专题08 计数原理章末题型归纳（13种题型）-2024-2025学年高二数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019选择性必修）

专题08 计数原理（13种题型） 【题型一 两种计数原理综合应用】 【题型二 排列数+与组合数的计算】 【题型三 排列组合之排数问题】 【题型四 排列组合之排队问题】 【题型五 排列组合之涂色问题】 【题型六 排列组合之分组分配问题】 【题型七 排列组合之定序问题】 【题型八 排列组合之多面手问题】 【题型九 二项展开式+的正用与逆用】 【题型十 二项展开式中的特定项】 【题型十一 二项式系数与项的系数和问题】 【题型十二 二项式系数与项的系数最值】 【题型十三 二项式定理的应用】 【题型一 两种计数原理综合应用】 1．如图，从（图中不能折返回）不同的走法有（    ） A．8种 B．6种 C．4种 D．2种 【答案】A 【分析】由图及分类，分步计数原理可得不同走法. 【详解】分为两类，不经过点有2种走法，经过点有种走法，共种走法. 故选：. 2．多选题从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中（    ） A．偶数有60个 B．比300大的奇数有48个 C．个位和百位数字之和为7的数有24个 D．能被3整除的数有32个 【答案】AC 【分析】根据分步、分类计算原理及排列组合的应用逐项验证即可. 【详解】对于A，要为偶数，个位可以为2或4或6，有3种情况，十位和百位在剩下的5种情况任取2个进行全排，所以共有个，故A正确； 对于B，比300大的奇数，首先百位要大于等于3，个位要为奇数， 当百位为3或5时，个位有2种情况，此时比300大的奇数有个， 当百位为4或6时，个位只有3种情况，此时比300大的奇数有， 所以比300大的奇数共有40个，故B错误； 对于C，个位和百位和为7的情况有或或，共3种情况， 则符合题意得三位数有，故C正确； 对于D，能被3整除，则三个数字之和为3的倍数，共有，， ，，，，八种情况， 所以能被3整除的数有个，故D错误； 故选：AC. 3．已知有4名工人分别在4个不同的岗位，现根据需要进行轮岗调整，则至少有3名工人岗位变动的轮岗方式种数有 . 【答案】17 【分析】根据分类加法原理和分步乘法原理求解即可. 【详解】分两类：当恰有3名工人岗位变动时，则先从4名工人中选出1名保持岗位不变， 剩余3名工人进行错位排列有种； 当4名工人岗位全部变动时，则不妨记4名工人分别为，对应的岗位分别为， 工人有3种岗位选择，若工人选择岗位时， 则工人选择对应的岗位为、或共3种轮岗方式， 同理工人选择岗位时有3种轮岗方式，工人选择岗位时有3种轮岗方式， 所以4名工人进行错位排列有种； 综上，共有种轮岗方式. 故答案为：17 4．某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数 . 【答案】 【分析】先安排数学与语文，再插空安排物理化学，最后根据乘法原理求结果. 【详解】先安排数学与语文有两种排法，产生三个空位， 从中选两个安排物理化学，有种排法， 所以星期一上午不同课程安排种数为. 故答案为： 【题型二 排列数+与组合数的计算】 1．（    ） A．92 B．102 C．120 D．148 【答案】A 【分析】利用排列数和组合数的计算公式求解即可. 【详解】. 故选：A. 2．计算的值是（   ） A．41 B．61 C．62 D．82 【答案】C 【分析】由排列数、组合数的计算公式即可求解. 【详解】， 故选：C 3．已知，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由排列数与组合数的计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】由排列数与组合数的计算公式，可得， 即且，解得. 故选：B. 4．计算下列各式. (1)； (2). 【答案】(1)600 (2)13 【分析】利用排列数与组合数的计算公式直接计算即可得结果. 【详解】（1）； （2）. 【题型三 排列组合之排数问题】 1．在单层书架上有五本书，分别是《三国演义（上）》，《三国演义（下）》，《水浒传》，《西游记》，《红楼梦》，现要求《三国演义（上）》和《三国演义（下）》放在一起，那么不同的放书顺序有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．120种 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理，结合捆绑法运算求解. 【详解】两本《三国演义》要相邻， 由捆绑法得放书顺序有种. 故选：C. 2．某学校门口有3辆A公司的共享单车，4辆B公司的共享单车，5位同学从这7辆车中各选1辆骑行，同品牌的车因编号不同视为不同的车，则B公司的车比A公司的车多选1辆的选法种数为（    ） A．120 B．720 C．1080 D．1440 【答案】D 【分析】由题意确定A公司的车选2辆，B公司的车选3辆，结合排列组合数即可求得答案. 【详解】B公司的车比A公司的车多选1辆，则A公司的车选2辆，B公司的车选3辆， 所以选法种数为． 故选：D 3．2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学.某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况种数是（   ） A．12 B．9 C．6 D．15 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题，结合排除法列式计算得解. 【详解】从6所大学中任取4所，有种，其中甲乙两所学校同时被取到，有种， 所以该考生报名的可能情况种数是. 故选：B 4．从1，2，3，4，5，6这6个数中任取4个不同的数组成一个四位数，则2与3相邻的四位数的个数为 ，能被3整除的四位数的个数为 ． 【答案】 72 120 【分析】空一：通过捆绑法即可求解，空二：先确定四个数各位数之和为3的倍数的个数，再通过全排列求解即可. 【详解】由捆绑法可得2与3相邻的四位数的个数为． 要使组成的四位数能被3整除，则该四位数各位数之和为3的倍数， 取出的四个数各位数之和为3的倍数的情况有，，，，，共5种， 所以组成的四位数能被3整除的个数为． 故答案为：72；120 【题型四 排列组合之排队问题】 1．某校合唱团参加红五月合唱比赛，合唱团选出6个人站在第一排，其中甲、乙作为领唱需要站在第一排的正中间，则这6个人的排队方案共有（ ） A．24种 B．48种 C．120 D．240种 【答案】B 【分析】首先让甲、乙在中间位置上排序，然后剩下的4人在其余位置进行全排列即可. 【详解】由题意可知，甲，乙站在正中间，有种排队方案， 其它人随机排列，有种排法， 则这6个人的排队方案共有种. 故选：B. 2．有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有 种排法． 【答案】 【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解. 【详解】甲乙丙相邻，则共有, 故答案为： 3．6名同学排队站成一排，要求甲乙两人不相邻，共有 种不同的排法. 【答案】 【分析】先安排除甲乙之外的四个人，再在5个空位上插空安排甲乙二人可得答案. 【详解】插空法，. 故答案为：480. 4．根据学校要求，错峰放学去食堂吃饭，高三年级五楼有4个班排队，1班不能排在最后，4班不能排在第一位，则四个班排队吃饭的不同方案有 种.（用数字作答） 【答案】 【分析】根据题意，由间接法代入计算，即可得到结果. 【详解】总方案有种，1班排在最后有种方案，4班排在第一位有种方案， 1班排在最后且4班排在第一位有种方案， 则满足要求的方案有种. 故答案为： 5．7名同学排队照相. (1)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ (2)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用捆绑法即可得解； （2）利用插空法即可得解. 【详解】（1）依题意，将甲、乙、丙看作一个整体，其内部有种排法， 再将这个整体与其他4人全排列，有种排法， 所以一共有种不同的排法. （2）依题意，先对4名男生进行全排列，有种排法， 再将3名女生插到4名男生所形成的5个空中，有种排法， 所以一共有种不同的排法. 6．为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，某校开展国庆文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，现在要安排演出次序.（结果用数值作答） (1)若朗诵节目不在排头，也不在排尾，有多少种不同排法？ (2)若三个唱歌节目必须相邻，有多少种不同排法？ (3)求两个舞蹈节目不相邻的概率. 【答案】(1)480 (2)144 (3) 【分析】（1）特殊元素（朗诵节目）优先考虑，再排其它的即可； （2）相邻元素用捆绑法解题即可； （3）不相邻元素用插空法求出符合条件的所有排法，再用古典概型求概率即可. 【详解】（1）朗诵节目不在排头，也不在排尾，则朗读节目有种排法， 然后再排剩余的5个节目，共有种排法， 根据分步乘法计数原理，6个节目共有种排法. （2）三个唱歌节目捆绑共种排法，再和其它三个节目进行排列， 共有种不同排法. （3）先排三个唱歌和一个朗诵，共种排法，两个舞蹈节目不相邻，插入个空有种排法， 所以符合条件的排法共种排法， 6个节目的所有排法有种， 所以两个舞蹈节目不相邻的概率. 【题型五 排列组合之涂色问题】 1．现提供红､黄､蓝､绿四种颜色给一个四棱锥的五个面涂色，且相邻（两个面有公共边）的两个面所涂颜色不相同，则不同的涂色方案的种数为（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．144种 【答案】C 【分析】分二类：4种、3种颜色涂在5个面上，再由分步计数及排列组合数求不同的涂色方案. 【详解】若用4种颜色，任选一种颜色涂在其中一组对面上有种， 其它3种颜色作全排有， 所以，共有种； 若用3种颜色，从4种颜色任选3种有种， 再任选两种颜色涂在两组对面上种，余下的一种颜色涂在底面有1种， 所以，共有种； 综上，不同的涂色方案有种. 故选：C. 2．如图，用四种不同的颜色给图中的，，，，，，七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．600 B．288 C．576 D．以上答案均不对 【答案】A 【分析】根据题意，先排，，的方法，分与相同，与相同和既不同于又不同于，三种情况讨论，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】由题意，可得，，分别有4，3，2种方法， （1）当与相同时，有1种方法，此时有2种， ①若与相同有有1种方法，同时有3种方法， ②若与不同，此时有2种方法， 共有：种方法； （2）当与相同时，有1种方法，此时讨论的3种方法， 共有种方法； （3）当既不同于又不同于时，有1种方法， 共有种方法， 由分类计数原理，可得共有种方法． 故选：A． 3．如图，天津市共辖16区，市内六区分布如图，用4种颜色标注6个区域，相邻区颜色不同，不同的涂色方式共有 种. 【答案】144 【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列即可求解. 