期末复习专题02数列通项公式和前n项和（3考点清单+11考点题型）-2024-2025学年高二下学期数学期末复习（人教A版2019选必二 全国通用）

期末复习专题02 数列通项公式和前n项和 内容导图预览 考点清单总结 考点清单1 数列通项公式的求解 一、待定系数构造法 1.形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式 形如an+1=pan+q（其中p，q为常数，且pq（p-1）≠0）可用待定系数法求得通项公式，步骤如下 （1）假设递推公式可改写为an+1+t=p（an+t）. （2）由待定系数法，解得t=. （3）写出数列的通项公式. （4）写出数列｛an｝的通项公式. 2.形如an=pan-1+pn的递推关系求通项公式 形如an=pan-1+pn（p≠1）的递推关系求通项公式的一般步骤 （1）等式两边同除以pn，不管这一项是pn-1或pn+1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来. （2）写出数列的通项公式. （3）写出数列｛an｝的通项公式. 二、倒数法 1.形如（为常数，）的数列， 通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 2.形如（为常数，，，）的数列， 通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 三、累加累乘法 1.累加法 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 2.累乘法 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 考点清单2 Sn与an的关系式 1.消Sn：用，得到 2.消an：替换题目中的 3.已知等式中左侧含有：作差法（类似） 考点清单3 前n项和的求法 一、分组求和 分组求和的适用题型 一般情况下形如cn=an±bn，其中数列｛an｝与一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列的前n项和，分别利用等差数列和等比数列的前n项和公式求和即可. 二、倒序相加法求和 倒序相加法求和适合的题型 一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和. 三、裂项相消法求和 常见的裂项求和的形式： （1）=； （2）=； （3）=-； （4）=； （5）=-； （6）ln=ln（n+1）-ln n； （7）=； （8）（-1）nlog3［n（n+1）］=（-1）n［log3n+log3（n+1）］； （9）=（-1）n. 注意点： （1）裂项前要先研究分子与分母的两个因式的差的关系. （2）若相邻项无法相消，则采用裂项后分组求和，即正项一组，负项一组. （3）检验所留的正项与负项的个数是否相同. 四、拆项、并项求和 并项求和法适用的题型 一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列也可采用分组求和.若摆动数列为等比数列，也可用等比数列求和公式. 五、错位相减法 （1）一般地，如果数列｛an｝是等差数列，｛bn｝是等比数列，求数列｛an·bn｝的前n项和时，可采用错位相减法. （2）用错位相减法求和时，应注意： ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形. ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式. 考点题型·巩新知 考点一 累加法求通项 1．已知数列满足，且，则（    ） A．182 B．173 C．164 D．155 【答案】D 【分析】根据题意，由累加法求出通项，进而求得答案. 【详解】因为，则， ， ，…，， 将这个式子相加，可得， 化简得，又， ，则. 故选：D. 2．已知数列满足，，则的值为（   ） A．22 B．42 C．79 D．149 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用累加法求和即得. 【详解】数列中，，， . 故选：C 3．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n层有个球，则数列的前5项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出数列的递推关系，再利用累加法求出通项公式，最后用裂项相消法求出数列的前5项和. 【详解】由题意得，， 当时，， 以上各式累加得：， 经检验符合上式，所以， 所以 设数列的前项和为， 则，所以. 故选：A. 4．已知数列中，则数列通项公式 ． 【答案】 【分析】先将的表达式化简，再依次写出，，，的式子，将这些式子累加，消去中间项，从而得到与的关系，进而求出. 【详解】化简的表达式： 所以. 利用累加法求 当时，； 当时，； . 将以上个式子累加得： 已知，则： . 故答案为：. 5．已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则 ． 【答案】/ 【分析】化简得，用累加法和裂项相消公式求出即可求解的值. 【详解】因为，所以， 则，，……，，， 所以当时， ， 又满足上式，所以，所以， . 故答案为：. 考点二 累积法求通项 6．在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给数列递推式，利用累乘法（迭代法）即可求得数列通项. 【详解】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 7．若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 【答案】D 【分析】由已知条件变形可得，然后累乘法可得，即可求出. 【详解】由，得， ， . 故选：D. 8．在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 【答案】D 【分析】根据已知递推公式得出相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式，最后根据通项公式判断数列类型，进而求出前100项的和． 【详解】因为，所以， 当时，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即， 又，所以， 所以． 