专题09 随机变量及其分布（8种题型）-2024-2025学年高二数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019选择性必修）

专题09 随机变量及其分布（8种题型） 【题型1 条件概率的性质及应用】 【题型2 全概率公式和贝叶斯公式】 【题型3 离散型随机变量的均值与方差】 【题型4 二项分布中的概率最值】 【题型5 求二项分布的分布列】 【题型6 求超几何分布的分布列】 【题型7 正态分布对称性的应用】 【题型8 正态分布的综合应用】 【题型1 条件概率的性质及应用】 1．（23-24高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】因为，，则， 又，即， 所以，故B错误； ，，∴， ∴，故A错误； ，，∴，故C正确. 因为， ，∴，∴， ∴，故D错误. 故选：C. 2．（2024·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，由可得，再结合可求出，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】，， 又，，故C错误； ，，，故A正确； ，，故B正确； ，故D正确. 故选：C. 3．（24-25高二上·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，再根据可得，结合求解即可. 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得，所以. 故选：A 4．多选题（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据求出，即可判断A；由判断B，由条件概率公式判断C、D. 【详解】因为，，， 且， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC 5．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知，，则 . 【答案】 【分析】求出的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，. 故答案为：. 6．（2025·四川巴中·一模）甲乙两人进行投篮比赛，要求各投篮2次.已知甲乙两人每次投中的概率分别为，，且每人每次投中与否互不影响. (1)求“甲第一次未投中，乙两次都投中”的概率； (2)求“乙获胜”的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)结合随机事件的概率求解即可(2)结合随机事件“乙获胜”分为甲投中次，乙投中1次或者两次，和甲投中1次，乙投中两次两种情况结合全概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件“甲第一次未投中，乙两次都投中”为事件 则 （2）设事件“乙获胜”为事件 则 【题型2 全概率公式和贝叶斯公式】 1．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式求得正确答案 【详解】令事件A为“从甲箱中取出一个球是红球”， 事件B为“从甲箱中取出一个球是白球”， 事件C为“从甲箱中取出一个球是黑球”， 事件D为“从乙箱中取出一个球是红球”， 则， 所以 ， 故选；B 2．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 【答案】B 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件求出所需事件的概率，依据全概率公式求解. 【详解】设“解出第一问”为事件，“解出第二问”为事件， 由题意可得：， 则， 所以. 故选：B. 3．（24-25高二下·福建福州·期中）随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解概率即可. 【详解】设事件示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件“表示迟到”， 由题意可知：，，，， 则，， 若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是． 故选：B 4．（24-25高三上·云南德宏·期末）已知一道解答题共有两小问，第一问7分，第二问8分，高三（2）班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 【答案】B 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件求出所需事件的概率，依据全概率公式求解. 【详解】设“解出第一问”为事件，“解出第二问”为事件， 由题意可得：， 则， 所以. 故选：B. 5．多选题（24-25高三上·安徽芜湖·期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（   ） A．若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B．若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.18 C．若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D．若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 【答案】BCD 【分析】设出对应事件，根据条件概率和全概率公式计算即可得解. 【详解】根据题意，设事件为“发送信号0”，事件为“发送信号1”，事件为“接收信号为0”，事件为“接收信号为1”， 则，，，. 若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为 ，A错误； 若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为 ，B正确； 若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为 ，C正确； 接收信号为1的概率为 ，解得 即发送信号为1的概率为0.8，D正确. 故选：BCD. 6．（24-25高二下·广东·期中）在一堂数学选修课上，老师和学生玩一个数学游戏，老师将一根彩色粉笔放入四个盒子中的某一个，让学生猜测粉笔在哪个盒子中，在学生作出选择之后，数学老师会随机在其他三个盒子中先揭示一个没有粉笔的盒子，询问学生是否改变选择，在学生最终敲定选择后，老师揭示答案，若该同学选择了盒为答案，则在数学老师揭示粉笔不在盒的条件下，粉笔最终在盒的概率为 ． 【答案】/0.375 【分析】分析概率题要善于用字母表示事件，可用分别表示粉笔在四个盒子， 用分别表示老师打开四个盒子，则， 因为学生选择了盒为答案，可得，，，， 再由全概率公式可算得，由此可算得即得答案. 【详解】用分别表示粉笔在四个盒子，用分别表示老师打开四个盒子， 则，，，，， 由全概率公式可得， 而，故． 故答案为：. 7．（2025·上海奉贤·二模）盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ． 【答案】 【分析】由题意，根据古典概型求得概率，结合全概率公式，可得答案. 【详解】由题意可设{第一次取得红球}，{第一次取得白球}， {第二次取得红球}，{第二次取得白球}， 易知，，，， 所以. 故答案为：. 8．（24-25高三上·浙江宁波·期末）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球． (1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； (2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先求出从甲箱中任取2个小球的事件数，再求出这2个小球同色的事件数即可得出； （2）先求出从从甲箱中取出的2个小球的各种情况的概率，再利用条件概率公式求解. 【详解】（1）从甲箱中任取2个小球的事件数为， 这2个小球同色的事件数为， 所以这2个小球同色的概率为． （2）设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”， 则事件，，彼此互斥． ，，， ，，， 所以 ， 所以取出的这个小球是白球的概率为． 【题型3 离散型随机变量的均值与方差】 1．（24-25高二上·河南南阳·期末）盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】分析的所有可能取值并计算对应的概率，根据公式计算的期望进而计算. 【详解】由题意得，的所有可能取值为， ， ， 所以的期望为， 所以． 故选：B. 2．（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据随机变量分布列的性质列式求出，计算，再根据期望，方差的性质计算求解. 【详解】由离散型随机变量的性质可得，解得， 则 ，， 所以 ，． 故选：A. 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知一组数据1，1，2，3，5，2，1的第60百分位数为，且随机变量的分布列为 0.5 0.4 0.3 0.3 则 ， ． 【答案】 2 2 【分析】先求的值，再求的期望. 【详解】将数据1，1，2，3，5，2，1按照从小到大的顺序排列为1，1，1，2，2，3，5， 因为，所以 故答案为：2；2. 4．（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知随机变量的分布列如表: 1 2 若，则 【答案】 【分析】根分布列的性质求出、，从而求出，再根据方差的性质求出，即可求出. 【详解】依题意，解得， 所以， 所以，则. 故答案为： 【题型4 二项分布中的概率最值】 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（    ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用n次独立重复试验中，小球掉入号格子的概率为，设小球掉入k号格子的概率最大，则，再利用组合数公式，结合题目已知条件进行求解. 【详解】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为； 小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为； 小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为； 小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为； 依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右k次，概率为， 设小球掉入k号格子的概率最大，显然， 则，即， 即 解得， 又k为整数，， 则小球落入7号格子的概率最大. 故选：C 2．（23-24高二下·吉林白山·期末）已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解. 【详解】由题得， 由题知在中，最大值只有， 即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知. 故选：. 3．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知随机变量，则概率最大时，的取值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据二项分布的随机变量取值的概率公式建立不等关系，可得最大值时的． 【详解】依题意， 由， 即，解得或. 故选：C. 4．（21-22高二下·广东云浮·期末）已知，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得到方程，求得，结合n的取值，可得答案. 【详解】由题意可知， 因为，所以， 整理得，即， 又，且，所以， 故选：B 5．（21-22高二下·山东枣庄·期末）某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】若最大，则，解出的范围，代入数值. 【详解】因为 ，若最大，则 ，化简得： ， . 代入已知数值得： ，所以 时最大. 故选：C. 6．（21-22高二下·山东淄博·期末）若，则取得最大值时，（    ） A．4或5 B．5或6 C．10 D．5 【答案】D 【分析】根据二项分布的概率公式得到，再根据组合数的性质判断即可； 【详解】解：因为，所以， 由组合数的性质可知当时取得最大值，即取得最大值，所以； 故选：D 7．（24-25高二上·河南南阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时， ． 【答案】7 【分析】根据二项分布的期望和方差公式求出，再利用不等式法求概率的最大值. 【详解】依题意，得解得， 故，所以． 当最大时， 即 即整理得 解得，而，因此． 8．（22-23高二下·江苏淮安·期中）经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则取得最大值时的值为 . 【答案】 【分析】由已知可得，，根据二项分布的分布列公式求出时的概率，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，. 则，，，，，， 所以，当时，取得最大值. 故答案为：. 【题型5 求二项分布的分布列】 1．多选题（24-25高二上·江西赣州·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据分布列的性质列方程求，由期望和方差的定义求，再由期望和方差的性质求，由此确定正确选项. 【详解】由分布列的性质可得， 所以，此时， 所以， ， 所以，. 故选：ABD. 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）某地举行“庆元旦”抽奖活动，奖池中只有“幸运奖”和“安慰奖”两种奖项，已知每次抽奖抽中“幸运奖”得奖金30元，抽中“安慰奖”得奖金10元，累计奖金不少于50元时，停止抽奖，设甲每次抽中“幸运奖”的概率为，抽中“安慰奖”的概率为，且每次抽奖结果相互独立． (1)记甲抽奖2次所得的累计奖金为X，求X的分布列和数学期望； (2)求甲恰好抽奖3次后停止抽奖的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2)． 【分析】（1）求出X的可能取值，并求出对应的概率，写出分布列，利用数学期望的定义计算即可. （2）甲恰好抽奖3次后停止抽奖的情况有两种：①甲抽中“幸运奖”1次，抽中“安慰奖”2次，②甲抽中“幸运奖”2次，抽中“安慰奖”1次，且第3次抽中“幸运奖，利用独立事件概率的乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可. 【详解】（1）的所有可能取值为． 且， 所以X的分布列为 X 20 40 60 P 故. （2）设“甲恰好抽奖3次后停止抽奖”为事件， 甲恰好抽奖3次后停止抽奖，则甲累计奖金为50元或70元. ①若甲累计奖金为50元，则甲抽中“幸运奖”1次，抽中“安慰奖”2次， 其概率为. ②若甲累计奖金为70元，则甲抽中“幸运奖”2次，抽中“安慰奖”1次，且第3次抽中“幸运奖”， 其概率为. 所以. 3．（2025·河南焦作·二模）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． (1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； (2)设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）3次射击中甲恰好比乙多击中目标2次，分别为甲击中目标2次且乙击中目标0次与甲击中目标3次且乙击中目标1次，分别求出其概率，再相加即可； （2）甲的设计过程可看作独立重复试验，所以，根据二项分布即可求解. 【详解】（1）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件， 则， 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为． （2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且 ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． 4．（24-25高二上·陕西渭南·期末）设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7，0.6和0.5． (1)若三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率； (2)若甲单独向目标射击三次，求命中次数X的分布列和均值． 【答案】(1)0.94 (2)分布列见解析，2.1 【分析】（1）先求出三人都不命中目标的概率，再用1减去这个概率就能得到至少有一人命中目标的概率.（2）甲单独射击三次，命中次数X服从二项分布，根据二项分布的概率公式求出X取不同值时的概率，进而列出分布列，再根据均值公式求出均值. 【详解】（1）设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C， 由题知，， , 若三人各向目标射击一次, 则至少有一人命中目标的概率 ． （2）易知X的所有可能取值为0，1，2，3， 当时，三次射击都没命中，此时； 当时，三次射击中有一次命中，此时； 当时，三次射击中有两次命中，此时； 当时，三次射击都命中，此时， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 ． 5．（24-25高三上·重庆·期末）某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图. (1)估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）; (2)以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图计算均值即可； （2）根据二项分布可得，再根据二项分布求解概率分布列与期望即可. 【详解】（1）， 故均值为29． （2）设1次试验中正确识别图像数量不少于20个的概率为， 则，则， ； ， 列的分布列如下： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 6．（2024·陕西商洛·一模）甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．假设每局比赛结果互不影响． (1)求比赛进行四局且甲获胜的概率： (2)比赛结束时、甲、乙共进行了局比赛，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）根据比赛规则可知前三局中，甲获胜两局，乙获胜一局，第四局甲获胜满足题意，计算可得结果； （2）求得的所有可能取值分别是3，4，5对应的概率，可得分布列及期望值. 【详解】（1）由题意可知前三局中，甲获胜两局，乙获胜一局，第四局甲获胜， 则所求概率 （2）由题意可知的所有可能取值分别是3，4，5． 则的分布列为 3 4 5 故． 【题型6 求超几何分布的分布列】 1．（23-24高二下·甘肃·期末）某种专业技能资格考核分，，三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元．已知每个参加考核的人通过，，三个项目考核的概率分别为，，，且每个项目考核是否通过相互独立．现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核． (1)求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率； (2)记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为，求的分布列与期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望. 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算即得. （2）由（1）中信息，求出的可能值，利用二项分布求出分布列及期望. 【详解】（1）甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率； 甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元， 概率， 所以甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为. （2）由（1）知，不需要培训就获得资格证书的概率为， X的可能取0，1，2，3，显然， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. 