【详解】先涂红桥区，河北区和南开区，此时共有种方法， 若和平区与红桥区不同色，和平区只有1种选择，此时涂河东区和河西区一共有3种选择， 若和平区与红桥区同色，和平区只有1种选择，此时涂河东区和河西区一共有3种选择， 因此总的涂色方法有， 故答案为：144 4．如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为 .    【答案】 【分析】由排列组合以及分类加法计数原理求解个数，即可由古典概型概率公式求解. 【详解】使用4种颜色给四个区域涂色，有种涂法； 使用3种颜色给四个区域涂色，共有种涂法； （使用3种颜色给四个区域涂色有两类情况： ①区域A与区域C涂同一种颜色，区域B与区域D涂另外2种颜色； ②区域B与区域D涂同一种颜色，区域A与区域C涂另外2种颜色） 使用2种颜色给四个区域涂色，共有种不同的涂法. 所以所有的涂色方法共有（种）， 故使用2种颜色给四个区域涂色的概率为. 故答案为：. 5．如图，一个圆环分成，，，四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为 .（用数字作答） 【答案】12 【分析】分同色或同色，两类情况求解即可. 【详解】若同色，3种颜色（全部用完），有种， 若同色，3种颜色（全部用完），有种， 所以共有种， 故答案为：12 【题型六 排列组合之分组分配问题】 1．在《红楼梦》第三十八回“林潇湘魁夺菊花诗，薛蘅芜讽和螃蟹咏”中，史湘云做东，邀众姐妹和贾宝玉一起作诗．诗会以菊花为主题，共编拟了十首不同的咏菊诗名，假设分配贾宝玉作《访菊》､《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》､《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉､史湘云､探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有（    ） A．150种 B．360种 C．450种 D．540种 【答案】C 【分析】结合两类计数原理，将6首诗按和两种情况求解即可. 【详解】第一类，将6首诗按的数量分给3人，有种； 第二类，将6首诗按的数量分给3人，有种， 所以不同的分工方案共有种． 故选：C. 2．现将5名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，有（    ）种分配方式. A．36 B．60 C．240 D．1440 【答案】C 【分析】将5人按1，1，1，2，分配，在排序即可求解. 【详解】根据要求将5名志愿者分配到4个服务点的志愿者的人数为1，1，1，2， 所以有种分配方式， 故选：C. 3．甲、乙、丙等8名同学将作为志愿者参加三个养老院的志愿服务工作，每个养老院至少安排2名志愿者，每名志愿者只能去一个养老院，且甲、乙、丙三人必须在同一养老院进行志愿服务，则有 种不同的分配方案. 【答案】150 【分析】根据不同的人数分配比例分别计算分配方案数，再将两种情况的方案数相加得到总的分配方案数. 【详解】依题意，人数的分配有和两种， 若是，则有种， 若是，则有种，则共有150种不同的分配方案. 故答案为：150. 4．我校新采购了5套不同的实验器材，预计分配到高一、高二、高三三个年级的实验室，要求每个年级至少分到1套实验器材，那么共有 种不同的分配方案. 【答案】150 【分析】先将套不同的实验器材分成组，再将分好的组全排列分配到三个年级，根据分步乘法计数原理计算出不同的分配方案数. 【详解】将套不同的实验器材分成组，有两种分法： 按1，1，3分组：从套器材中选套为一组，其余套各为一组，共有种分法. 按2，2，1分组：从套器材中选套为一组，再从剩下的套中选套为一组，剩下套为一组，但这里有重复情况，需要除以消除重复，所以共有种分法. 则将套不同的实验器材分成组，共有种分法. 将分好的组全排列分配到三个年级， 将分好的组全排列，对应高一、高二、高三三个年级，共有种排法. 所以不同的分配方案共有种. 故答案为：150. 5．将本不同的书（包括本数学书和本英语书）平均分给甲､乙､丙三人，其中数学书和英语书不能分给同一个人，则不同的分配方法种数是 .（用数字作答） 【答案】 【分析】方法一：考虑特殊元素，按每个人拿到书的不同结果分配即可求解；法二：考虑特殊元素先分组再分配即可求解. 【详解】方法一：先从甲､乙､丙三人中选一人，这个人既不分数学书，又不分英语书， 有种分配方法，再将数学书和英语书分给剩下两人一人一本， 最后把其余本书平均分给这两个人，有种分配方法， 综上，不同的分配方法种数是. 方法二：各选两本书与数学书､英语书组成一组，然后再分配给三人， 则不同的分配方法种数是. 故答案为： 6．根据“援疆支教”工作的要求，我校决定派出位骨干教师对新疆哈密地区个学校进行教学帮扶，每个学校至少分配一位骨干教师，则不同的分配方案种数为 （用数字作答）． 【答案】 【分析】分成，这两种情况，先分组，再分配. 【详解】依题意位骨干教师可以分为，这两种情况， 若为，则有种不同的分配方案； 若为，则有种不同的分配方案； 综上可得一共有种不同的分配方案. 故答案为： 【题型七 排列组合之定序问题】 1．8人序号为1，2，3，…，8，从前往后依次排一列，将6，7，8号拉出来插到前面队列中，5号成为末尾，且原来1，2，3，4，5号前后相对次序不变，不同的排法种数为（    ） A．240 B．210 C．72 D．35 【答案】B 【分析】利用排列组合知识或根据分步计数原理求解. 【详解】方法一：等同于设好8个位置，最后一个位置排5号，然后剩余7位置选三个排6，7，8号，排法有种，最后1，2，3，4号前后相对次序不变排入剩余4位置中，由分步计数原理可知不同的排法种数为210种； 方法二：根据分步乘法计数原理，先排6号，共有5种方法，再排7号，有6种方法，最后排8号，有7种方法，故共有种排法. 故选：. 2．由字母A，B构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有 个（例如ABAAAA，BAABAB符合题意） 【答案】27 【分析】用集合的思想，分为四个不同情况并计算出序列种数，再考虑两两之间重复的序列数，然后得到含有连续子序列ABA的序列数 【详解】考虑出现子序列ABA时，可能出现的位置有4个，把依次对应的序列放入集合，，，（ABA×××，×ABA××，××ABA×，×××ABA）中， 记为集合中元素的个数，则. 再考虑重复的序列，，，，任意多于2个集合的交集均为空集. 所以含有连续子序列ABA的序列有个． 故答案为：27. 【题型八 排列组合之多面手问题】 1．有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有  （ ） A．种 B．种 C．种 D．72种 【答案】C 【分析】由条件确定既会跳舞又会唱歌的人数，根据选出的人中既会跳舞又会唱歌的人数，分类求满足条件的选派方法数，结合分类加法计数原理求解即可. 【详解】根据题意，有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞， 则既会跳舞又会唱歌的有人， 只会唱歌的有人，只会跳舞的有人; 若选出2人，没有既会跳舞又会唱歌，则有种选法， 若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌，则有种选法， 若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的，则有种选法， 综上共有种选法. 故选：C. 2．有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】由条件确定既会跳舞又会唱歌的人数，根据选出的人中既会跳舞又会唱歌的人数，分类求满足条件的选派方法数，结合分类加法计数原理求解即可. 【详解】根据题意，有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞， 则既会跳舞又会唱歌的有人， 只会唱歌的有人，只会跳舞的有人; 若选出2人，没有既会跳舞又会唱歌，有种选法， 若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌，则有种选法， 若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的，则有种选法， 则共有种选法. 故选：C. 3．有10名演员，其中8人会唱歌，5人会跳舞，现要表演一个2人唱歌2人伴舞的节目，则不同的选派方法共有 种. 【答案】199 【分析】以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究，分为三种情况：只会唱歌的5人中没有人选上唱歌人员、只有1人选上唱歌人员和有2人选上唱歌人员，分别求出其方法总数，再由分类加法计数原理求解即可. 【详解】由题意，易知10名演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，3人为全能演员， 以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究： ①只会唱歌的5人中没有人选上唱歌人员，有种选派方法； ②只会唱歌的5人中只有1人选上唱歌人员，有种选派方法； ③只会唱歌的5人中有2人选上唱歌人员，有种选派方法． 由分类加法计数原理知，选派方法共有（种）. 故答案为：199. 4．有名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要表演一个人唱歌人伴舞的节目，则不同的选派方法共有 种（写出具体数字结果）． 【答案】 【分析】首先确定仅会唱歌、仅会跳舞和既会唱歌又会跳舞的演员人数，以仅会唱歌的人被选派的人数为分类依据，分别求得每种情况的选派方法数，根据分类加法计数原理可求得结果. 【详解】由题意可知：名演员中，既会唱歌又会跳舞的演员有：人， 则有人仅会唱歌，人仅会跳舞； ①仅会唱歌的人中有人表演唱歌节目，则选派方法有种； ②仅会唱歌的人中有人表演唱歌节目，则选派方法有种； ③仅会唱歌的人中无人表演唱歌节目，则选派方法有种； 由分类加法计数原理可知：不同的选派方法有种. 故答案为：. 5．一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有 种排法；前3个节目中要有相声节目，有 种排法． 【答案】 36 108 【分析】利用特殊元素优先选择，即可求解第一空；利用正难则反，先算前3个节目中没有相声，即相声在后两个节目的排法，即可求解第二空. 【详解】选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为； 5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有． 故答案为：36；108 【题型九 二项展开式+的正用与逆用】 1．展开式中的项数为（    ） A．11 B．12 C．22 D． 【答案】B 【分析】 ，再利用二项展开式定理展开即可求解． 【详解】因为 所以 则 共有12项， 故选：B． 2．二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项式定理求解. 【详解】二项式 ， . 故选：B 3．多选题若（为正整数）的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值可能是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】AC 【分析】根据二项式定理的通项公式求解. 【详解】展开式的通项为：， 因为存在常数项，所以. 经验证，时，；时，符合条件. 故选：AC 4．的二项展开式是 ． 【答案】 【分析】根据二项式定理可得答案. 【详解】 ． 故答案为：． 5．在二项式的展开式中，常数项是第 项． 【答案】11 【分析】求出通项，找到常数项，然后确定第几项即可. 【详解】的通项公式为， 常数项时，则， 所以常数项是第11项， 故答案为：11 6．的展开式中常数项为 . 【答案】80 【分析】首先写出二项展开式，再根据常数项的特征，即可求解. 【详解】二项展开式的通项公式为，, 令，得， 所以常数项为. 故答案为： 【题型十 二项展开式中的特定项】 1．二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 【答案】C 【分析】求出展开式的通项，从而可得第5项的系数． 【详解】二项式展开式的通项公式， 当时，第5项系数为210． 故选：C. 2．展开式中的第项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据展开式通项公式写出第项即可. 【详解】由题意可得二项式展开式的通项为：， 将代入上式，可得：， 所以展开式中的第项是：. 故选：A. 3．在的展开式中，含项的系数为（    ） A．160 B．192 C．184 D．186 【答案】B 【分析】本题可根据二项式的展开式的通项求出结果. 【详解】二项式的展开式的通项， 当时，，项的系数为192. 故选：B. 4．若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则n＝ 【答案】10 【分析】根据题意得到，再求出n即可. 【详解】因为的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等， 所以，解得． 故答案为：10. 【题型十一 二项式系数与项的系数和问题】 1．若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A．1 B．15 C．-15 D．-1 【答案】B 【分析】先求出，再利用二项展开式的通项即可求出其常数项. 【详解】由题意，，解得， 则二项式的通项为， 由可得，即其展开式的常数项为. 故选：B. 2．已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中的系数是（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】C 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】由题意，展开式中二项式系数之和为16，则，即， 即二项式为，因为的展开式中各项系数之和为81， 令可得，，解得， 此时二项式为，其展开式的通项公式为 ，， 令，得，所以展开式中的系数是. 故选：C. 3．已知的展开式中系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．10 B．15 C．21 D．24 【答案】B 【分析】利用二项式系数的性质结合二项式定理列式计算即可. 【详解】令，可得所有系数和为，由题意，可得， 展开式的通项为，令，可得 所以的系数为. 故选：B. 4．多选题已知展开式中二项式系数之和为64，则（    ） A． B．展开式的各项系数之和是1 C．展开式中第4项的二项式系数最大 D．展开式中常数项为 【答案】BC 【分析】由二项式系数和为，可判断A，通过可判断B，由组合数性质可判断C，由通项公式可判断D. 【详解】二项式系数之和，解得，故A错误； 令，展开是的各项系数之和为，故B正确； 因为，所以二项式展开式共有7项，即时二项式系数最大，故C正确； 对于，则，， 令，解得，则常数项为，故D错误， 故选：BC. 5．多选题若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】令，计算可判断A；令，结合计算可判断B；令，结合B选项计算可判断C；令，计算可判断D. 【详解】对于A，令，则， 故，故A正确； 对于B，令，则， 又，故，故B正确； 对于C，令，则， 又，故，故C错误； 对于D，令，则，故D正确. 故选：ABD 【题型十二 二项式系数与项的系数最值】 1．的展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】B 【分析】利用二项式系数的性质求解最大项即可. 【详解】因为展开式中共有7项，所以展开式中间项的二项式系数最大， 则第4项的二项式系数最大，故B正确. 故选：B. 2．在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【答案】D 【分析】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解. 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 3．已知的二项展开式中系数最大的项为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的最大性质求解. 【详解】展开式某项的系数即为该项的二项式系数，所以所求系数最大的项为. 故答案为： 4．在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 ． 【答案】 【分析】利用二项式系数的性质得到，设展开式中系数最大项是，利用展开式的通项公式得到，即可求解. 【详解】由的展开式中，仅第项的二项式系数最大，得展开式共项，则， 所以的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即 解得，而，所以，， 所以展开式中系数最大的项是, 故答案为：. 5．二项式的展开式中系数的最大值是 ． 【答案】32 【分析】设第项系数最大，由第项系数不小于第项和第项系数，列不等式组解之可得项数即可得解． 【详解】展开式第项系数为，设第项系数最大，则 ，解得，∴， ∴系数的最大值是：． 故答案为：32. 【题型十三 二项式定理的应用】 1．已知的展开式中的所有二项式系数之和为64. (1)求； (2)求常数项； (3)求展开式的中间项. 【答案】(1)； (2)15； (3). 【分析】（1）由二项式系数和有，即可求参数值； （2）写出二项式的展开式通项，进而求其常数项； （3）根据二项式确定中间项是第四项，对应，即可得. 【详解】（1）由题设，可得； （2）由（1）得展开式通项为，， 当，即，则常数项； （3）由（2）知，展开式中间项是第四项，即，所以. 2．已知二项式展开式中． (1)求其二项式系数之和与各项系数之和的差； (2)设，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用系数和及二项式系数和求差； （2）赋值法做差即可求出偶数项的系数和. 【详解】（1）二项式系数之和为， 令，可得各项系数之和为， 所以二项式系数之和与各项系数之和的差为. （2）设，则 ， ， 所以. 3．在的展开式中. (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数最大的项. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据二项式系数的性质即可判断最大项并求解； （2）设第项系数最大，则其系数大于或等于其前一项和后一项系数，列出不等式组求解即可得到答案. 【详解】（1）由题意，二项展开式共9项，故第5项二项式系数最大， 又展开式通项为， 所以 （2）设第项系数最大，则， 所以，解得， 故系数最大的项是第3项和第4项， . 4．已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为729． (1)求和的值； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据二项展开式中二项式系数的性质即可得出值，再令即可得到所有项的系数和从而求出值； （2）先写出展开式的通项，设第项的系数最大，从而列出不等式组，再根据的取值范围即可求出值，再代入通项计算即可. 【详解】（1）因为展开式中只有第4项的二项式系数最大， 所以展开式一共有7项，即. 令，所以所有项的系数和， 因为，解得； （2）的展开式的通项为 ，， 设展开式中第项的系数最大， 则，解得， 因为，所以， 所以展开式中系数最大的项为. 5．已知，N，若的展开式 中， ． (1)求的值； (2)求的值． 在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在上面（横线处）问题中，解决上面两个问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）利用二项式系数的性质分别求解； （2）利用赋值法求项的系数和. 【详解】（1）在二项式的展开式中， 若选填①，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中有11项，即； 若选填②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，即； 若选填③，所有二项式系数的和为，则，即．故； （2）由（1）知，于是中，取，得； 取，得 ∴所求 6．已知的展开式中第5项与第3项的二项式系数相等． (1)求n及展开式中各项系数的和； (2)求的常数项． 【答案】(1)，各项系数的和为1 (2) 【分析】（1）根据题意结合二项式系数的对称性可得，在利用赋值法求各项系数之和； （2）根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 即， 令，可得展开式中各项系数的和为. （2）因为， 对于，可知其展开式的通项为， 令，解得，此时； 令，解得，此时； 所以的常数项为. 7．已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为－1． (1)求n和的值； (2)求的展开式中的常数项． 【答案】(1) (2)168 【分析】（1）根据结论得到方程组，解出即可； （2）首先对原式整理为，写出展开式的通项，再求出其常数项即可得到答案. 【详解】（1）由条件可得， 所以解得； （2）. ∵展开式的通项为：. ∴当即时，； 当即，舍去. ∴所求的常数项为168. 8．已知的展开式中所有项的系数和是243． (1)求n的值，并求展开式中二项式系数最大的项； (2)求值． 【答案】(1)，展开式中二项式系数最大的项为与 (2)121 【分析】（1）令可得n的值，再根据二项式系数的公式分析二项式系数最大项即可； （2）由（1），即求，再根据的展开式，令化简求解即可 【详解】（1）由题意，令有，解得，故展开式中二项式系数中最大的为，为第3项与第4项，即展开式中二项式系数最大的项为与 （2）由（1），即求， ，故令有，故 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 计数原理（13种题型） 【题型一 两种计数原理综合应用】 【题型二 排列数+与组合数的计算】 【题型三 排列组合之排数问题】 【题型四 排列组合之排队问题】 【题型五 排列组合之涂色问题】 【题型六 排列组合之分组分配问题】 【题型七 排列组合之定序问题】 【题型八 排列组合之多面手问题】 【题型九 二项展开式+的正用与逆用】 【题型十 二项展开式中的特定项】 【题型十一 二项式系数与项的系数和问题】 【题型十二 二项式系数与项的系数最值】 【题型十三 二项式定理的应用】 【题型一 两种计数原理综合应用】 1．如图，从（图中不能折返回）不同的走法有（    ） A．8种 B．6种 C．4种 D．