故选：D. 9．已知数列中，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 10．数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据累乘法求通项公式即可. 【详解】因为，， 所以，，，…，， 累乘得，， 所以，， 由于，所以，， 显然当时，满足， 所以， 故答案为：. 考点三 构造法求通项（an 1 11．已知数列满足则（    ） A． B．是等比数列 C． D．是等比数列 【答案】ACD 【分析】通过构造法求数列的通项公式可得选项C正确；根据通项公式可得选项A正确；求出数列的前3项可得选项B错误；通过定义法证明等比数列可得选项D正确. 【详解】由得则数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，从而，C正确. 由得，A正确. 由得， 故数列不是等比数列，B错误. 由得， 故数列是以3为首项，2为公比的等比数列，D正确. 故选：ACD. 12．设首项为1的数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．数列不是等比数列 C． D．数列是递增数列 【答案】ACD 【分析】通过构造法可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，选项A正确；根据选项A求出数列的通项公式，可得选项B错误；利用等比数列通项公式及前项和公式可得选项C正确；根据可得选项D正确. 【详解】由题意，可知， ∵，∴， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故选项A正确； 由A得，，∴， 当时，， 当时，满足上式，∴， ∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故选项B错误； ∵，∴，故选项C正确； ∵，∴， ∴数列是递增数列，故选项D正确. 故选：ACD． 13．已知数列满足，（），的前项和为，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，利用构造法判断得是等比数列，进而利用等比数列的通项公式与求和公式，结合分组求和法即可得解. 【详解】对于AB，因为数列中，，（）， 则，， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，故A错误，B正确； 对于C，，即有，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 14．已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】利用构造法，构造等比数列求通项公式. 【详解】设，解得：， 所以， 又，则， 故是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 故答案为：. 15．设数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】1536 【分析】依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，求出，再由计算可得. 【详解】因为，，则， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 则. 故答案为： 考点四 构造法求通项（an 1 16．已知数列的首项，前n项和为，且，则（    ） A． B．是递增数列 C．是等差数列 D． 【答案】ABD 【分析】分析可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列，结合等比数列可得，进而逐项分析判断. 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列， 则，即. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：因为，所以是递增数列，故B正确； 对于选项C：因为数列是以首项为4，公比为4的等比数列， 所以不是等差数列，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：ABD. 17．已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由得，构造等比数列即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 18．在数列中，，且，则通项公式 ． 【答案】 【分析】利用构造法来求通项公式，如由构造为，从而用等比通项来求解即可. 【详解】递推式的两边同时除以，得到． 令，则． 显然有，， 故是以为首项，为公比的等比数列． 因此，可得． 故答案为：. 19．数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 20．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解. 【详解】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 考点五 倒数法求通项 21．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由递推关系证明数列是等比数列从而得，代入即可求解. 【详解】易知，从而由题意，即， 也就是数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以，解得. 故选：A. 22．已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】由递推关系结合，确定，再对递推关系取倒数可得，再证明数列为等比数列，结合等比数列通项公式求数列的通项公式，再求结论. 【详解】因为，， 所以，，，，， 即，， 所以， 所以，又因为， 所以，， 所以， 所以数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以，故， 故答案为：. 23．已知数列的前项和为，则 . 【答案】 【分析】由，所以由得，两边同时除以得，所以为等差数列，求出从而求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以，即， 所以是以为首项，为公差的等差数列. 