22.1 比例线段 课件2024-2025学年沪科版九年级数学上册

22.1 比例线段 1 知识点 两条线段的比 　　观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同？理由是什么？ 　　两个长方形的形状是否相同，与它们的长、宽比是否相等有关.为此，需要研究线段的比. 目标导学，自主提炼 形状相同，大小不同 形状不同，大小不同 相似 用同一个长度单位去度量两条线段a,b得到它们的长度. a b 我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比. a b 记作 或 . a∶b 6 3 4 2 4 3 问题 观察以上三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不同，但形状是相同的？理由是什么？ 度量单位一致时，我们把线段长度之比叫做线段之比！ 回答 第1个和第2个长方形的大小不同，形状相同。因为这两个长方形长边长度之比等于短边长度之比。 成比例线段 概念学习 线段的比 如果选用同一度量单位，量得线段a和b的长度分别为m和n，我们就把m和n的比叫做a和b的比，记作 成比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于b与c的比，即 ，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，此时也称这四条线段成比例。 比例的基本性质 十 字 交 叉 内项×内项=外项×外项 快问快答 1.已知a=6cm，b=8cm，那么线段a与b的比为 。 2.已知m=20，n=10，那么m：n= 。 3.如图，AB=15cm，AC=8cm，那么 。 4.若a=1，b=2，c=3，d=x，且 ，则 x = 。 3:4 2:1 A B C 6 5.快速判断下列四组线段是否是成比例选段。 （1）a=3，b=6，c=2，d=4 （2）a=1，b=2，c=3，d=4 （3）a=27，b=30，c=9，d=10 （4）a=12，b=7，c=1.5，d=56 快问快答 tips 用最短的线段长乘最长的线段长，再计算中间两条线段长度的乘积。积相等，成比例，积不相等，不成比例。 ∵2×6=3×4 ∴成比例 ∵1×4≠2×3 ∴不成比例 ∵9×30=27×10 ∴成比例 ∵1.5×56=7×12 ∴成比例 概念学习 提问 如果 ，那么ac = ？ 比例中项 如果 ，即 ，就把 b 叫做a，c的比例中项。 快问快答 1.已知 ，则 2.已知 a=2， b=8，求a，b的比例中项。 3.已知a=1，c=3，求a，c的比例中项 a，b的比例中项为4或-4 a，c的比例中项为 方法学习 提问 如果 ，那么 =？ tips 当看到比例或比值时，使用“设k法”书写解题思路，方便又准确！ A. 1. 如果线段 a=10cm, b=30cm,那么 的值为 （ ）. a b B. C. 1 3 3 1 30 1 3 D. cm A 练习 A. 2. 如果线段 c=4cm, d=60mm,那么 的值为 （ ）. c d B. C. 3 2 2 3 1 15 2 3 D. cm d=6cm,单位要统一 B 练习 注意： 1.计算两条线段的比时,单位必须统一;2.两条线段的比有顺序,不可颠倒; 在四条线段 a,b,c,d 中,如果其中两条线段 a,b 的比,等于另外两条线段 c,d 的比. a b c d 或 a∶b = c∶d a b c d = 那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 线段 a,b,c,d 叫做组成比例的项,线段 a,d叫做比例外项,线段 b,c 叫做比例内项. a∶b = c∶d 比例内项 比例外项 如果 a=10cm,b=0.2m,c=30mm,d=6cm,则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. C 练习 如果作为比例内项的两条线段是相等的,即线段 a,b,c 之间有 a∶b=b∶c, 那么线段 b 叫做线段 a,c 的比例中项. 1. 如果线段a=32cm,b=8cm,那么a和b的比例中项是（ ） A.20cm B.18cm C.16cm D.14cm C 随堂演练 2. 延长线段AB到点C,使 BC=AB.求： （1）AC∶AB （2）AB∶BC （3）BC∶AC A B C （3）BC∶AC=1∶2 （1）AC∶AB=2∶1 （2）AB∶BC=1∶1 比例线段 两条线段的比： 比例线段 ①长度单位统一; ②与单位无关,本身没有单位; ③两条线段有顺序要求; ①概念：项、比例内项、比例外项; ②四条线段有顺序要求; ③比例中项. 课堂小结 探究黄金分割点 活动2 A B C 一条线段AB上有一点C,将线段分成两条线段，如果较短的线段与较长的线段的比等于较长的线段的比相等，我们就称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫做黄金分割比。 探究活动 探究黄金分割点 活动2 C A B C1 A B x 1-x 1 解得： 思考： 1.一条线段上的黄金分割点有几个？可以怎么描述？ 2.如果点C是线段AB的黄金分割点，那么较短的线段与原线段的比值是什么呢？ C2 探究活动 探究黄金分割点 活动2 A B C x 1-x 1 精确值 近似值 例2： 东方明珠塔，塔高468米.在设计的最初，设计师将塔身设计为直线型，后来，为了使平直单调的塔身变得丰富多彩,更协调、美观，设计师决定在靠近塔尖的黄金分割点处设计一个球体，请你计算这个球体距离地面的高度．（精确到百分位） A B C 知识运用 知识运用 (1)基本性质 如果 ,那么 ad=bc(b,d≠0). 反之也成立,即 如果 ad=bc,那么 (b,d≠0). (2)合比性质 思 考 如果 (k为常数), 那么, (b,d≠0) 成立吗? (3)等比性质 思 考 如果 ,且 , 那么, 成立吗? b1+b2+···+bn≠0 设 ,得 a1=b1k, a2=b2k, ···, an=bnk, 代入待证明的等式左边,提取公因式并约分即得等比性质. 例1 已知: 如图,在△ABC中, . 求证:(1) ;(2) . A B C D E 例2 在地图或工程图纸上,都标有比例尺,比例尺就是图上长度与实际长度的比.现在一张比例尺为 1∶5000 的图纸上,量得一个 △ABC 的三边:AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm.问这个图纸所反映的实际 △A′B′C′ 的周长是多少? A B C 例3 如图,已知线段 AB 长度为a,点 P 是 AB上一点,且使 AB∶AP =AP∶PB.求线段 AP 的长和 . A P B 把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割. A P B AB∶AP =AP∶PB 归纳总结 A P B AB∶AP =AP∶PB 分割点叫做这条线段的黄金分割点. 比值 叫做黄金数. 1. 若 , 则 _____. 2. 如果 , 那么 _____. 9 随堂演练 3.已知三个数 , 请你再添上一个(只填一 个)数, 使它们能构成一个比例式, 则这个数是_________________. 4.已知 , b+d+f ≠ 0,求 的值. 5. 已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点,BC = AC + 2,求线段 AC 的长. A C B 解 由题意,得 AB∶BC = BC∶AC ∵BC = AC +2, . ∴ . 说一说:什么是平行线等分线段定理? 如果一组平行线在一条直线截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 新课导入 下面看一个特例,如图,直线DE平行于△ABC的一边BC,并分别交另两边AB,AC(或它们延长线)于点D,E.根据上面基本事实,得 A C B D E A D B C E A C B D E A D B C E 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线),所得的对应线段成比例. 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线),所得的对应线段成比例. 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 课堂小结 $$