第十八讲：空间直线，平面的平行与垂直复习讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十八讲 空间直线，平面的平行与垂直 1、 教学目标 1、了解基本事实4和等角定理 2、 熟悉直线，平面平行的判定和性质 3、 熟悉直线，平面垂直的判定和性质 二、教学重难点 1、直线，平面平行的判定和性质 2、直线，平面垂直的判定和性质 3、直线，平面平行和垂直的综合应用 三、知识精讲 知识点01：线线平行 （1）基本事实4（平行线的传递性） ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行 ②图形语言： ②符号语言：直线,, （2）等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 ②图形语言： ③符号语言：,或 知识点02：线面平行 1．定义 直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥ 2．判定定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥线线∥面 如果平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（简记为“线线平行线面平行”） 面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 知识点03：面面平行 1．定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥ 2．判定定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行”） 线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥ 3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 知识点04：线面垂直 1．定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直． 2．判定定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 面⊥面⇒线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 _ 平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直 _ b _ a 3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 知识点05：面面垂直 1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2. 判定定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _ 3. 性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 证明平行的常用方法： （1）证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2）证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面． （3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 证明垂直的常用方法： （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质； ⑦平行线垂直直线的传递性（）． （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（）； ⑤面面垂直的性质（）． （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）． 空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置． 性质 性质 性质 性质 性质 判定 判定 判定 判定 判定 线∥面 线∥线 面∥面 线⊥面 线⊥线 面⊥面 总结：线线，线面，面面平行关系图 线线平行 线面平行 面面平行 总结：线线，线面，面面垂直关系图 _ 线线垂直 线面垂直 面面垂直 _ _ a 题型1 【平行的判定】 题型2 【线线，线面，面面平行】 题型3 【线线，线面，面面垂直】 题型4 【平行关系的综合应用】 题型5 【垂直关系的综合应用】 题型6 【平行与垂直的综合应用】 题型一：平行的判定 1.（2024·全国甲卷）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或          ②若，则或 ③若且，则       ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 2．已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是（       ） A．，则 B．，，则 C．平面内的不共线三点到平面β的距离相等，则与平行 D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行 3．如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行于平面的是（　　） A． B． C． D． 4. 在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列四个推断：    ①平面；②平面； ③平面；④平面平面， 其中推断正确的序号是 . 题型二：线线，线面，面面平行 角度一：线面平行构造三角形中位线法 5． 角度二：线面平行构造平行四边形法 6. 如图，在四棱锥中，已知平面平面ABCD，，，，AE是等边的中线． （1）证明：平面． （2）若 7. 角度三：线面平行转化为面面平行 8. 9．如图，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且分别为的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连接 （1）证明：平面； （2）在翻折的过程中，当PA=4时，求二面角B-PC-D的余弦值 角度四：利用线面平行的性质证明线线平行 10. 如图所示，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）． （1）设平面与平面相交于直线，求证：； 11．如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的点． 若平面，求的值； 角度五：面面平行的判定 12． 角度六：面面平行的性质 13．四棱锥的底面是边长为2的菱形，，底面，，，分别是，的中点． 已知，若平面平面，求的值； 题型三：线线，线面，面面垂直 角度一：垂直性质的简单判定 1．已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（） A．若，且，则 B．若，，，则 C．若，且，则 D．若，，，则 2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　） A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α 3．如图，在四面体中，，，，，则四面体中存在面面垂直关系的对数为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 4． 角度二：证明线线垂直 5．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在棱上． （1）求四棱锥的全面积； （2）求证：． 6. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积． 角度三：证明线面垂直 7． 8．如图，在三棱锥中，已知平面ABC，，D为PC上一点，且． （1）若E为AC的中点，求三棱锥与三棱锥的体积之比； （2）若，，证明：平面ABD． 9. 10．在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，．连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置．如图2．证明：直线平面． 【方法技巧与总结】 垂直关系中线面垂直是重点． 线垂面哪里找 线垂面有何用 证明线面垂直常用两种方法． 方法一：线面垂直的判定． 线线垂直线面垂直，符号表示为：，那么． 方法二：面面垂直的性质． 面面垂直线面垂直，符号表示为：，那么． 角度四：证明面面垂直 （利用定义证明面面垂直） 11. （利用判定定理证明面面垂直） 12. 13．如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且. (1)证明：平面平面； 14．如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，，，，F分别是棱的中点，二面角为． 证明：平面平面 题型四：平行关系的综合应用 1．已知正方体中，､分别为对角线､上的点，且． （1）求证：平面； （2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明． 2. 如图、三棱柱的侧棱垂直于底面，是边长为2的正三角形，，点在线段上且，点是线段上的动点．当为多少时，直线平面？ 3. 如图，在四棱锥中，为边的中点，异面直线与所成的角为． （1）在直线上找一点，使得直线平面，并求的值； 4. 如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点． （1）求证：平面； （2）已知点在上满足平面，求的值． 【解题方法总结】 证明平行关系的常用方法 熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法． 题型五：垂直关系的综合应用 1．如图，在直三棱柱中，，． （1）试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程； 2．如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面三角形是等边三角形）中，，、、分别是，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在一点使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由． 3．如图，在三棱锥A﹣BCD中，顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E为CD的中点． （1）求证：AD⊥平面ABC； （2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值； （3）已知P是平面ABD内一点，点Q为AE中点，且PQ⊥平面ABE，求线段PQ的长． 4．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2． （1）求证：C1E平面ADF； （2）设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF． 【解题方法总结】 （1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． （2）对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证． 题型六：平行与垂直的综合应用 1. 2. 五、课堂小结 1、掌握直线，平面平行的判定和性质 2、掌握直线，平面垂直的判定和性质 3、掌握直线，平面平行和垂直的综合应用 六、家庭作业 一、单选题 1．设，为两个平面，则的充要条件是　　 A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面 2．已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（） A．若，且，则 B．若，，，则 C．若，且，则 D．若，，，则 3．在正方体中，，分别为，的中点，则　　 A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 4．如图，已知正方体，，分别是，的中点，则　　 A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线相交，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 二、解答题 2. 3．如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求： （1）正四棱锥的表面积； （2）侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 4．如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点． 证明：PO⊥平面ABC； 5．如图，在三棱柱中，，． （1）证明：平面平面． （2）设P是棱上一点，且，求三棱锥体积． 6．如图，在矩形中，，点为边的中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，使得，连结，，． 证明：平面平面； 7．如图，在直三棱柱中，，，F为棱上一点，，连接AF，． 证明：平面平面； 七、总结反思 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$