 . 25．若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是 ． 考点五 已知单调性求参数（需构造函数） 26．设，且，其中是自然常数，则（    ） A． B． C． D． 27．已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 28．已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．已知函数，若对任意的，，当时，都有，则实数的取值范围是 ． 30．已知对任意，且当时，都有，则的取值范围是 ． 考点六 含参函数的单调性讨论 31．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 32．设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． 33．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 34．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，，讨论函数的单调性. 35．已知函数， (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 36．已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，令函数，证明：． 考点七 函数与导数的图像关系 37．已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（   ） A．B．C． D． 38．已知函数在定义域内可导，的大致图象如图所示，则其导函数的大致图象可能为（ ） A． B． C． D． 39．已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（   ）    A． B． C． D． 40．已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 41．已知是函数的导函数，且的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 42．已知上的可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为 考点八 函数图像与极值的关系 43．已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A．在上单调递减 B．在处取得极小值 C．有2个极值点 D．有极大值，没有极小值 44．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．函数在处取得极小值 B．函数在处取得极大值 C．函数在上单调递增 D．函数的递减区间为 45．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数的极值点为c，e C．函数的极大值为 D．函数在上递增，在上递减 46．已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值点 D．曲线在点处的切线斜率小于零 47．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的个数是（    ） ①函数在上单调递减；②函数在上单调递减；③函数在处取得极小值；④函数在处取得极大值. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 48．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数恰有3个极值点 B．函数的单调递增区间为 C．函数的单调递减区间为 D．是函数的极小值点 考点九 函数极值的求解 49．已知函数，函数在处的切线方程为. (1)求的值； (2)求函数的极值. 50．已知函数． (1)求函数的单调区间和极值． (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 51．已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)当时，求函数的极值． 52．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)求的极值． 53．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值． 考点十 已知极值求参数 54．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 55．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 56．已知函数在处取得极大值，则实数的值为 ． 57．函数在时有极小值0，则 ． 58．已知函数若，则函数的极小值点是 ；若函数在上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为 ． 考点十一 求函数的最值 59．已知函数，且满足 (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 60．已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数在上的最大值和最小值. 61．已知函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为. (1)求； (2)求在区间上的最大值和最小值. 62．已知函数的图象在点处的切线与直线平行． (1)求的值； (2)求函数在区间上的极值与最值． 63．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 考点十二 已知函数最值求参数 64．若函数有最大值，则实数的值是（    ） A．1 B． C．4 D． 65．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 66．已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 67．若函数的最小值为1，则实数的取值范围为 . 68．已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习专题03 导数在研究函数中的应用 内容导图预览 考点清单总结 考点清单1 导数的相关概念 一、平均速度 求物体运动的平均速度的主要步骤 （1）计算位移的改变量s（t2）-s（t1）. （2）计算时间的改变量t2-t1. （3）得平均速度= 二、瞬时速度 1.瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 2.瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t=t0时的瞬时速度. 3.瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y=h（t），则物体在t0时刻的瞬时速度为. 三、导数的概念 1.平均变化率 对于函数y=f（x），设自变量x从x0变化到x0+Δx，相应地，函数值y就从f（x0）变化到f（x0+Δx）.这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.我们把比值，即=叫做函数y=f（x）从x0到x0+Δx的平均变化率. 2.导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y=f（x）在x=x0处可导，并把这个确定的值叫做y=f（x）在x=x0处的导数（也称为瞬时变化率），记作f'（x0）或y'，即f'（x0）==. 3.导数的几何意义 函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率.也就是说，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率是f'（x0）.相应地，切线方程为y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）. 四、导函数（导数） 导函数的定义 从求函数f（x）在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'（x0）是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'（x）就是x的函数，我们称它为y=f（x）的导函数（简称导数）.y=f（x）的导函数记作f'（x）或y'，即f'（x）=y'=. 考点清单2 基本初等函数的导数公式 一、基本初等函数的求导公式 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f（x）=c（c为常数） f'（x）=0 f（x）=xα，（α∈R，且α≠0） f'（x）=αxα-1 f（x）=sin x f'（x）=cos x f（x）=cos x f'（x）=-sin x f（x）=ax（a>0，且a≠1） f'（x）=axln a f（x）=ex f'（x）=ex f（x）=logax（a>0，且a≠1） f'（x）= f（x）=ln x f'（x）= 二、基本初等函数的求导法则 1.f（x）±g（x）的导数 两个函数和或差的导数：［f（x）±g（x）］'=f'（x）±g'（x）. 注意点：推广［f1（x）±f2（x）±…±fn（x）］'=f'1（x）±f'2（x）±…±f'n（x）. 2.f（x）g（x）和的导数 （1）［f（x）g（x）］'=f'（x）g（x）+f（x）g'（x），特别地，［cf（x）］'=cf'（x）. （2）'=（g（x）≠0）. （3）注意点：对于（logax）'=，我们可以先换底再求导：（logax）'='=·（ln x）'=. 三、利用导数研究曲线的切线方程 （1）在某点处的切线方程的步骤 （2）求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤 考点清单3 复合函数 一、复合函数的概念 一般地，对于两个函数y=f（u）和u=g（x），如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，记作y=f（g（x））. 二、复合函数的导数 1.复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y=f（u）和u=g（x）复合而成的函数y=f（g（x）），它的导数与函数y=f（u），u=g（x）的导数间的关系为y'x=y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 2.注意点：（1）中间变量的选择应是基本初等函数的结构；（2）求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；（3）求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导. 3.求复合函数的导数的步骤 考点清单4 利用导数求函数单调性 一、函数的单调性与导数的关系 定义在区间（a，b）上的函数y=f（x）： f'（x）的正负 f（x）的单调性 f'（x）>0 单调递增 f'（x）<0 单调递减 注意点：（1）在某个区间上恒有f'（x）=0，f（x）是常函数；（2）原函数的图象只看增（减）的变化，导函数的图象只看正（负）变化. 二、利用导数求函数的单调区间 利用导数求函数的单调区间的一般步骤 （1）确定函数y=f（x）的定义域. （2）求出导数f'（x）的零点. （3）用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各区间上的正负，由此得出函数y=f（x）的单调区间 三、求含参数的函数的单调区间 （1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. （2）划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点. 四、由导数的信息画函数的大致图象 （1）由导函数图象画原函数图象的依据：根据f'（x）>0，则f（x）单调递增，f'（x）<0，则f（x）单调递减. （2）由原函数图象画导函数图象的依据： 若f（x）单调递增，则f'（x）的图象一定在x轴的上方；若f（x）单调递减，则f'（x）的图象一定在x轴的下方；若f（x）是常函数，则f'（x）=0. 考点清单5 利用导数求函数极值 一、求函数的极值 极值点与极值的概念 （1）极小值点与极小值 函数y=f（x）在点x=a处的函数值f（a）比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f'（a）=0；而且在点x=a附近的左侧f'（x）<0，右侧f'（x）>0，则把a叫做函数y=f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极小值. （2）极大值点与极大值 函数y=f（x）在点x=b处的函数值f（b）比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f'（b）=0；而且在点x=b附近的左侧f'（x）>0，右侧f'（x）<0，则把b叫做函数y=f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y=f（x）的极大值. （3）极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 注意点：（1）极值点不是点；（2）极值是函数的局部性质；（3）函数的极值不唯一；（4）极大值与极小值两者的大小不确定；（5）极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；（6）若f'（x0）=0，则x0不一定是极值点，即f'（x0）=0是f（x）在x=x0处取到极值的必要不充分条件，函数y=f'（x）的变号零点，才是函数的极值点. 二、含参数的函数的极值问题 一般地，遇到题目中含有参数的问题时，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类讨论时做到分类标准明确，不重不漏. 三、根据极值求参数的值或范围 已知函数的极值求参数的方法 （1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号. 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件. （2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f'（x）≥0或f'（x）≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立. 考点清单6 利用导数求函数最值 一、极值与最值的关系 函数最值的定义 （1）一般地，如果在区间［a，b］上函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. （2）对于函数f（x），给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f（x）≥f（x0），则称f（x0）为函数f（x）在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f（x）≤f（x0），则称f（x0）为函数f（x）在区间I上的最大值. 注意点：（1）开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；（2）函数f（x）在闭区间［a，b］上连续是f（x）在闭区间［a，b］上有最大值和最小值的充分不必要条件. （3）求函数y=f（x）在区间［a，b］上的最值的步骤 ①求在（a，b）内方程f'（x）=0的所有根； ②计算（1）中所有根对应的函数值； ③把②中计算的函数值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 二、求含参数的函数的最值 含参数的函数最值问题的两类情况 （1）能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题. （2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值. 三、根据最值求参数的值或范围 反思感悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程（不等式）解决问题. 考点题型·巩新知 考点一 导数的概念与意义及基本运算 1．设函数满足，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的定义可求. 【详解】, 故， 故选：D. 2．函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义即可求得. 【详解】由平均变化率定义得， 故选：C 3．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用导数的几何意义，结合图象，判断求解即可． 【详解】由题图知函数是单调递增的，则函数的图象上任意一点处的导函数值都大于零，故选项D错误； 又函数的图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以，故选项A正确； 记，则直线的斜率，表示函数在区间上的平均变化率， 由函数图象知，即，故选项B错误，C正确； 故选：AC． 4．如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据图像算出函数在点处的切线，即可求出其在处的函数值与导数取值。 【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，所以， 又因为切线方程为，则切点坐标为，有， 所以. 故选：C 5．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导，计算，最后计算即可. 【详解】由有， 所以， 所以， 故选：A. 考点二 利用导数解决切线的相关问题 7．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参. 【详解】因为曲线，所以 所以在点处的切线斜率为， 直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以. 故选：B. 8．曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用切线与直线平行得到切线的斜率，再利用导数求出在点处的导数值利从而求出结果. 【详解】令则直线的斜率为 则. 故选：B. 9．设为实数，则直线能作为下列曲线的切线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对各项函数求导，进而判断是否存在，即可得答案. 【详解】A：，故无论取何值，都不可能等于2，错； B：，令，解得，所以直线能作为该曲线的切线，对； C：，令，解得，所以直线能作为该曲线的切线，对； D：，故无论取何值，都不可能等于2，错. 故选：BC 10．过点作曲线的切线的斜率为 ． 【答案】2 【分析】设切点坐标，由导数得几何意义求得切线方程，代入即可求解； 【详解】，设切点横坐标为， 故曲线在处的切线方程为l：， 将，代入，得， 解得，∴， 故答案为：2 11．曲线上的点到直线的最短距离是 ． 【答案】 【分析】求出和平行的直线和相切，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标即可得到结论. 【详解】与平行的直线和相切，则斜率为， 因为，所以， 令，解方程得，代入直线方程得切点， 则点到直线的距离就是曲线的点到直线的最短距离， 由点到直线的距离公式知， 故答案为：. 12．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 考点三 求不含参函数的单调性 13．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导函数，再根据导函数小于0得出函数的减区间即可. 【详解】，则， 由，得，所以单调递减区间是. 故选:D． 14．函数的单调递减区间为 ． 【答案】/ 【分析】先求出导函数，再根据，计算求解即可. 【详解】因为函数，定义域为， 所以， 令，所以， 的单调递减区间为. 故答案为：或. 15．已知函数，，则该函数的严格增区间是 . 【答案】 【分析】求导，利用导数求原函数的单调区间. 【详解】因为，，则对恒成立， 所以该函数的严格增区间是. 故答案为：. 16．已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为． 【分析】（1）求出，求导得到，利用导函数几何意义得到切线方程； （2）求导，解不等式得到单调区间. 【详解】（1）∵，∴， 且，∴， ∴函数在点处的切线方程为，即． （2）∵的定义域为R， ∴由（1）得． 令，解得， ∴当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 17．已知函数 (1)当 时，求函数 的单调递增区间； (2)若函数 在 处的切线的斜率为，求实数 a 的值. 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）当时，求出导函数，由导函数大于0解不等式，即得递增区间； （2）先求出，再利用导数的几何意义，由即可求得实数 a 的值. 