所以，， 所以， 故答案为：. 24．已知数列满足，，，则 . 【答案】 【分析】将变形可得数列为等差数列，再借助等差数列求解即得. 【详解】数列中，，，显然，取倒数得， 即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列， 因此，所以. 故答案为：. 25．数列中，若，，则 ． 【答案】19 【分析】取倒数可得，即可得数列的通项公式，计算即可得. 【详解】∵，则， ∴，∴故数列为等差数列，公差等于2， 又，故， ∴. 故答案为：19． 考点六 Sn 的展开式的处理 26．已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】因为①， 当时，②， 由①②得到，得到， 又时，，满足，所以，则， 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. 27．数列满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件计算出数列的通项公式，然后运用裂项求和法求出结果，注意的情况进行分类讨论. 【详解】，取， 相减， ， 则推出 当时， 原式 故选：A 【点睛】方法点睛：在数列求和中的方法：（1）裂项求和法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）倒序相加法等. 28．数列满足，则的前项和 ． 【答案】 【分析】根据所给递推关系可得，，与原式作差即可求解，再结合错位相减法求和即可. 【详解】数列满足， 当时，，当时，， 两式作差可得，∴， 当时，不满足，故， ∴当时，，； 当时，得，则， ， 两式相减得，， 化简得，当时，满足， ∴． 故答案为：． 29．数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据的关系，即可作差求解， （2）利用裂项相消法求解，根据单调性可得，进而根据求解即可. 【详解】（1）令 又① ② 由①②得到 即：， 经检验，也成立，故数列的通项公式 （2） 因为是单调递增数列，且 若恒成立，则，解得或， 实数的取值范围为或． 30．数列满足：，. (1)求数列通项； (2)恒成立，求m最小值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用已知求，，构造，两式相减得：，又构造，两式相除得：，得出通项公式； （2）由裂项相消:，求和即可. 【详解】（1）由， ， 两式相减得：， 时，符合等式， 故，， 两式相除得： 故n为奇数时， n为偶数时， 综上，对任意，. （2）由 故，最小值为. 考点七 Sn与an 的关系 31．设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用化简得出数列是等比数列，再应用等比数列通项公式计算求解. 【详解】因为，则， 当时，作差得，所以， 所以，所以，因为，当时，， 数列是以为首项以为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 32．数列的前项和为，若，则（   ） A．是等差数列，公差为 B．是等比数列，公比为3 C．是等差数列， D．是等比数列， 【答案】D 【分析】根据进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当时，. 当时，由， 得， 两式相减并化简得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 故选：D 33．已知数列的前n项和为，满足. (1)求和； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】（1）中，令，求出，再令，结合，求出； （2）利用得到为公比为2的等比数列，利用等比数列求通项公式求出答案； （3）求出，错位相减法求和即可. 【详解】（1）中，令得，解得， 令得，即，解得； （2）①， 当时，②， 式子①-②得， 故， 所以为公比为2的等比数列，首项为， 故； （3）， 则③， ④， 式子③－④得 ， 故. 34．记数列的前n项和为，已知 (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 (3)在（2）的条件下，若对任意恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由可直接求得答案； （2）结合（1）得，再利用错位相减法求和即可； （3）将原式化为恒成立，结合一次函数的性质列不等式组即可求得k的范围. 【详解】（1）因为，① 令，得，所以 当时，，② ①②，得，整理得 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 当时也符合上式，故. （2）由题意知 两式作差，得： 所以； （3）由恒成立，得恒成立，即恒成立． 所以解得， 所以k的取值范围是. 35．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)记，证明：． 【答案】(1) (2)存在；或 (3)证明见解析 【分析】（1）利用的关系可得，利用累乘法可求数列的通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，假设存在正整数，使得成等差数列，可得，求解即可； （3）当时，可得，利用放缩法可证明不等式成立. 【详解】（1）因为，所以当时，， 两式相减得，即． 累乘得． 经检验也符合上式，所以． （2）因为，所以， 所以， 假设存在正整数，使得成等差数列，则，即，即， 显然是18的正约数，又因为，所以，所以或18， 当，即时，， 当，即时，． 所以，存在正整数，使得成等差数列， 此时或． （3）由题意知，， 当时，，不等式成立． 当，因为 ， 所以 ． 因为，所以， 所以时，， 综上，． 【点睛】方法点睛：证明数列不等式的常用方法之一：放缩法，即是从不等式的一边着手， 用不等式的传递性等性质， 舍去(或添上) 一些正项或者负项， 扩大或缩小分式的分子、 分母， 逐渐适当地有效放大或缩小到所要求的目标，注意放缩时要适度， 否则就不能同向传递．在数列求和型不等式证明中， 一般来说有先放缩再求和或先求和再放缩两种形式。若数列易于求和， 则选择先求和后再放缩； 若数列不易求和， 要考虑先放缩后再求和的证明方法 ． 