第8节 对数与对数函数-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

e-号-（ 研磨·高考题型 对于C,由指数西数的图象，可得a>1, 剥0<1<1，脚函数gx)在(0，十∞)上 显然f(x)是减函数， [例1门(1)B因为2=3”=k且元 a 由f(2-2)十f(22-k)<0可得f( 单调递减，故C正确： -2)<-f(22-k), =2,所以m≠0且≠0，所以k>0且 n 对于D,由指数画数的图象，可得a>1, 脚f(12-2)<f(-212+k,12-2>- k≠1， 剥0<<1，即函数g(r)在(0，+)上 2r2+k,3r2-21>k. 且有m=1ogk,n=l0gk,所以 1 单调递减，故D错误. 当1-号时，画数y-3-21有装小值 lo 2.log (2)A由于函数y=lg(x+1)的图象可 由函数y=lgx的图象左移一个单位而 为yn一 1 3 所以品+日-10g2+1bog3-16成6-2 得到，函数y一gr的图象与x轴的交点 是(1,0)， 故k的取值范国为（一∞，一了 则2-6， 故函数y=lg(x十1)的图象与x轴的交 即时训练(1)ABC因为e>0,所以 又因为k>0且k≠1，所以=√6。故 点是(0,0)，即函数y=g(x十1)的图 心+1>0. 选B. 象与x轴的公共点是(0,0)，显然四个选 所以函数「(x)的定义域为R,故A (2)答案2 项只有A选项满足，故选A. 正确： 解析 原式-log35-log50 -log;14 [例3]C周为c-1og1e<1og3-1,又1 /x)-1 2 <e07<0#<3m.4, eti--+i +1og4(2)2=log 35+1og+2 所以c<a<b.故选C 由e>≥03心+11e0<+1 前×14 [例D国为1g合<2， =l0g125-1=1og53-1=3-1=2. -2<- <0-1<1 e+1 即时训练(1)答案64 所以1og号<oga2 解析 1 1 3 <1, 由1ogaa 1og=1ogd 当0<<1时，对数函数为减函数， 所以函数f(x)的值城为（一1,1），故B 5 正确： 立loga-一是，整理得(o影a)2 所以号>心，可得0<<， 周为--- 当a>1时，对数函数为增函数。 5loga-6=0. →loga--1或log2a-6,又a>1. 所以号<d2,可得a>1, 所以函数f(x)是奇函数，故C正确： 所以1oga=6-1og25,故a-26-64. 因为函数y=十1是增函数，所以y= (2)答案1 熔上所递，a的取植范国为(0号)U e+1>1. 解析图为3￥=6，所以a=l0g36, (1,+oo). 所以画数y=是减西数· 1 1 1 L例5]D由fx)-ln2x+1-ln2r-1. 所以西数y一一 品是培数 所以士+方-+glg3+ logs 2=log;6=1. 得x)的定义城为女≠士}关 [例2](1)By-og(一x)的定义城为 于坐标原，点对称， 故fx)-e+1 十是增画数， (一co,0),故AD错误：BC中，又因为@ 又f(-x)-lnl1-2x|-m-2x-1|- n2r-1|-ln2x+1--f(x), 故D不正确， >1,所以0<1<1，故C错误，B正确. a ,「(x)为定义域上的奇函数，故排除 (2)答案8 故选B. A、C 解析设1一一x2+1 (2)答案C 因为x∈[-1,2] 解析不奶设a<b<c,作出函数f(x) 当re(,号)时， 所以当x=0时，t有最大值1， 的图象，如图所示， f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x), 当了一2时，1有最小值一3， 即一3≤1≤1， :y=1n(2x+D在(-名，号)上单辆 递增， 所以<（合）广<8，脚y-(合)）的取 y-n(1-2x)在(-号，)上单调 值范周是[合8]： 递诚 所以函数的最大值为8. 由图象可知0<a<1<b<10<c<12 由f(a)-f(b),得lga|-lgb, “在(-，)上单调递增，故排 第八节对数与对数函数 即-lga=lgb, 除B: 夯实·必备知识 ∴，lgab-0,则a山一1， 当xe(-o,-号)时，f(x)-l1n(-2x ac=c,又10c<12, 知识整合 ,abc的取值范国是(10,12). -1)-n(1-2x)=ln2x号 2x+1 1.r=log,N a N Ig N In N 即时训练(1)C对于A,由指数函数 2.(1)0 1 N (2)Olog M+log N (1+2号》 ②log.M-logN③nlog,M 的图象，可得>1，则0<<1，即画数 a 2 3.