【详解】（1）当时，，则， 由可得或， 故函数 的单调递增区间为和； （2）由求导得，， 依题意，，解得. 考点四 已知单调性求参数 18．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递减， 所以，即，则在上恒成立， 因为在上单调递减，所以，故. 故选：A. 19．已知是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，根据是上的增函数，可得在上恒成立，分离参数，从而可求得答案. 【详解】由， 得， 因为是上的增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 由于，所以，即 故选：A. 20．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，利用单调性建立不等式并求解，再分离参数求出范围. 【详解】函数，求导得， 由函数在上单调递减，得，， 则，，而恒成立，因此， 所以实数的取值范围是. 故选：B 21．已知函数在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，进而得到不等式，求出的取值范围. 【详解】，又函数的定义域是， 当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， ，解得. 故选：C 22．已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段求出函数的导函数，则恒成立，参变分离求出参数的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 当时，，则恒成立， 所以在上恒成立，则； 当时，，则恒成立， 所以在上恒成立，所以； 又，综上可得的取值范围是. 故选：B. 23．已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b的取值范围. 【详解】由求导得：， 因该函数有三个单调区间，则方程必有两相异实根， 则有，解得. 故答案为：. 24．若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数来判断函数在区间的单调性，再由分离参变量求参数的取值范围即可. 【详解】由已知求导得：， 因为函数在区间上具有单调性， 所以或在上恒成立， 则在区间上，或， 因为在上递增，在上递减， 且， 所以的最大值为，的最小值为， 所以或. 故答案为： 25．若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意求导结合函数单调性，列出不等式组即可求解. 【详解】由题意单调递增，且， 所以若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数， 则，解得. 故答案为：. 考点五 已知单调性求参数（需构造函数） 26．设，且，其中是自然常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式结构特征可变形为，进而构造函数研究其单调性，根据其单调性以及参量取值范围即可得解. 【详解】因为， 所以，即， 令，则， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以，且， 所以由即得. 故选：A. 27．已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简不等式得出函数单调性，再把单调递增转化为导数恒为正即可求出参数最值. 【详解】假设,又因为,可得, 设,,单调递增， ,恒成立, 所以,即可得. 故选：B. 28．已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，令，则在上为增函数，即在上恒成立，分离参数，利用二次函数的单调性求解最值即可. 【详解】对任意的，且，， 则，令，则， 由单调性的定义知在上为增函数，. 则在上恒成立，即， 也即在上恒成立， 记，因为的对称轴为，所以在上单调递减， 所以，所以，即实数a的取值范围为. 故选：A 29．已知函数，若对任意的，，当时，都有，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】构造函数，求导，分离参数得到在上恒成立，再构造函数，求的最值即可求解. 【详解】不等式等价于， 令， 根据题意对任意的，当时，， 所以函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 所以当时，，即在区间单调递增， 当时，，即在区间上单调递减， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 30．已知对任意，且当时，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先把转化为，设，原问题就转化成在上单调递减，然后利用在上，恒成立，分离参数，结合基本（均值）不等式，可求的取值范围. 【详解】由，且， 所以. 设，， 则原问题转化为在上单调递减. 所以在上恒成立， 即，恒成立. 因为（当且仅当即时取“”） 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题的关键是把转化为，设，原问题就转化成在上单调递减，然后利用函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围. 考点六 含参函数的单调性讨论 31．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【分析】（1）根据在点处的切线方程为即可求解； （2）由题意有，根据的范围分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即． （2）的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 32．设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式求出切线方程； （2）求的导数，根据的范围讨论导数的正负，从而得到的单调区间. 【详解】（1）当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以曲线在点处的切线方程为． （2）的定义域为． 当时，． 令，则在上单调递减，在上单调递增， 因此，的最小值为 当时，则，此时，在上单调递增， 当时，令，得． 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增 综上，当时，在上单调递增，当时， 在上单调递增， 在上单调递减． 33．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式直线方程求解即可. （2）求出导函数，根据和分类讨论，结合二次不等式求解单调区间即可. 