考点八 倒序相加求和 36．已知数列是公比为的等比数列，且，若，则（   ） A．4046 B．4045 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】由题可得，利用等比数列性质可得，继而可计算. 【详解】由题可得， 又数列为等比数列，且，所以， 即， 所以， 故选：A 37．若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案. 【详解】由等差数列满足， 则对于，当时，， 则， 设，则， 两式相加可得，解得. 故选：C. 38．已知，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倒序相加法即可求解 【详解】因， 且① 则，② 由①+②可得：， 故. 故选：C. 39．已知数列满足，则数列的前2025项和 . 【答案】 【分析】利用倒序相加法求和即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以， 所以，则. 故答案为： 40．已知，则 ． 【答案】 【分析】通过对函数和进行化简计算，得出的结果为常数，然后利用这个规律对所求式子进行分组计算. 【详解】因为，所以， 故 故答案为： 考点九 分组相加求和 41．记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且=，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的最小值及取得最小值时的值． 【答案】(1)， (2)，和. 【分析】（1）解方程组求出等比数列公比，即可求得；继而可求出等差数列的首项，即可求得的通项公式； （2）结合（1）可得数列的通项公式，利用作差法可判断数列单调性，即可求得答案. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， ，， 可知,故，解得，故， 又数列是公差为1的等差数列，且， 故，即，解得， 故； （2）由于，则， 则， 当时，，当时，，即， 故数列的最小值为，此时和. 42．已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系，通过作差即可求解； （2）由等比数列求和公式得到，再通过分组求和即可. 【详解】（1）因为，故，两式相减 所以即，故等比数列的公比为， 当时，，故， 故 （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前项和 43．已知数列和满足是等比数列，是等差数列. (1)求和的通项公式； (2)求和的通项公式； (3)求的前项和. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知求、的基本量，再由等比、等差数列的定义写出通项公式； （2）由（1）所得通项公式求和的通项公式； （3）应用分组求和，结合等差、等比数列的前n项和公式求. 【详解】（1）由， 因为是等比数列， 则公比为，所以， 因为是等差数列， 则公差为，所以. （2）由（1）得， 则. （3）由（2）有. 44．为等差数列，，记，分别为数列，的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2)当为偶数时，；当为奇数时，. 【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意用表示出，再由，，列式解方程即可求出，进而求出的通项公式； （2）先考虑为偶数时，由等差数列的前项和公式求出，当为奇数时，利用进行求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则， 则， 解得：，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 当为偶数时， . 当为奇数时，. 所以当为偶数时，；当为奇数时，. 45．已知数列是首项为2且公差不为0的等差数列，为和的等比中项，记数列的前项和为. (1)求和； (2)设，求数列的前2022项的和. 【答案】(1)， (2)-1011 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项的性质求出公差，进而得到和； （2）先求出的表达式，再分析数列的前2022项和的规律进行计算. 【详解】（1）因为为和的等比中项，所以， 又因为数列是首项为2且公差不为0的等差数列，则，所以，，. （2）因为 所以数列的前2022项的和为： . 考点十 裂项相加求和 46．已知数列的首项，且满足（） (1)求证：数列为等比数列；求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项的和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等比数列的定义即可求证， （2）由（1）求得，再由裂项相消法求和，即可求解. 【详解】（1）由得， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，， 所以， 所以， 所以 . 47．已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）当时，可得，进而两式相减，可得，进而可得是等比数列，可求通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，进而可证结论. 【详解】（1）当时，；当时，； 当时，，可得， 两式相减并整理得，所以. 又，所以，又，满足上式， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）知=， 所以 . 因为，所以递增，所以，即. 48．已知数列为等差数列，前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)是否存在正整数m，n，（）使得成等差数列？若存在，求出，m，n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，. 【分析】（1）由等差数列通项公式及求和公式列出等式求出首项、公差即可； （2）由裂项相消法求和即可； （3）由等差中项列出等式求解即可. 