(0,+o∞)(1,0)y>0y<0y<0 g(x)在(0，十∞)上单调道减，故A =1+2在(-0，-)上单调 y0增减 错误： 递减，f(u)-nu在(0，十o)上单调 4.y=x 对于B,由指数孟数的图象，可得0<< 递增， 自我训练 1,测}>1，即画载g)在0，十四)上 根据复合函数单调性可知∫(x)在 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.A3.B4,B 单调递增，故B错误： 一©，-号）上单调递减，故D正确 457 即时训练(1)A由题意得，x一2x> [例3]C取特珠值，令a=4,b=2,c [例7]答案a<b 0→x∈(-89,0)U(2,十∞)， 解析 而函数y一x2-2x的对称轴为x-1. 构建画数f(x)=xln(1+)(z 所以西数y=x2一2x在（一，1）上单调 则a=宁，F=2,.4>M,故A >0) 递减，在(1，十∞)上单调递增， 错误： 则f)-(1+)- 根据复合函数单调性”同增异诚”的 a/-4×2r-2÷,bd-2×4片-2r. 原则 .a山>bd,故B辑误： 令ga=ln(1+）-c>o 函数f(x)的单调遂增区间为(2，十○)， logc=log.-1.logc loga 1 又因为画数f(x)在(a,十∞)上单调 -2,alogsc=-8,blog c=-2, 则g(x)一 r(1+)g<0. 递增， .alog,c<blog,c,logc>log,c,故C正 可知(x)在(0，十o0)上单调递减. 所以a∈[2，十∞). 确，D错误。 即时训练(1)C由y=0.3为减 又当x·十o∞时，f(x)0, eB令1-2-2art5a-1 函数， 所以f(x)>0,x)在(0，十∞)上单调 根据复合函数的单调性，委使函数f(x) 得0<a-0.32<0.3.1-b<0.3-1, 递增， -1log(e2-2ar+号。-1）有漾大值. 由y-log.1x为减函数，得e-log3< 所以f(2025)>f(2024),即a<b. logo.31-0, 即时训练(1)B周为a=2100, 则画数1--2a十号0-1有兼小正 Ka<h. 所以1ga=1g210=100lg2≈30.1， 值，且禹数f1)=loR1为减函数， （2Ba=2*>20=1.里6=l0g:号 因为b=35, 可知0<u<1. <1og1-0, 所以1gb-1g3时-651g3≈31.0115， 5 要使函数1-r2-2ax+2a-1有最小 又分∈(o,受）c-m号∈0,1. 因为c-90-30, a>>b. 所以1gc-lg30-60lg3≈28.626， 正值 则4=4d2-4(号a-1）<0. [例打A“a=lg4一是号b=log,5 所以lgb>lga>lgc,所以b>a>c. (2)A令2=3=5=k(k>1), 则x=logk,y=logk,之=logk, 解得号<a<2. 是气c-e6-器 所以二-21g-2级k.g3-_g9 缩上a的取值范国为（侵1） a-6提器 3y 310gk g23gkg8 1g4)3-g3×1g5 >1, 1g3×1g4 第九节指、对、幂的大小比较 (g3+g5) 则2x>3y (1g4)2- 2 研磨·高考题型 Ig 3XIg4 --·-<1 1g2 [例1门D令f(x)-0.8 4(1g4)-(1g15) 则2r<5x 由指数函数的单调性可知f(x)在R上 41g3×1g1 (1g16)2-(1g15) 所以3y2x<5z. 单调递诚， 4g3×1g4 >0. 又图为0.8<0.9， 第十节 .a>b. 函数的图象 所以f(0.8)>f(0.9), Ig 5 1g 6 夯实·必备知识 即0.80.8>0.8.9， 又b--1g11g 所以a>b, g5)-1g4×lg6 知识整合 Ig 4XIg 5 令g(x)=x08, 1.列表描点连线 2.(1)f(x)+kf(x+h)f(x-h) 由暴函数的性质可知g(x)一x4在(0， (4g5)2-(g1+1g6) 2 十o)上单调递增， 1g4×1g5 f(x)-k(2)①-f(x)②f(-x) 又因为0.8<0.9， 4(1g5)2-(1g24)2 ③-f(-x)④logx(a>0,且a≠1) 41g4×1g5 所以g(0.8)<g(0.9),所以0.88< (3)①1f(x)1②f(|x) g25)2-(1g24)2 0.8.5, 41g4×1g5 >0 自我训练 即a<c .b>c,故a>b>c. 1.(1)×(2)X(3)×(4)× 所以b<a<c.