【详解】（1）当时，函数， 得， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即切线方程为； （2）当时，，， 令，得，， 当时，， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为 当时，， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为； 综上所述，当时，的单调增区间为和，单调减区间为； 当时，的单调增区间为和，单调减区间为． 34．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，结合切点易求得切线方程； （2）将函数求导，根据参数进行分类讨论导函数的正负，即得函数的单调性. 【详解】（1），，则， 则，即切线斜率， 故切线方程为，即； （2）函数的定义域为，， ， 当时，，由，可得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，， ①当时，，当或时，， 即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减； ②当时，则对任意的，即函数在上单调递增； ③当时，， 当或时，，即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 35．已知函数， (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）代入，根据导数的几何意义求解即可. （2）求导后按与讨论求出函数的单调性. 【详解】（1）当时，，，则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 36．已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，令函数，证明：． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数判断函数单调性； （3）利用导数证明一些不等式作为准备工作，然后根据已知条件得到的表达式，即可证明相应结论. 【详解】（1）由于，故，解得或. （2）首先有. 若，则在上递减； 若，则对有， 对有. 所以在上递减，在上递增； 若，则对有， 对有. 所以在上递减，在上递增. 综上，当时，在上递减； 当时，在上递减，在上递增； 当时，在上递减，在上递增. （3）为使有意义，需要，下面的讨论默认为正数. 先证明一些结论作为准备工作： ①设，则对有，对有. 所以在上递减，在上递增，从而，. ②设，则. 所以对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故. ③设，则对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故. ④由于，故，所以. 由于，，故. 所以，即，从而. 将和结合，即得. 最后，由于，故. 所以 . 从而原命题得证. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造的恰当的函数以证明相应不等式. 考点七 函数与导数的图像关系 37．已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由导函数图象确定和的区间，确定的递增和递减区间，得到答案. 【详解】由导函数图象可知，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， D正确，其他选项不合题意. 故选：D 38．已知函数在定义域内可导，的大致图象如图所示，则其导函数的大致图象可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的图象，确定函数的单调性，再确定导函数的正负，利用排除法可得答案. 【详解】当时，单调递增，且切线的斜率在减小，则，且在单调递减， 当时，单调递增，且切线的斜率在增大，则，且在单调递增， 所以排除BCD， 故选：A 39．已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据 的正负分情况讨论，再结合函数图象判断 的正负，进而求解不等式. 【详解】1. 当 时，此时不等式 等价于 . 从函数图象可知，当，函数单调递增时.观察图象， 在 上单调递增，即此时当 时，满足题意. 2. 当 时，此时不等式 等价于 . 由函数单调性与导数的关系，当，函数单调递减时.观察图象， 在 上单调递减，即此时当 时，，满足题意. 综上，不等式 的解集是 ， 故选：B. 40．已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 【答案】B 【分析】对函数求导，结合图象判断与的大小关系，从而得出函数的单调性，进而可得出结果. 【详解】由得， 由题中图象可知，当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 故ACD都错，B正确， 故选：B 41．已知是函数的导函数，且的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 【答案】ABD 【分析】对函数求导后，由，得或或，然后分和结合导函数的图象分析判断即可. 【详解】由题意得． 由图可知有3个零点，则，令，得或或． 当时，，若，则，不符合题意． 当时，，则或时，， 当或时，符合题意，A，B正确． 由图可知，，得，C错误． 因为当时，，所以在上单调递减，D正确． 故选：ABD 42．已知上的可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为 【答案】 【分析】根据图像得到当时，，当时，， 时，，代入计算得到答案. 【详解】根据图像可得， 当时，，，即，故； 当时，，，即，故； 当时，，，即，故； 综上所述：. 故答案为： 考点八 函数图像与极值的关系 43．已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A．在上单调递减 B．在处取得极小值 C．有2个极值点 D．有极大值，没有极小值 【答案】D 【分析】利用导函数的图象得出导函数的正负，得出函数的单调区间，即可知为的极大值点，无极小值点，可判断得出结论. 【详解】由图可知在上恒成立，则在上单调递增，A错误． 因为在上恒成立，在上恒成立， 所以在单调递增，在单调递减， 所以在处取得极大值，没有极小值，B和C错误，D正确． 故选：D 44．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．函数在处取得极小值 B．函数在处取得极大值 C．函数在上单调递增 D．函数的递减区间为 【答案】B 【分析】由函数的图象判断出的单调性可得答案. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以函数在处取得极小值，在处取得极大值， 在处取得极小值， 故选：B. 45．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数的极值点为c，e C．函数的极大值为 D．函数在上递增，在上递减 【答案】B 【分析】对A，D由导数与函数单调性的关系，即可判断的大小以及的单调性，对B，C由极值的定义即可判断. 