2种 2．多选题从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中（    ） A．偶数有60个 B．比300大的奇数有48个 C．个位和百位数字之和为7的数有24个 D．能被3整除的数有32个 3．已知有4名工人分别在4个不同的岗位，现根据需要进行轮岗调整，则至少有3名工人岗位变动的轮岗方式种数有 . 4．某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数 . 【题型二 排列数+与组合数的计算】 1．（    ） A．92 B．102 C．120 D．148 2．计算的值是（   ） A．41 B．61 C．62 D．82 3．已知，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．计算下列各式. (1)； (2). 【题型三 排列组合之排数问题】 1．在单层书架上有五本书，分别是《三国演义（上）》，《三国演义（下）》，《水浒传》，《西游记》，《红楼梦》，现要求《三国演义（上）》和《三国演义（下）》放在一起，那么不同的放书顺序有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．120种 2．某学校门口有3辆A公司的共享单车，4辆B公司的共享单车，5位同学从这7辆车中各选1辆骑行，同品牌的车因编号不同视为不同的车，则B公司的车比A公司的车多选1辆的选法种数为（    ） A．120 B．720 C．1080 D．1440 3．2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学.某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况种数是（   ） A．12 B．9 C．6 D．15 4．从1，2，3，4，5，6这6个数中任取4个不同的数组成一个四位数，则2与3相邻的四位数的个数为 ，能被3整除的四位数的个数为 ． 【题型四 排列组合之排队问题】 1．某校合唱团参加红五月合唱比赛，合唱团选出6个人站在第一排，其中甲、乙作为领唱需要站在第一排的正中间，则这6个人的排队方案共有（ ） A．24种 B．48种 C．120 D．240种 2．有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有 种排法． 3．6名同学排队站成一排，要求甲乙两人不相邻，共有 种不同的排法. 4．根据学校要求，错峰放学去食堂吃饭，高三年级五楼有4个班排队，1班不能排在最后，4班不能排在第一位，则四个班排队吃饭的不同方案有 种.（用数字作答） 5．7名同学排队照相. (1)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ (2)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？ 6．为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，某校开展国庆文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，现在要安排演出次序.（结果用数值作答） (1)若朗诵节目不在排头，也不在排尾，有多少种不同排法？ (2)若三个唱歌节目必须相邻，有多少种不同排法？ (3)求两个舞蹈节目不相邻的概率. 【题型五 排列组合之涂色问题】 1．现提供红､黄､蓝､绿四种颜色给一个四棱锥的五个面涂色，且相邻（两个面有公共边）的两个面所涂颜色不相同，则不同的涂色方案的种数为（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．144种 2．如图，用四种不同的颜色给图中的，，，，，，七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．600 B．288 C．576 D．以上答案均不对 3．如图，天津市共辖16区，市内六区分布如图，用4种颜色标注6个区域，相邻区颜色不同，不同的涂色方式共有 种. 4．如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为 .    5．如图，一个圆环分成，，，四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为 .（用数字作答） 【题型六 排列组合之分组分配问题】 1．在《红楼梦》第三十八回“林潇湘魁夺菊花诗，薛蘅芜讽和螃蟹咏”中，史湘云做东，邀众姐妹和贾宝玉一起作诗．诗会以菊花为主题，共编拟了十首不同的咏菊诗名，假设分配贾宝玉作《访菊》､《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》､《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉､史湘云､探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有（    ） A．150种 B．360种 C．450种 D．540种 2．现将5名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，有（    ）种分配方式. A．36 B．60 C．240 D．1440 3．甲、乙、丙等8名同学将作为志愿者参加三个养老院的志愿服务工作，每个养老院至少安排2名志愿者，每名志愿者只能去一个养老院，且甲、乙、丙三人必须在同一养老院进行志愿服务，则有 种不同的分配方案. 4．我校新采购了5套不同的实验器材，预计分配到高一、高二、高三三个年级的实验室，要求每个年级至少分到1套实验器材，那么共有 种不同的分配方案. 5．