2．（24-25高二上·江西·期末）为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）写出X可能取值和对应的概率，得到分布列； （2）在（1）基础上，记其前n轮的累计得分为，求出，，相加得到概率. 【详解】（1）由题意得，随机变量X可取的值为2，3，4， 易知，，， 则随机变量X的分布列如下： X 2 3 4 P （2）由（1）可知，参与者每轮得2分，3分，4分的概率依次为，，， 记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为， 若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得3分，则； 若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，有“”，“”的情形， 则； 若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为9分，有“”，“”的情形， 则. 记“甲能够领取纪念品”为事件A， 则. 3．（24-25高二上·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球. (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）应用超几何分布的概率公式求概率即可. （2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可. 【详解】（1）所求概率为 （2）X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 4．（24-25高三上·江苏·期末）某新能源汽车公司对其销售的A，B两款汽车向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车消费者中各随机抽取10名进行评分调查满分100分，评分结果如下： 数据Ⅰ型车，81，73，80，81，77，86，85，90，； 数据Ⅱ型车，76，81，67，72，87，86，95，93， (1)求数据Ⅰ的25百分位数； (2)该公司规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的消费者中随机抽取3人沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中购买B型车的消费者人数为X，求X的概率分布及数学期望. 【答案】(1)77 (2)分布列见解析， 【分析】（1）将数据从小到大排列，根据百分位数的定义进行求解即可； （2）的所有可能取值为1，2，3，求出对应的概率，即可得出分布列和数学期望. 【详解】（1）将数据Ⅰ从小到大排列为：67，73，77，80，81，81，85，86，90， 因为，所以数据Ⅰ的25百分位数为77； （2）数据Ⅰ中75分以下的有67分，73分； 数据Ⅱ中75分以下的有61分，67分，72分， 所以上述不满意的消费者共5人，其中 A车型中2人， B车型中3人. 所以X的所有可能取值为1，2， ， 所以X的概率分布为 X 1 2 3 P 数学期望 5．（24-25高三上·广东汕头·期末）某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可. （2）利用超几何分步计算的分布列和数学期望可得结果. （3）根据题意可知，利用二项分布期望公式计算可得结果. 【详解】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件， 则. （2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3. ，，，， ∴的分布列为： ∴. （3）由题意得，， ∴. 6．（23-24高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】(1)由题意知，甲乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二次项分布，分别列出分布列，计算均值即可； (2)结合分布列中数据，分别计算对应的均值，方差以及至少正确两题的概率比较大小即可. 【详解】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3， ， 所以ξ的分布列为： ξ 1 2 2 P 则； 设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知， 所以， ， 所以η的分布列为： η 0 1 2 3 P 所以． （2）由(1)知， ， ， ， 所以，， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大． 【题型7 正态分布对称性的应用】 1．（24-25高二下·云南昆明·期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的正态曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于，随机变量服从正态分布，且， 所以随机变量的方差，故错误； 对于，根据给定的正态分布密度曲线图象，可得，， 所以，故正确； 对于，根据正态分布密度曲线图象，可得时随机变量对应的曲线与轴围成的面积小于时随机变量对应的曲线与轴围成的面积， 所以，故错误； 对于，根据正态分布密度曲线图象，可得，， 即，所以D错误. 故选：. 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，若，，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】C 【分析】利用正态分布曲线的性质，再根据条件，即可求出结果. 【详解】解析：由已知得正态曲线关于直线对称，， ，解得， 故选：C． 18．（23-24高二下·吉林松原·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分析可知，结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】因为，则，可知， 又因为，所以. 故选：A. 3．（24-25高二下·河南三门峡·期末）设随机变量服从正态分布，且，若，则 . 【答案】0.5/ 【分析】根据正态分布的性质，即正态分布曲线关于均值对称，结合已知条件求出的值. 【详解】已知随机变量服从正态分布，根据正态分布的性质可知，正态分布曲线关于均值对称. 因为，，且，根据正态分布曲线的对称性可知，3.5与关于对称轴对称. 已知3.5与关于对称，所以，可得：， 移项可得：. 故答案为：0.5. 4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知，若，则实数 . 【答案】4 【分析】利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为，，所以， 根据对称性可得：，所以， 故答案为：4 【题型8 正态分布的综合应用】 1．