【详解】由题图知可，当时，， 当时，，当时，， 所以在上递增， 在上递减，在上递增， 对A，，故A错误； 对B，函数的极值点为，，故B正确； 对C，函数的极大值为，故C错误； 对D，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故D错误. 故选：B. 46．已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值点 D．曲线在点处的切线斜率小于零 【答案】C 【分析】根据导函数的正负，可确定的单调性，即可结合极值和选项逐一求解. 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 故是函数的极小值点，也是上的最小值点，故A错误，B错误，C正确， 由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D错误， 故选：C 47．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的个数是（    ） ①函数在上单调递减；②函数在上单调递减；③函数在处取得极小值；④函数在处取得极大值. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】由导函数的图象，确定，对应区间，进而逐个判断即可. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递增，故②错误； 当时，，所以在上单调递减，故①正确； 所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故③错误，④正确. 故选：C. 48．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数恰有3个极值点 B．函数的单调递增区间为 C．函数的单调递减区间为 D．是函数的极小值点 【答案】CD 【分析】根据导函数的图象可得导函数的符号，从而可判断原函数的单调区间和极值点. 【详解】根据导数正负得到，上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，故A，B错误，C，D正确. 故选：CD. 考点九 函数极值的求解 49．已知函数，函数在处的切线方程为. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）先求导，由已知根据即可求解； （2）利用导数判断函数的单调性即可求解极值. 【详解】（1）函数的定义域为，，     在处的切线方程为， ，解得. （2）由（1）知， ，， 令，得或；令，得，     所以在和上单调递增，在上单调递减，     因此在处取得极大值，且， 在处取得极小值，且， 故的极大值为，极小值为. 50．已知函数． (1)求函数的单调区间和极值． (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数的增区间和减区间，即求得函数的极大值和极小值； （2）利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. （2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 51．已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)当时，求函数的极值． 【答案】(1)1 (2)极大值，极小值 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程后可得的值； （2）讨论导数的符号得单调性，从而可求函数的极值. 【详解】（1）因为，有， 所以切线方程为，即， 所以，得，故实数的值为1． （2）由（1）可知，有， 当时，令，得或， 当变化时，和的变化情况如下表： + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以当时，有极大值， 极小值 52．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)求的极值． 【答案】(1) (2)单调递增区间是和，单调递减区间是 (3)极大值为，极小值为 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数与函数单调性的关系可求出函数的增区间和减区间； （3）利用（2）中的结论可得出函数的极大值和极小值. 【详解】（1）由函数，得，所以，． 所以函数在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，由（1）得， 令，得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. （3）由（2）可知，函数的极大值为，极小值为. 53．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)的单调递减区间为，单调递增区间为，极大值为，极小值为32． 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可; （2）对函数求导，由导数的正负来判断函数的单调区间，从而可求出函数的极值. 【详解】（1）由题意得， 则， 因为，所以切点为， 故曲线在点处的切线方程为，即． （2）． 当或时，单调递增； 当或时，单调递减． 因为，所以是极大值点，极大值为， 是极小值点，极小值为． 故的单调递减区间为，单调递增区间为，极大值为，极小值为32． 考点十 已知极值求参数 54．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导函数，由已知可转化为有两个不同的正实数解，根据二次函数零点的分布列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】 因为函数有两个极值点， 所以有两个不同的正实数解， 所以有有两个不同的正实数解， 即二次函数有两个不同的正零点， 所以有，解得. 故选：D. 55．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数有两个极值点，求导，转化成方程有两个不同的正根.再设函数，分析其单调性即函数值的符号，数形结合，可求的取值范围. 【详解】因为（），所以. 因为函数有两个极值点，所以有两个不同的正的变号根. 由（）. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 且，，当时，. 所以要想方程（）有两个不同的解，须有， 即. 故选：D 56．已知函数在处取得极大值，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据导函数在极值点处函数值为0，计算求参，再代入检验求值. 【详解】由题意得，则，得或． 当时，令， 得或，单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意； 当时，令，得或， 单调递增，单调递减， 在处取得极大值，符合题意． 故答案为：. 57．函数在时有极小值0，则 ． 【答案】11 【分析】利用导函数与函数的单调性、极值的关系求解. 【详解】因为， 所以， 因为函数在时有极小值0， 所以，① ，② 联立①②解得或， 当时，， 则函数在上单调递增，无极值，不满足题意； 当时，， 由解得或，由解得， 函数在单调递增，单调递减，单调递增， 满足函数在时有极小值， 所以， 故答案为：11. 58．已知函数若，则函数的极小值点是 ；若函数在上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为 ． 【答案】 1 【分析】①时，直接求导得到导函数，判断导函数零点左右的正负即可得到极值点；②若函数在上存在唯一的极值点，则只有一个零点在内，结合为的对称轴可以更具体地得到，解不等式组即可得出答案. 【详解】①时，，的定义域为， ，令，得或， 当时，；当时，， 故函数的极大值点为，极小值点为， ②，对称轴为， 若函数在上存在唯一的极值点，则只有一个零点在内， 因为的对称轴为，所以， 即且，解得， 所以实数的取值范围为， 故答案为：1；. 考点十一 求函数的最值 59．已知函数，且满足 (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)函数在区间上的最大值为，最小值为 【分析】（1）利用求导公式结合求解即可； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求解最值即可. 【详解】（1）因为， 所以， 令，即方程， 解得 （2）由（1）知，，所以， 令，即， 解得． 列表如下： 2 3 + 0 - 0 + 当时，单调递增： 当时，单调递减： 当时，单调递增． 所以有极大值；有极小值 又． 所以函数在区间上的最大值为，最小值为． 60．已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）求出导数，令导数在极值点处为0，得到，在验证在左右两边导函数异号，即可的结论； （2）由（1）中结论得到导数，然后令导数大于0，求得函数的增区间，从而得到函数的减区间，由此知道函数在已知区间上的单调性，由单调性求出最大值与最小值. 【详解】（1）， ∵函数在处取得极值， ∴，即， 即， 当时，，当时，，符合题意， ∴. （2）由（1）知， 则， 令，解得或； 令，解得； ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 则极大值，而，. 故函数在上的最大值和最小值分别为， ，. 61．已知函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为. (1)求； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据求得在点处的切线方程，在根据切线与坐标轴所围成的三角形的面积为即可求解； （2）由（1）得，利用导数即可求最值. 【详解】（1）由得， 所以，又， 所以在点处的切线方程为，即. 当时，；当时，. 因为与坐标轴所围成的三角形的面积为且， 所以，所以. （2）由（1）得，. 由得或. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因为，， ，，且， 所以在上的最大值为，最小值为. 62．已知函数的图象在点处的切线与直线平行． (1)求的值； (2)求函数在区间上的极值与最值． 【答案】(1) (2)极小值为，极大值为，最大值为12，最小值为． 【分析】（1）由导函数求得函数在切线的斜率，由直线平行得到的值； （2）将的值代入原函数，求出导函数，令导函数为0，求得极值点.然后求出函数的极值和端点的函数值，从而得到函数的极值和最值. 【详解】（1）由，得，． 所以． 因为函数的图象在点处的切线与直线平行， 所以，即，解得． （2）由（1），得， 令，解得，或． 当变化时，的变化情况如下表所示： 1 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 因此，当时，有极小值，且极小值为，当时，有极大值，且极大值为． 又，所以函数在区间上的最大值为12，最小值为． 63．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）根据极值点求得，再应用导数研究函数的单调区间和最值即可. 【详解】（1）当时，，则， ∴，则在点处的切线方程为； （2）因为， 由题意，解得，检验符合， 故，列表如下： 4 0 0 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为． 由解析式易知，当时；当时，且， 所以． 综上，的增区间为、，减区间为，. 考点十二 已知函数最值求参数 64．若函数有最大值，则实数的值是（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】通过导数确定为临界点，由的符号分类讨论求解即可. 【详解】，    令，得临界点（因，舍去）， 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 此时无最大值， 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又因为， 所以，满足题意， 故选：. 65．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，易知在区间上单调递增，由在区间上有最小值，可得，即可求解. 【详解】由题意得， 易知在区间上单调递增， 若在区间上有最小值， 则，即，解得. 这时存在，使得在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上有极小值，也是最小值， 所以的取值范围是. 故选：A. 66．已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，解方程组可得的值，验证单调性记即可得的值. 【详解】，因为当时，函数取得最大值2， 所以，即，解得， 所以，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意， 所以. 故选：C. 67．若函数的最小值为1，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】应用同构得出函数，再根据最小值得出有解，进而得出. 【详解】， 令， 原式可化为， 当单调递增，当单调递减， 当且仅当时，取得最小值1， 所以有解， 即有解. 记， 当在单调递增，当在单调递减， 故，且当， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 68．已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）问题转化为在上恒成立，进而可得； （2）先根据与区间的关系分类：当时，函数单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递减，进而根据最小值为可得. 【详解】（1）由题意函数的定义域为， ， 因为在区间上单调递增，所以在上恒成立， 只需，即实数的取值范围是. （2）令，得或， ①当时，恒成立，在单调递增， 所以，不合题意，舍去； ②当时，；， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得； ③当时，恒成立，在单调递减， 所以，解得，舍去； 综上所述，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$