【详解】（1）由， 可得：， 解得：， 所以； （2）由（1）可得：， 所以， 所以 （3）假设存在正整数m，n，（），使得成等差数列， 则， 即， 即， 取，可得：， 所以存在，，. 49．已知数列满足，且，，，设． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）转化已知条件，求得，即可证明为等比数列，结合逐差法，即可求得； （2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得，再根据恒成立问题，求得的最大值，即可求得的取值范围. 【详解】（1），故可得，又，即， 故数列为首项，公比为的等比数列，则； 故，则， 即，故. （2）， 故的前项和为 ， 不等式对任意恒成立， 则，即恒成立； 令，则， 则， 当时，，当时，， 故数列的最大项为， 故恒成立，也即，故实数的取值范围为. 50．已知数列满足，且，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）化简已知条件，根据等比数列的定义证得数列是等比数列； （2）利用累乘法求得数列的通项公式； （3）利用裂项求和法求得，利用反证法证得数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【详解】（1）已知， 则. 又，，所以. 那么（常数）. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，等式两边同时除以得：. 设，则，且. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 因为，所以. （3）已知，则. . 所以. 假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列， 则，即， 两边同时乘以得：. 因为，，所以，， 则是的倍数，除以余，等式不成立. 所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 【点睛】方法点睛： 证明一个数列是等比数列，通常从数列的递推关系出发，通过变形得到相邻两项的比值为常数，同时要注意验证首项不为0.这种方法在处理给定递推式判断数列类型的问题中经常使用. 当数列的递推关系可以通过变形构造出一个新的等差数列或等比数列时，可利用新数列的性质求出通项公式，再反推原数列的通项公式.这里通过对两边同除以构造出等差数列，是数列通项求解的常用技巧. 对于数列求和问题，裂项相消法是一种重要的方法，适用于通项公式可以拆分成两项之差的形式.在证明数列中不同三项不能构成等差数列时，反证法是常用的证明手段，先假设成立，然后推出矛盾，从而否定假设. 考点十一 错位相加求和 51．已知数列是等差数列，首项，公差为d且，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据等比中项的性质得到，即可求出，从而求出通项公式； （2）由（1）可得，再利用错位相减法计算可得. 【详解】（1）因为，，成等比数列，又， 所以，即，解得或， 当时数列的通项公式； 当时数列的通项公式； 所以或. （2）因为，所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 所以. 52．已知是正项等比数列，是等差数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于的等式，可求出的值，进而可求出、的值，再结合等比和等差数列的通项公式可求出数列和的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由题意可得，即，即， 因为，解得，故， ，所以，， 故. （2）因为， 则， 可得， 上式下式可得， 化简得. 53．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和； (3)已知数列满足，且数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用基本量法即可求解等差数列的通项公式； （2）利用错位相减法即可求数列的前项和； （3）首先利用进行放缩得，再利用裂项相消法求和即可求证. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，. ，， ，解得. ∴数列的通项公式为. （2）由（1）知，又， . ∴数列的前项和①， ②， ①-②得 ， . ∴数列的前项和. （3）由（1）知，. ， . 设数列的前项和，数列的前项和， 则 ， ， . 【点睛】本题主要考查求数列的通项公式与数列求和. 数列求和的常用方法有：公式法、裂项相消法、分组求和法、并项求和法、错位相减法和、倒序相加法. 54．已知数列的前项和为，且，数列满足. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)若不等式对都成立，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用变形推理得证. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. （3）求出，分离参数并构造新数列，探讨数列单调性求出最小值即可得解. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，则， 即，因此是以为首项，公差为1的等差数列， 则，. （2）由（1）得， ， 则， 则， 所以； （3），不等式， 即对任意正整数都成立， 令，则， 则，数列是递增数列， 因此，即，所以实数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第3问，分离参数，构造新数列，再探讨单调性是求解的关键. 55．已知函数．数列的首项．以后各项按如下方式取定：记曲线在处的切线为，若，则记与轴交点的横坐标是． (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用导数来求出切线，再求出与轴交点横坐标，从而可得到数列的递推关系，然后再利用证明的等比数列后一项，通过递推代入得到与前一项的关系，再加以说明非0，即可得证等比数列； （2）利用第一问即可求得，从而利用错位相减法来求数列的前项和即可. 【详解】（1）由，得， 曲线在处的切线方程为， 根据题意令可得，， 由， 因为，所以，且由得， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列． （2）由上式得，， 则，① 两边乘以2可得：，②. 由①－②得，， 所以． 56．若数列的首项，且满足，令． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求的前n项和； (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项，，（m，k，，且）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析，； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据给定的条件，结合等比数列定义推理得证，进而求出通项公式. （2）由（1）的信息求出，再利用错位相减法，结合等比数列前n项和公式求解. （3）根据给定条件，结合（1）的结论求出数列的通项，再利用等差中项以及等比中项的性质推理得证. 【详解】（1）由，得， 而，则，又， 所以数列是等比数列，，. （2）由（1）知，， ，则， 两式相减得， 所以 （3）依题意，，即，解得， 假设在数列中存在不相同的3项（其中成等差数列）成等比数列，则， 即，则，由成等差数列，得， 因此，整理得，则，与互不相等矛盾， 所以在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列 【点睛】方法点睛：错位相减求和适用于数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和的问题，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习专题02 数列通项公式和前n项和 内容导图预览 考点清单总结 考点清单1 数列通项公式的求解 一、待定系数构造法 1.形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式 形如an+1=pan+q（其中p，q为常数，且pq（p-1）≠0）可用待定系数法求得通项公式，步骤如下 （1）假设递推公式可改写为an+1+t=p（an+t）. （2）由待定系数法，解得t=. （3）写出数列的通项公式. （4）写出数列｛an｝的通项公式. 2.形如an=pan-1+pn的递推关系求通项公式 形如an=pan-1+pn（p≠1）的递推关系求通项公式的一般步骤 （1）等式两边同除以pn，不管这一项是pn-1或pn+1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来. （2）写出数列的通项公式. （3）写出数列｛an｝的通项公式. 二、倒数法 1.形如（为常数，）的数列， 通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 2.形如（为常数，，，）的数列， 通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 三、累加累乘法 1.累加法 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 2.累乘法 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 考点清单2 Sn与an的关系式 1.消Sn：用，得到 2.消an：替换题目中的 3.已知等式中左侧含有：作差法（类似） 考点清单3 前n项和的求法 一、分组求和 分组求和的适用题型 一般情况下形如cn=an±bn，其中数列｛an｝与一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列的前n项和，分别利用等差数列和等比数列的前n项和公式求和即可. 二、倒序相加法求和 倒序相加法求和适合的题型 一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和. 三、裂项相消法求和 常见的裂项求和的形式： （1）=； （2）=； （3）=-； （4）=； （5）=-； （6）ln=ln（n+1）-ln n； （7）=； （8）（-1）nlog3［n（n+1）］=（-1）n［log3n+log3（n+1）］； （9）=（-1）n. 注意点： （1）裂项前要先研究分子与分母的两个因式的差的关系. （2）若相邻项无法相消，则采用裂项后分组求和，即正项一组，负项一组. （3）检验所留的正项与负项的个数是否相同. 四、拆项、并项求和 并项求和法适用的题型 一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列也可采用分组求和.若摆动数列为等比数列，也可用等比数列求和公式. 五、错位相减法 （1）一般地，如果数列｛an｝是等差数列，｛bn｝是等比数列，求数列｛an·bn｝的前n项和时，可采用错位相减法. （2）用错位相减法求和时，应注意： ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形. ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式. 考点题型·巩新知 考点一 累加法求通项 1．已知数列满足，且，则（    ） A．182 B．173 C．164 D．155 2．已知数列满足，，则的值为（   ） A．22 B．42 C．79 D．149 3．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n层有个球，则数列的前5项和为（   ） A． B． C． D． 4．已知数列中，则数列通项公式 ． 5．已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则 ． 考点二 累积法求通项 6．在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 7．若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 8．在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 9．已知数列中，，则 . 10．数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 考点三 构造法求通项（an+1=pan+q) 11．已知数列满足则（    ） A． B．是等比数列 C． D．是等比数列 12．