精品解析：上海市曹杨中学2024-2025学年高一下学期5月考试数学试卷

曹杨中学高一月考数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知向量、，则等于______. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 2. 函数的最小正周期是_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦的周期公式直接求解即可 【详解】的最小正周期为， 故答案为： 3. 若角是第四象限角，则______． 【答案】－1 【解析】 【分析】根据在第四象限三角函数的符号，化简计算y值. 【详解】因为角是第四象限角，所以，，， 所以． 故答案为：-1. 4. 曲线在处的切线斜率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，然后分别计算在处的函数值和导数值，最后可得结果. 【详解】由题可知：，所以， 所以曲线在处的切线斜率为2 故答案为：2 5. 下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是____（填序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由零向量的定义、向量相等的条件、向量共线的条件、向量模的定义，判断各说法是否正确. 【详解】由零向量的定义可知，①正确； 时，不知道两个向量的方向，不能得到或，②错误； 两个向量共线，与模是否相等无关，③错误； 当时，满足，，但不能得到，④错误. 故答案为：②③④ 6. 设函数在点处可导，且，则的值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】， 故答案为：4 7. 如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______. 【答案】 【解析】 【分析】将角度化为弧度，结合任意角概念表示出来即可. 【详解】因为，， 结合图像可看作范围内的角，结合任意角的概念可表示为 . 故答案为:. 8. 函数，的单调减区间为______. 【答案】和 【解析】 【分析】先根据诱导公式化简函数解析式，根据正弦函数图像的性质，求出函数的单调减区间，判断在上的减区间. 【详解】由题意知，所以函数的单调减区间就是的单调增区间， 已知得单调增区间为， 得，解得， 当时，增区间为，当时，增区间为， 所以在上的单调增区间为和， 即在上的单调减区间为和， 故答案为：和. 9. 若函数在上严格减，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】求导得到，则在恒成立，得到答案. 【详解】由题意知，则在恒成立，即，故. 故答案为： 10. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则实a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先设切点为，利用导数与切线斜率的关系表示出切线方程，再根据切线经过坐标原点，将坐标原点代入切线方程所得方程有2个不同的根，即可求解. 【详解】设切点坐标为：，， 所以切线斜率为， 即切线方程为， 又切线过坐标原点，所以， 整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个解， 所以，解得 故答案为： 11. 已知，其中.若函数在区间上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据在区间上有且只有一个最大值点和一个最小值点，可得，求解即可． 【详解】，由，得， 若函数在区间上有且只有一个最大值点和一个最小值点， 则只需，解得． 故答案为： 12. 设定义在上的奇函数的导函数为，已知，当时，，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】令，函数为偶函数，当时，，确定函数单调性，，等价于或，解得答案. 【详解】令，取，则函数为偶函数， 当时，，故，即， 由偶函数性质知，函数在是严格减函数，在是严格增函数， 又，故等价于或， 解得． 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. “”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】当时是奇函数，反之不成立，可判断出答案. 【详解】当时是奇函数, 当函数是奇函数时，， 所以函数是奇函数时，不能推出 故“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的奇偶性的性质是解决本题的关键．属于基础题. 14. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，令导数大于等于零，解不等式即可. 【详解】 令 ，得 ， ∴当 时， 单调递增， 故选：D. 15. 已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C. 函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D. 函数的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断. 【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增， 又a<b<c，所以，故A不正确． 因为，，且当时，；当c<x<e时，； 当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确． 由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确． 故选：C． 16. 从点可向曲线引三条不同切线，则t的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设切点为，利用，列出方程，从而将问题转化成函数有3个不同零点，借助于求导判断单调性，求出极值，作出图象得到不等式，求解即得. 【详解】设切点为，其中由求导得， 则 ，依题意，方程有三个不同的解. 设，则该函数有三个不同零点. 因，由，则或， 令，则或，令，则， 则函数在区间单调递减，在区间上单调递增， 当时，，当时，， 则函数在时取得极大值，在时取得极小值，如图所示： 由图知，函数有三个不同零点等价于， 解得. 故选：A． 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知函数是函数的一个极值点． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1）函数的增区间为和，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值的定义，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合函数最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 因为是函数的一个极值点， 所以，即， 当时，解得或， 所以在和上单调递增； 当时，解得，所以在上单调递减， 因此是函数的一个极值点， 所以函数的增区间为和，减区间为； 【小问2详解】 由（1）可知：函数的增区间为和，减区间为， 所以是函数的极小值点，且， 所以是函数的极大值点，且， 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 因为，， 所以当时，函数的最小值为. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线上在点处的切线方程； （2）若在上单调递减，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）求导，在上单调递减，则在上恒成立，分离常数得在上恒成立，构造函数，求出其最小值即可. 【小问1详解】 当时，， 则， 则， 所以曲线上在点处的切线方程为； 【小问2详解】 ， 因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令， 因为在上都是减函数， 所以函数在上是减函数， 所以， 所以. 19. 已知. （1）若函数的最小正周期为，求出的值以及函数的对称轴； （2）将函数图像上所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到函数，若在区间内不存在零点，求的取值范围. 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】（1）运用降二倍角公式及辅助角公式进行化简，再由最小正周期可求出，利用整体的思想可求出函数的对称轴； （2）根据题意求出的表达式，利用整体的思想，结合正弦函数的图象列出不等式可求出的取值范围. 【小问1详解】 ， 因为函数的最小正周期为， 所以，解得，所以的值为1． 此时，令，解得， 所以函数的对称轴方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，依题意， 因为，所以， 若在区间内不存在零点，则 解得 当时，，又，故； 当时，； 当为其它整数时，无解， 综上所述：. 20. 已知 （1）化简函数并计算的值； （2）若，.且，，求的值. （3）已知、、为的内角.若，求的最小值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式和商的关系化简，然后求函数值； （2）利用正切的和差公式计算； （3）根据得到，然后利用基本关系、正弦定理和余弦定理化简得到，最后利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 由，，得，， 所以， 因为，，所以，且， 得，则，所以. 【小问3详解】 ， 又，所以， 所以，由正弦定理得， 又余弦定理，即，所以， 由余弦定理， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 21. 已知函数 . （1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值; （2）设，若函数在区间为严格递减函数时，求实数的取值范围; （3）对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）严格单调递减即，对导函数参数分离，构造新函数求解； （3）有2个极值点等价于导函数有2个零点，并运用韦达定理对代数式作变换，构造新函数，根据新函数的单调性求解. 【小问1详解】 ， 则，， 在点的切线过原点， ，即，解得； 【小问2详解】 . 则，函数在上严格单调递减， 转化为，即对上的任意实数恒成立， 令，则， 由 得，由得， 由得，在上单调递增，在上单调递减， 又当时.时，，， 当时，，故实数a的取值范围是； 【小问3详解】 ，函数有2个极值点等价于在时有2个零点； 即 在上有两个不同的根， ，解得， 不等式恒成立，即， 又 ， 令， 所以，又恒成立， 即在区间单调递减， ； 综上，（1），（2）实数a的取值范围是，（3）的取值范围是. 【点睛】本题的难点在于对不等式作出代数变换，由2个变量 转化为一个变量a，由a得范围来确定的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曹杨中学高一月考数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知向量、，则等于______. 2. 函数的最小正周期是_________ 3. 若角是第四象限角，则______． 4. 曲线在处的切线斜率为_________． 5. 下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是____（填序号）． 6. 设函数在点处可导，且，则的值为______. 7. 如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______. 8. 函数，的单调减区间为______. 9. 若函数在上严格减，则a的取值范围是________． 10. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则实a的取值范围为______. 11. 已知，其中.若函数在区间上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围为__________. 12. 设定义在上的奇函数的导函数为，已知，当时，，则不等式的解集为________． 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. “”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 15. 已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C. 函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D. 函数的最小值为 16. 从点可向曲线引三条不同切线，则t的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知函数是函数的一个极值点． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的最小值． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线上在点处的切线方程； （2）若在上单调递减，求实数m的取值范围. 19. 已知. （1）若函数的最小正周期为，求出的值以及函数的对称轴； （2）将函数图像上所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到函数，若在区间内不存在零点，求的取值范围. 20. 已知 （1）化简函数并计算的值； （2）若，.且，，求的值. （3）已知、、为的内角.若，求的最小值. 21. 已知函数 . （1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值; （2）设，若函数在区间为严格递减函数时，求实数的取值范围; （3）对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $