第1节 导数的概念及其意义、导数的运算-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第三章一元函数的导数及其应用 第一节导数的概念及其意义、导数的运算 [课标要求]1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何 意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数. 夯实·必备知识 知识整合 续表 1.导数的概念 基本初等函数 导函数 (1)函数y=f(x)在x=x,处的导数记作 1 f(x)=logx(a>0,且a≠1) 或y'1x=。 f(z)-dlna f()lim Ay=lim f(xo+△x)-f(x) f(x)=In x f()=⊥ x △x (2)函数y=f(x)的导函数（简称导数） 4.导数的运算法则 f(r)=y'=lim f(x+△x)-f(x) 若∫(x),g(x)存在，则有 △r-+0 △x [f(x)±g(x)]'= 2.导数的几何意义 [f(x)g(x)]'= 函数y=f(x)在x=x。处的导数的几何意 「f2y=f(Dgz)f)g(x2(g(x）) Lg(x)] [g(x)] 义就是曲线y=f(x)在点P(xo,f(xo)处 ≠0)； 的切线的 ,相应的切线方程为 [cf(x)]' 5.复合函数的定义及其导数 3.基本初等函数的导数公式 复合函数y=f(g(x))的导数与函数y= 基本初等函数 导函数 f(),u=g(x)的导数间的关系为y',= ,即y对x的导数等于y对u的 f(x)=c(c为常数) f(x)= 导数与u对x的导数的乘积. 【常用结论】 f(x)=x(a∈R,且a≠0) f(x)= 1.在点处的切线与过点的切线的区别 f(r)=sin r f(x)= (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有 且仅有一条， f(r)=cos x f(x)= (2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至 f（x)=a(a>0,且a≠1) f(x)= 少有一条 f(r)=e (x)= [f(.x)] (f(x)≠0). 54 第三章一元函数的导数及其应用 自我训练 C.f(x)=i 十cos2z 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 “/”或“X”) D.f(z)= 3 In 3 -2cos 2x (1)'(xo)是函数y=f(x)在x=x。附近的 平均变化率。 3.若直线1过原点，且与函数y=山严的图象 (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲 相切，则该直线的斜率为 () 线的切线 ( A.1 (3)f'(x)=[f(x)]'. (4)(e)'=-e. c D 2.若函数f(x)=3+sin2x,则 4.曲线f(x)=xe一3x+1在(0,1)点处的切 A.f(x)=3'In 3+2cos 2x B.f(x)=3+2cos 2x 线方程是 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一导数的运算 [思维升华] [例1](1)（多选）(2025·昆明一诊)下列导 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分 数的运算中正确的是 成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算 A.(3)'=3ln3 法则求导 B.(x'In x)'=2xIn x+x (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然 C.o) 后活用方程思想求解」 (3)复合函数求导，应由外到内逐层求 D.(sin xcos x)'=cos 2x 导，必要时要进行换元 (2)(2025·河南联考)已知函数f(x)满足 [即时训练] f(x)=2f(1)lnx+工(f(x)为f(x)的导 (多选)下列命题正确的是 A.若f(x)=xsin x-cosx,则f(x)= 函数)，则f(e)等于 ( sin x-xcos x++sin x A.e-1 B. B.设函数f(x)=xlnx,若f(x。)=2,则 D. Io=e C.1 C.已知函数f(x)=3x2e,则f(1)=12e [尝试解答] D.设函数f(x)的导函数为f(x),且f(x) =2+3xf(2)+1nx,则f2=-是 题型二导数的几何意义 命题点1求切线方程 [例2](1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)= e+2sin工，则曲线y=f(x)在点(0,1)处的 1+x 切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 A 号 D号 55 金榜题名创新高考总复习数学 (2)(2025·广东揭阳质检)设a∈R,函数 [即时训练] f(x)=x3-2ax2+(a十3)x的导函数为 (1)(2025·深圳质检)已知f(x)为偶函数， f'(x),若f(x)是偶函数，则曲线y=f(x) 当x<0时，f(x)=x3-x,则曲线y=f(x) 在原点处的切线方程为 在点(1,0)处的切线方程是 () A.y=3x B.y=-2x A.2x-y-2=0 B.4x-y-4=0 C.y=-3x D.y=2x C.2x+y-2=0 D.4x+y-4=0 [尝试解答] (2)若函数f(x)=x-上+alnx存在与x 轴平行的切线，则实数a的取值范围是 题型三两曲线的公切线 [例4](2025·武汉质检)若直线x+y十m =0是曲线y=x3十n.x-52与曲线y=x2一 3lnx的公切线，则m一n等于 () A.-30 B.-25 命题点2求参数的值（范围） C.26 D.28 [例3](1)(2025·石家庄模拟)已知a>0,b [尝试解答] >0,直线y=x+2a与曲线y=e1-b+1 相切，则+方的最小值为 (2)(2022·新高考I卷)若曲线y=(x十a)e 有两条过坐标原点的切线，则α的取值范围 是 [尝试解答] [思维升华] 公切线问题应根据两个函数在切，点处的 斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列 出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组 求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切 [思维升华] 线重合列方程组求解， (1)处理与切线有关的问题，关键是根据 [即时训练] 曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方 程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在 (2025·佛山一模)已知曲线f(x)=√与 切线上；③切点在曲线上. 曲线g(x)=alnx(a∈R)相交，且在交点处 (2)注意区分“在点P处的切线”与“过，点 有相同的切线，则a= P的切线” 请完成课时作业（二十） 56 第三章一元函数的导数及其应用 第二节导数与函数的单调性 [课标要求]1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函 数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.3.会利用函数的单调性判 断大小，求参数的取值范围等简单应用. 夯实·必备知识 >》 ■ 知识整合 自我训练 1.函数的单调性与导数的关系 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 “、/”或“X”) 条件 恒有 结论 (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x) f(x)>0 f(x)在区间(a,b)上 =0,则f(x)在此区间内没有单调性. 函数y=f(x》 在区间(a,b) f(x)<0 f(x)在区间(a,b)上 (2)在(a,b)内f(x)≤0且f'(x)=0的根 上可导 有有限个，则f(x)在(a,b)内单调递减。 f(x)=0 f(x)在区间(a,b)上是 ( (3)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0, 2.利用导数判断函数单调性的步骤 则f(x)在定义域上一定单调递增.( 第1步，确定函数f(x)的 (4)函数f(x)=x一sinx在R上是增函数. 第2步，求出导数f(x)的 2.如图所示是函数f(x)的导函数f'(x)的图 第3步，用f(x)的零点将f(x)的定义域划 象，则下列判断中正确的是 分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间 上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域 '(x 内的单调性。 【常用结论】 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增，则当x∈ A.函数f(x)在区间（一3,0）上是减函数 (a,b)时，f(x)≥0恒成立；若函数f(x)在 B.函数f(x)在区间(1,3)上是减函数 (a,b)上单调递减，则当x∈(a,b)时，f(x) C.函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 ≤0恒成立. D.函数f(x)在区间(3,4)上是增函数 2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间， 3.已知函数f(x)=e+ax在区间[0，十c∞) 上单调递增，则a的取值范围为 则当x∈(a,b)时，f(x)>0有解；若函数 f(x)在(a,b)上存在单调递减区间，则当 4.已知函数y=lnx+“在[2，十∞)上单调递 x∈(a,b)时，f'(x)<0有解. 增，则实数a的取值范围是 57(2)C依题意可知当1=0时，u(1)= (2)A由题设(r)=3r-2ax十(a十3) 第三章一元函数的导数及其应用 6.05, 是偶函数， 即6.05=1e千十0.05，解得1-6， 第一节导数的概念及其意义 .3(-x)2-2a(-x)+(a+3)=3x 导数的运算 2ax+(a+3),解得a=0, 所以4()-6e-÷+0.05, .e='(0)=3, 由()=6e-÷+0.05≤0.1， 夯实·必备知识 ,曲线y=f(x)在原，点处的切线方程为 得e+≤120 知识整合 y-3.x.故选A 1.(1)f(x) [例3](1)答案9 1 即-号≤1n0即分≥n120=3血2 2.斜率y-fx0)=了(xn)(x-xa) 解析设切点为(%)，由y一心-1一b +1n3+1n5≈3×0.7+1.1+1.6=4.8， 3.0ax-1 cos r -sin r a In a e 十1得y'=C-1,由题意 4.f(x)±g'(x)广(x)g(x)+f(x)g(x) e-1-1, 所以1≥33.6， yo=To+2a, 又t∈N,所以tm-34, cf(r) 5.yw· y0=e-1-b+1, 至少需要放置的时间为31天 即时训练答案f(r)-0.9-1(x∈ 自我训练 解得x。-1,所以1十2a-2-b,即2a十b =1, N.) 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.A3.B4.2r+y-1-0 解斩第1火酒特残留童y=10×品， 2+-（+）2+6)-5 研磨·高考题型 第2次酒精残留量y一10×（品）广、 [例1](1)ABD(3)'-31n3,正确： 2b+2a≥5+2=9，当且仅当a=b= b (r'Inr)-(r)'In r+r2(In ) =2xlnx十x,正确： 子时，等号成立 即第x一1次酒精残留量y一10× (sin rcos r)'-(sin r)'cos r+sin r(cos r)' (2)答案(-，-4)U(0,十∞) (品)N. =c0sx-sin2x=c0s2x,正确： 解析因为y=(x十a)c,所以y'= (x十a十1)c.设切，点为A(x,(x。十a) 别第x(x∈N,)次倒出纯酒精为f(x)= 周为（四}-二0上，所以 心，)，O为坐标原点，很题意得，切线斜来 1×(品)×六-（品） C项错误，其余都正确.故速ABD w一yl-4=(+a+1)e 故f(x)=0.91(x∈N+). (2Df)-2+1 十ac三，化简，符号十a。一a-0.因 [例3]解(1)该项目的门票收入为50 当x=1时，f(1)=2f(1)+ 为曲线y一(x十a)e有两条过坐标原点 万元，财政补贴收入为10x万元，共60z e 的切线，所以关于工0的方程号十a工0 万元救入，则利润W(x)= 解得∫(1)=- 1 e a一0有两个不同的根，所以△一十1a /60r-300-25,0x≤5， 故fr)--21n+ >0,解得a<一4或a>0,所以a的取值 60.x-300-(x2+20x-100),5<x≤20， e e 范围是(-∞，-4)U(0,+∞). 60r-30-(6l+2-56）>20. 所以f(e)-- 2ne+-2+1. 即时训练(1)C当x<0时，f(x) e ee r3-r, 化简得W(r) 即时调练BD对于选项A,'(x)= 则广(x)=3x2-1,所以了(-1)-2， (60x-325,0<x≤5， sinx十rcos r十sinr,故选项A不正确： 由f八x)为偶函数，得f(1)=一（一1） -x2+40x-200,5<x≤20. 对于选项B,(x)=lnx十1，则f(x) =-2, -x-900+265,x>20. -lnx。+1一2，解得n一e,故选项B 则曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方 正确： 程是 (2)当0<x≤5时，W(r)单调递增 对于遍项C,(x)-6re+3xc,则 y--2(x-1).即2x十y-2-0. W(x)x-W(5)--25: 了(1)-6e十3e=9e,故选项C不正确： (2)答案(-∞，-2] 当5<x≤20时，对应二次画数的图象开 对于选项Drx)-2z+3f2)+日 解析了(x)-1+号+二x>0), 40 口向下，对称轴为工=一2×-D=20. 则了(2)=1+3/(2)+立，解得了(2) 则W(r)mx-W(20)-200: 快题意得了)-1+宁+兰-0有解 当r>20时，：r+900>≥60， 一号就选项D正确， x 即--十士有解， [例2](1)A了(x) 当且仅当x=900,即x=30时，等号 (e +2o8r)(1+2)-(e+2sin r).2r :x>0,r+1≥2，当且仅当x=1时 成立， (1+x2)2 取等号， 则子(0)= w(xlx=w80)=-30-器+285 .-a≥2，脚a≤-2. ('+2cos0)(1+0)-(e'+2sin0)×0 [例4门C设直线r十y十m一0与曲线y -205. (1+0)2 =x十x-52初于点(a,-a-m),与曲 综上，当2025年的游客人数为30万时， =3, 线y-2-31nx切于点(b,-b-m). 即该切线方程为y一1一3r,即y一3z 利润最大，最大利涧为205万元. +1 对于画数y=r2-3nx,y=2x-3 A=1.2×10-世 即时训练B由题知，入 7.4X10 .1 令x-0,则y-1,令y-0,则r-- 则2号-1 ≈1.6216. 故该切线与两坐标轴所国成的三角形面 ∴.t=57301n1.6216÷0.693≈5730×0 解得6-1或6=一是（舍去） 1831÷0,693≈3997，故选B. 