设首项为1的数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．数列不是等比数列 C． D．数列是递增数列 13．已知数列满足，（），的前项和为，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C． D． 14．已知数列满足，且，则 . 15．设数列的前项和为，若，，则 ． 考点四 构造法求通项（an=pan-1+pn) 16．已知数列的首项，前n项和为，且，则（    ） A． B．是递增数列 C．是等差数列 D． 17．已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 18．在数列中，，且，则通项公式 ． 19．数列满足，则数列的通项公式为 . 20．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 考点五 倒数法求通项 21．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 22．已知数列满足，且，则 . 23．已知数列的前项和为，则 . 24．已知数列满足，，，则 . 25．数列中，若，，则 ． 考点六 Sn 的展开式的处理 26．已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 27．数列满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 28．数列满足，则的前项和 ． 29．数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 30．数列满足：，. (1)求数列通项； (2)恒成立，求m最小值. 考点七 Sn与an 的关系 31．设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 32．数列的前项和为，若，则（   ） A．是等差数列，公差为 B．是等比数列，公比为3 C．是等差数列， D．是等比数列， 33．已知数列的前n项和为，满足. (1)求和； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前n项和. 34．记数列的前n项和为，已知 (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 (3)在（2）的条件下，若对任意恒成立，求实数k的取值范围． 35．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)记，证明：． 考点八 倒序相加求和 36．已知数列是公比为的等比数列，且，若，则（   ） A．4046 B．4045 C．2024 D．2023 37．若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 38．已知，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 39．已知数列满足，则数列的前2025项和 . 40．已知，则 ． 考点九 分组相加求和 41．记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且=，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的最小值及取得最小值时的值． 42．已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 43．已知数列和满足是等比数列，是等差数列. (1)求和的通项公式； (2)求和的通项公式； (3)求的前项和. 44．为等差数列，，记，分别为数列，的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 45．已知数列是首项为2且公差不为0的等差数列，为和的等比中项，记数列的前项和为. (1)求和； (2)设，求数列的前2022项的和. 考点十 裂项相加求和 46．已知数列的首项，且满足（） (1)求证：数列为等比数列；求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项的和． 47．已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 48．已知数列为等差数列，前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)是否存在正整数m，n，（）使得成等差数列？若存在，求出，m，n的值；若不存在，请说明理由． 49．已知数列满足，且，，，设． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 50．已知数列满足，且，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 考点十一 错位相加求和 51．已知数列是等差数列，首项，公差为d且，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，数列满足，求数列的前n项和. 52．已知是正项等比数列，是等差数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 53．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和； (3)已知数列满足，且数列的前项和为，证明：. 54．已知数列的前项和为，且，数列满足. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)若不等式对都成立，求的最大值. 55．已知函数．数列的首项．以后各项按如下方式取定：记曲线在处的切线为，若，则记与轴交点的横坐标是． (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 56．若数列的首项，且满足，令． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求的前n项和； (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项，，（m，k，，且）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$