故选D. [例5]By=0.3是减函数，∴.0.34d 2.A3.C4.B ]A 0-log;1<log;2<log7 >0,中>>0.又号-（合》 研磨·高考题型 () >1,即a>h,a>b>c. [例1门解(1)原函数解析式可化为y一 2+1 [例6]D因为53=125>(3寸)3-81，所 片故画数图象可由画数y=上的 以5>3十， 图象向右平移1个单位长度，再向上平 “1g10.7-loga,70.1>1l6,0.7-1 所以1o照5>l63t-言即a>c 移2个单位长度得到，如图所示 .b>1. 1=0.60>0.60.4>0.50.1>0.5 周为7=343<(5+)3=625，所以7 1 <5六， 所以1og7<lbg5时-号即bKc所以 23 a>c>b. 458第二章函数 命题点3指数函数性质的综合应用 [思维升华] [例5](2025·郑州模拟)已知定义域为R (1)利用指数函数的性质比较大小或解 方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较 的函数f(x)= 一2十b是奇函数。 2+1+2 大小还可以借助中间量， (1)求b的值； (2)求解与指数函数有关的复合函数问 (2)若对任意的t∈R,不等式f(t一2t)+ 题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调 f(2t一k)<0恒成立，求k的取值范围. 区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一 [尝试解答] 性质分析判断 [即时训练] (1)(多选)(2025·重庆模拟)已知函数 f(.r)=e'-l 。+则下列结论正确的是() A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为（一1,1） C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)为减函数 +1 (2)函数y= 2 (x∈[-1,2])的最大 值为 请完成课时作业（十三） 第八节对数与对数函数 [课标要求]1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用 对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊 点.3.了解指数函数y=a(a>0,且a≠1)与对数函数y=logx(a>0,且a≠1)互为反函数. 夯实·必备知识 >》 知识整合 alog,N (a>0,且a≠1， 1.对数的概念 N>0). 一般地，如果a=N(a>0,且a≠1)，那么 (2)对数的运算性质 数x叫做以a为底N的对数，记作 如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么： ,其中 叫做对数的底数， 叫做真数。 ①log.(MN)= 以10为底的对数叫做常用对数，记作 ②log.N 以e为底的对数叫做自然对数，记作 ③logM"= (n∈R). (3)对数换底公式：logb= 2.对数的性质与运算性质 1ogb(a>0,且 loga (1)对数的性质：log1= log a= a≠1；b>0:c>0,且c≠1). 37 金榜题名创新高考总复习数学 3.对数函数的图象与性质 自我训练 a>1 0<a<1 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 “/”或“X”) y x=1 y=logx x=1 (1)若M=N,则1ogM=logN.() 图象 (1,0) (2)函数y=log2x(a>0,且a≠1)是对数 (1,0) 函数 () y=loga￥ (3)对数函数y=logx(a>0,且a≠1)是增 定义域 函数 () 值域 (4)函数y=log2x与y=log4x的图象关于 R x轴对称 过定点 ,即x=1时，y=0 2.已知xlog2=1,则4等于 () 当x>1时，： 当x>1时，： A.9 B.3 性质 当0<x<1时， 当0<x<1时， C.3 n号 函数 函数 3.如图(1)(2)(3)(4)中，不属于函数y=1og4x, 4.反函数 y=log4x,y=logx的一个是 指数函数y=a(a>0,且a≠1)与对数函数 (1) y=logx(a>0,且a≠1)互为反函数，它们 2分 的图象关于直线 对称 【常用结论】 1.logb·loga=1(a>0,且a≠1，b>0,且b≠1)， (3) 1og-b"=21og.b(a>0,且a≠1，b>0). 4) m 2.如图，给出4个对数 A.(1) B.