（23-24高二下·重庆·期末）某种袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若某超市购入2000袋这种大米，则该种袋装大米的质量的袋数约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正态分布的性质求出，再用此概率乘以2000可得答案. 【详解】因为服从正态分布，且， 所以， 所以该种袋装大米的质量的袋数约为. 故选：B 2．（23-24高二下·重庆·期末）某次高二质量抽测中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有10000人，如果小明在这次考试中数学成绩为120分，则小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是（　　） 附：若，则， A．第228名 B．第455名 C．第1587名 D．第3173名 【答案】A 【分析】借助正态分布定义及正态曲线的性质计算可得，即可得解. 【详解】由，，， 则，故， ， 故小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是第228名. 故选：A. 3．（24-25高二上·辽宁·期末）某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在108~140之间的人数约为 . 【答案】900 【分析】利用正态曲线的对称性可求得答案. 【详解】由题意可知，, 因为成绩服从正态分布， 所以 所以跳绳成绩在108~140之间的人数约为. 故答案为：900. 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)6 【分析】（1）利用全概率公式计算； （2）求出分布列，然后根据定义计算期望值； （3）先利用正态分布的性质计算的概率，然后利用二项分布计算概率. 【详解】（1）设事件“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超过40次”， 则“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”， 事件“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级”  ， 由全概率公式：  ， ∴从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率为 （2）的可能取值为0，1，2  ， ， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 ； （3），  ， ，， ∴的数学期望约为6人. 5．（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示． 由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），． (1)试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）； (2)若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，数学期望与方差． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)159人 (2)分布列见解析，，． 【分析】（1）利用正态分布相关知识即可求解； （2）因为，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为，可得，然后求出对应的概率即可得解． 【详解】（1）样本中100名学生每周阅读时间的均值为： ， 即，又，所以， 所以， 所以全年级学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数大约为：（人） （2）因为，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为，可得， 故，，， ，，， 随机变量Y的分布列为： 0 1 2 3 4 5 故，． 6．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表： 分组 频数 5 15 40 40 15 5 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率． (1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在中的个数，求X的分布列和数学期望； (2)若变量S满足，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)能 【分析】（1）写出随机变量的可能取值，并求解每个值的概率，即可求解； （2）求出与的概率，即可求解. 【详解】（1）从这批零件中随机选取1件，长度在的概率’ 随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以； （2）由题意知，， ， ， 因为，， 所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布， 所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收． 7．（23-24高二下·陕西西安·期末）某新能源汽车制造企业为了了解产品质量﹐对现有的一条新能源零部件产品生产线进行抽样调查．该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件．检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到如图所示的频率分布直方图，其分组为，，，，，，． (1)从质量指标值在内的两组检测产品中，采用分层抽样的方法随机抽取5件，现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品不在同一组的概率． (2)若该项质量指标值X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①该项质量指标值低于30或高于92为不合格，若该生产线生产100万件零部件，试估计有多少件零部件不合格； ②若从该生产线上随机抽取3件零部件，设其中该项质量指标值不低于的零部件个数为Y，求随机变量Y的分布列与数学期望． 参考数据：，，． 【答案】(1) (2)①4.55万件；②分布列见解析， 【分析】（1）利用概率公式即可求解. （2）先求出平均数，写出正态分布，利用正态分布即可求解；先求出的概率，然后根据二项分布，即可求解. 【详解】（1）采用分层抽样的方法随机抽取的5件中，在内的有3件，在内的有2件． 记“抽取的2件产品不在同一组”为事件A，则． （2）①因为， 所以，且； 所以或 或 ， 所以若该生产线生产100万件零部件，则估计有万件零部件不合格． ②因为，所以，所以Y可以取0，1，2，3， ，， ，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 随机变量及其分布（8种题型） 【题型1 条件概率的性质及应用】 【题型2 全概率公式和贝叶斯公式】 【题型3 离散型随机变量的均值与方差】 【题型4 二项分布中的概率最值】 【题型5 求二项分布的分布列】 【题型6 求超几何分布的分布列】 【题型7 正态分布对称性的应用】 【题型8 正态分布的综合应用】 【题型1 条件概率的性质及应用】 1．（23-24高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 4．多选题（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知，，则 . 6．（2025·四川巴中·一模）甲乙两人进行投篮比赛，要求各投篮2次.已知甲乙两人每次投中的概率分别为，，且每人每次投中与否互不影响. (1)求“甲第一次未投中，乙两次都投中”的概率； (2)求“乙获胜”的概率. 【题型2 全概率公式和贝叶斯公式】 1．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 3．（24-25高二下·福建福州·期中）随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·云南德宏·期末）已知一道解答题共有两小问，第一问7分，第二问8分，高三（2）班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 5．多选题（24-25高三上·安徽芜湖·期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（   ） A．若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B．若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.18 C．若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D．若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 6．（24-25高二下·广东·期中）在一堂数学选修课上，老师和学生玩一个数学游戏，老师将一根彩色粉笔放入四个盒子中的某一个，让学生猜测粉笔在哪个盒子中，在学生作出选择之后，数学老师会随机在其他三个盒子中先揭示一个没有粉笔的盒子，询问学生是否改变选择，在学生最终敲定选择后，老师揭示答案，若该同学选择了盒为答案，则在数学老师揭示粉笔不在盒的条件下，粉笔最终在盒的概率为 ． 7．（2025·上海奉贤·二模）盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ． 8．（24-25高三上·浙江宁波·期末）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球． (1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； (2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率． 【题型3 离散型随机变量的均值与方差】 1．（24-25高二上·河南南阳·期末）盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知一组数据1，1，2，3，5，2，1的第60百分位数为，且随机变量的分布列为 0.5 0.4 0.3 0.3 则 ， ． 4．（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知随机变量的分布列如表: 1 2 若，则 【题型4 二项分布中的概率最值】 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（    ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24高二下·吉林白山·期末）已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知随机变量，则概率最大时，的取值为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（21-22高二下·广东云浮·期末）已知，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高二下·山东枣庄·期末）某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（21-22高二下·山东淄博·期末）若，则取得最大值时，（    ） A．4或5 B．5或6 C．10 D．5 7．（24-25高二上·河南南阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时， ． 8．（22-23高二下·江苏淮安·期中）经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则取得最大值时的值为 . 【题型5 求二项分布的分布列】 1．多选题（24-25高二上·江西赣州·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）某地举行“庆元旦”抽奖活动，奖池中只有“幸运奖”和“安慰奖”两种奖项，已知每次抽奖抽中“幸运奖”得奖金30元，抽中“安慰奖”得奖金10元，累计奖金不少于50元时，停止抽奖，设甲每次抽中“幸运奖”的概率为，抽中“安慰奖”的概率为，且每次抽奖结果相互独立． (1)记甲抽奖2次所得的累计奖金为X，求X的分布列和数学期望； (2)求甲恰好抽奖3次后停止抽奖的概率． 3．（2025·河南焦作·二模）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． (1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； (2)设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 4．（24-25高二上·陕西渭南·期末）设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7，0.6和0.5． (1)若三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率； (2)若甲单独向目标射击三次，求命中次数X的分布列和均值． 5．（24-25高三上·重庆·期末）某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图. (1)估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）; (2)以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望. 6．