将本不同的书（包括本数学书和本英语书）平均分给甲､乙､丙三人，其中数学书和英语书不能分给同一个人，则不同的分配方法种数是 .（用数字作答） 6．根据“援疆支教”工作的要求，我校决定派出位骨干教师对新疆哈密地区个学校进行教学帮扶，每个学校至少分配一位骨干教师，则不同的分配方案种数为 （用数字作答）． 【题型七 排列组合之定序问题】 1．8人序号为1，2，3，…，8，从前往后依次排一列，将6，7，8号拉出来插到前面队列中，5号成为末尾，且原来1，2，3，4，5号前后相对次序不变，不同的排法种数为（    ） A．240 B．210 C．72 D．35 2．由字母A，B构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有 个（例如ABAAAA，BAABAB符合题意） 【题型八 排列组合之多面手问题】 1．有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有  （ ） A．种 B．种 C．种 D．72种 2．有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．有10名演员，其中8人会唱歌，5人会跳舞，现要表演一个2人唱歌2人伴舞的节目，则不同的选派方法共有 种. 4．有名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要表演一个人唱歌人伴舞的节目，则不同的选派方法共有 种（写出具体数字结果）． 5．一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有 种排法；前3个节目中要有相声节目，有 种排法． 【题型九 二项展开式+的正用与逆用】 1．展开式中的项数为（    ） A．11 B．12 C．22 D． 2．二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 3．多选题若（为正整数）的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值可能是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 4．的二项展开式是 ． 5．在二项式的展开式中，常数项是第 项． 6．的展开式中常数项为 . 【题型十 二项展开式中的特定项】 1．二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 2．展开式中的第项是（    ） A． B． C． D． 3．在的展开式中，含项的系数为（    ） A．160 B．192 C．184 D．186 4．若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则n＝ 【题型十一 二项式系数与项的系数和问题】 1．若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A．1 B．15 C．-15 D．-1 2．已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中的系数是（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 3．已知的展开式中系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．10 B．15 C．21 D．24 4．多选题已知展开式中二项式系数之和为64，则（    ） A． B．展开式的各项系数之和是1 C．展开式中第4项的二项式系数最大 D．展开式中常数项为 5．多选题若，则（   ） A． B． C． D． 【题型十二 二项式系数与项的系数最值】 1．的展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 2．在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 3．已知的二项展开式中系数最大的项为 ． 4．在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 ． 5．二项式的展开式中系数的最大值是 ． 【题型十三 二项式定理的应用】 1．已知的展开式中的所有二项式系数之和为64. (1)求； (2)求常数项； (3)求展开式的中间项. 2．已知二项式展开式中． (1)求其二项式系数之和与各项系数之和的差； (2)设，求的值 3．在的展开式中. (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数最大的项. 4．已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为729． (1)求和的值； (2)求展开式中系数最大的项． 5．已知，N，若的展开式 中， ． (1)求的值； (2)求的值． 在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在上面（横线处）问题中，解决上面两个问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）． 6．已知的展开式中第5项与第3项的二项式系数相等． (1)求n及展开式中各项系数的和； (2)求的常数项． 7．已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为－1． (1)求n和的值； (2)求的展开式中的常数项． 8．已知的展开式中所有项的系数和是243． (1)求n的值，并求展开式中二项式系数最大的项； (2)求值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$