(2) y=logx 函数的图象.则b>a y=iogx C.(3) D.(4) y=i >1>d>c>0,即在 4.函数f(x)=log(x-1)+1(a>0且a≠1) 第一象限内，不同的 y=log.r 的图象恒过定点 ( y=iogx 对数函数图象从左到 A.(2,2) B.(2,1) 右底数逐渐增大。 C.(3,2) D.(2,0) 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一对数式的运算 [尝试解答] [例1](1)(2025·济宁模拟)若2m=3”=飞 且1+1=2，则k= ( A.5 B.√6 C.5 D.6 (2)计算：log35+2log√2 -1og50 1og14= 38 第二章函 数 [思维升华 [思维升华] 解决对数运算问题的常用方法 对数函数图象的识别及应用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知 行化简. 函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴 (2)将同底对数的和、差、倍合并」 的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求 (3)利用换底公式将不同底的对数式转 化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、 的选项 逆用及变形应用 (2)一些对数型方程、不等式问题常转化 [即时训练] 为相应的函数图象问题，利用数形结合法 1)(2024·全国甲卷)已知a>1,1oga 求解。 [即时训练] log。4 =一号则a (1)(2025·乌鲁木齐检测)我国著名数学家 (2)(2025·广州模拟)若3=6，b=1og26, 华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数 则+ 时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事 a 休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图 题型二对数函数的图象及应用 [例2](1)(2025·深圳质检)当a>1时，在 象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢 磨函数的图象特征，函数f(x)=a与g(x) 同-一平面直角坐标系中，y=(日)广与y =logx(a>0且a≠1)在同一坐标系中的 log(一x)的图象是 大致图象是 D (2)函数y=|lg(x+1)|的图象是 ( |lgx|,0<x≤10， (2)已知函数f(x) 2x+6,>10, 若 a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c),则 abc的取值范围是 A.[10,12] B.(10,12] C.(10,12) D.[10,12) [尝试解答] 39 金榜题名创新高考总复习数学 题型三对数函数的性质及应用 命题点3对数函数的性质及应用 命题点1比较对数式的大小 [例5](2025·郑州模拟)设函数f(x)= [例3](2025·德州质检)设a=e7,b= 1n2x+1-ln2x-1,则f(x) 30.8,c=loge,则a,b,c的大小关系为 A.是偶函数，且在(2，十∞)上单调递增 A.a<b<c B.c<b<a B是奇函数，且在（一2·）上单调递减 C.c<a<b D.6<c<a [尝试解答] C.是偶函数，且在 -∞，- )上单调递增 D.是奇函数，且在(-∞，-)上单调递减 [尝试解答] 命题点2解对数方程、不等式 [例4幻(2025·衡阳模拟)若1og2<2,则a 的取值范围是 A竖.ua+ [思维升华] 求与对数函数有关的函数值域和复合函 数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定 C. 义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函 数的构成， [即时训练] (1)(2025·宜宾模拟)已知函数(x)= [尝试解答] log2(x-2x)在(a,十∞)上单调递增，则a 的取值范围是 ( ) A.[2,+o∞) B.[1,+o∞) C.(-o∞，1] D.(-∞，0] 5 (2)若函数fx)=log(r-2ax+2a-l有 最大值，则a的取值范围为 A(0,2 c(层》 D.(1,2) 请完成课时作业（十四） 40