（2024·陕西商洛·一模）甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．假设每局比赛结果互不影响． (1)求比赛进行四局且甲获胜的概率： (2)比赛结束时、甲、乙共进行了局比赛，求的分布列和期望． 【题型6 求超几何分布的分布列】 1．（23-24高二下·甘肃·期末）某种专业技能资格考核分，，三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元．已知每个参加考核的人通过，，三个项目考核的概率分别为，，，且每个项目考核是否通过相互独立．现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核． (1)求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率； (2)记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为，求的分布列与期望． 2．（24-25高二上·江西·期末）为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. 3．（24-25高二上·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球. (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 4．（24-25高三上·江苏·期末）某新能源汽车公司对其销售的A，B两款汽车向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车消费者中各随机抽取10名进行评分调查满分100分，评分结果如下： 数据Ⅰ型车，81，73，80，81，77，86，85，90，； 数据Ⅱ型车，76，81，67，72，87，86，95，93， (1)求数据Ⅰ的25百分位数； (2)该公司规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的消费者中随机抽取3人沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中购买B型车的消费者人数为X，求X的概率分布及数学期望. 5．（24-25高三上·广东汕头·期末）某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求. 6．（23-24高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 【题型7 正态分布对称性的应用】 1．（24-25高二下·云南昆明·期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的正态曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，若，，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 18．（23-24高二下·吉林松原·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南三门峡·期末）设随机变量服从正态分布，且，若，则 . 4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知，若，则实数 . 【题型8 正态分布的综合应用】 1．（23-24高二下·重庆·期末）某种袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若某超市购入2000袋这种大米，则该种袋装大米的质量的袋数约为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·重庆·期末）某次高二质量抽测中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有10000人，如果小明在这次考试中数学成绩为120分，则小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是（　　） 附：若，则， A．第228名 B．第455名 C．第1587名 D．第3173名 3．（24-25高二上·辽宁·期末）某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在108~140之间的人数约为 . 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 5．（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示． 由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），． (1)试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）； (2)若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，数学期望与方差． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 6．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表： 分组 频数 5 15 40 40 15 5 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率． (1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在中的个数，求X的分布列和数学期望； (2)若变量S满足，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 7．（23-24高二下·陕西西安·期末）某新能源汽车制造企业为了了解产品质量﹐对现有的一条新能源零部件产品生产线进行抽样调查．该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件．检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到如图所示的频率分布直方图，其分组为，，，，，，． (1)从质量指标值在内的两组检测产品中，采用分层抽样的方法随机抽取5件，现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品不在同一组的概率． (2)若该项质量指标值X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①该项质量指标值低于30或高于92为不合格，若该生产线生产100万件零部件，试估计有多少件零部件不合格； ②若从该生产线上随机抽取3件零部件，设其中该项质量指标值不低于的零部件个数为Y，求随机变量Y的分布列与数学期望． 参考数据：，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$