积5-号×1× 2 所以1一3n1-一1一m,即m-一2. 462 对于函数y=x3十x-52,y=3x2十i, [例2]解(1)画数f(x)的定义域为 因为og24<log,7<log28,所以2< 则3a2+m--1,a3-(3a+1)a-52 (0,十o), log27<3, -a+2, 所以2<1og7<3√2 整理得a3-一27，则a-一3， 由f)-ahr+2r-a+3 所以f(2)<f(log7)<f(3E),即b<c 所以n-一3a-1--28,故m-n=26. 得f(x)-4+3x-(a+3). <a. 即时调练答案号 所以了(2)=-号十3=4所以a=-2。 微拓展 解析易知：必有4>0. 典例ACD依题意，函数g(x)= 设两曲线的交点为P(x。·%),了(r)一 (2)由(1)得∫(x)=(3x-a)(x-1) rf(x)为定义城上的增函数. 2万g)-是>0，南题意 对于A,g(x)=xc心，g'(x)=(x十1)心， ∈(0，十0). 当x∈(-∞，-1)时，g'(x)<0, ①当0a<3时，令f(x)>0, ·g(r)在（一，一1）上单调递减，故A ra=aln ro 解得0<<号或>1： 中函数不是“F函数”： 对于B,g(x)=x2在R上为增函数，故B 令f()<0,解得号<r<1 中函数为“F函数”： 两式相徐得：2xm=ro In Ia,,x>0, .lnxo=2→r-e2. 所以函数∫(x)的单调超增区间为 对于C,g(x)=xlnr,g(x)=1+lnx,d 代入√-aln ro,得e-2a, (0,号)和(1，十0)，单调适减区间 >0, 解得a一宁 为（号1） 当r(0,)时R)<0, ②当a=3时，f(x)≥0，所以函数f(x) ∴g)在(0，)上单调递减， 第二节导数与函数的单调性 的单调递增区间为(0，十)： 故C中函数不是“F函数”： 夯实·必备知识 ③当a>3时，令f(r)>0.斜得0<r< 对于D.g(x)=rsin r,g(x)=simx十 知识整合 1,单调递增单调递诚常数函数 1或x>号 2.定义城零点 ◆f<0,解得1K<号 当xe(-受0）时gr)<0, 自我训练 g)在(-受0)上单调递减， 1.(1)/(2)/(3)×(4)/ 所以函数f（x)的单调递增区间为(0,1) 2.A3.[-1,+∞)4.a≤2 和（号，十∞）单调递浅区同为(1，受) 故D中西数不是“F画数” 研磨·高考题型 [例1]答案(-∞，4] 综上，当0<<3时，f(x)的单调递增区 解析由题设f(x)-e十4ex一a≥0 [例1订(DB调为)-号2-n 间为(0，号)和1，十∞)，单调适减区间 在[0，+∞)上恤成立 所以∫(x)=工立 -r-1)(x+1) 为（号1） 设1=e>≥1，即a≤1+4在r∈[1，+∞) 令了(x)<0,得0<r<1. 上恒成立， 当4一3时，「(x)的单调递增区间为 所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，故 (0,+6o): 4 一4，当且仅当1一2 选B. 当a>3时，了(x)的单调递塘区间为 (2)答案(0,1) 时等号成立， 解析f(x)的定义城为(0，十0)， (01)和（号，+∞小单调递减区间 所以a≤1，即实数a的取值范国为 上-mx- (-o,4]. f(x)- 为(1.号) 即时训练(1)答案(x|x>2或x<1 即时训练解由函数f(,x)一alnx 解析周为f(x)=x十2r-1+(sinx 令g(x)=-lnr-1(x>0, ax-3的定义城为(0，十∞)，且(x) -cos )2 =r+2x-1+1-2sin rcos =+2r 9(x)=--1<0 -a1卫. -sin 2r. 令广(x)-0,解得x-1, f(x)-3x2+2-2cos2x≥0， (x)在(0，十∞)上单谓违减，且(1) 若a>0,当r∈(0,1)时，f(x)>0:当x 所以f(x)在R上单调造增， =0. ∈(1，十9)时，f(x)<0, ∴当x∈(0,1)时，p(x)>0,即f(x) 周为-x)=-x3-2十n2r=-fx), 所以函数f(x)在(0,1)单调递增，在(1， >0, 所以f(x)为奇函数， 十∞)单调递减. 当x∈(1，+o∞)时，(r)<0,即f'(x) 不等式f(x2一2x)+f(2一x)>0可化 若4>0，当x∈(0,1)时，(x)<0:当x <0, 为f2-2x)>-f(2-x), .f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞) ∈(1，+∞)时，f(x)>0. 脚f(x-2x)>f(x-2),所以2-2x 所以函数f(x)在(0,1)单调递域，在 上单调递域。 >x-2, (1,十∞)单调递增. ,函数f(x)的单调递增区间为(0,1)， 即x2-3x十2>0，解得x>2或x<1. 若a一0，此时函数f(x)一一3为常数函 即时调练D了)-2-三，定又线 (2)A因为f(x)-ar+(x-1)e在区 数，无单调性 间[1,3]上不是单调函数， 为(0，+∞)，令了(x)<0,解得0<x< [例3]D由题意，得了(x)-3-2sinx 所以/(r)-4ax十e-0在区间 号所以1)在(0，是）上单调递减 因为一1sinx≤1，所以f(x)>0恒 成立， 4,3上有解即-4如-兰点区同1 故进D, 所以函数f(x)是增函数， 上有解， 463