第6节 二次函数与幂函数-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第二章函数 题型四函数的周期性与对称性 [思维升华 [例4]（多选）(2025·昆明模拟)已知定义 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性 域为R的非常数函数f(x),f(1+x)= 是函数的四大性质，在高考中常常将它们综 f(1一x),且图象关于点(2,0)对称，则下列 合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的 说法正确的是 奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上 A.f(0)=f(2) B.f(x)的周期T=2 的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性 C.f(x)为奇函数 D.f(x)为偶函数 解决相关问题， [尝试解答] [即时训练] (多选)(2025·盐城模拟)已知非常数函数 f(x)为R上的奇函数，g(x)=f(x十1)为 偶函数，下列说法正确的有 () A.f(x)的图象关于直线x=一1对称 B.g(2023)=0 C.g(x)的最小正周期为4 D.对任意x∈R都有f(2-x)=f(x) 请完成课时作业（十一）、必刷小题2 第六节二次函数与幂函数 [课标要求]1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质 (单调性、对称性、顶点、最值等). 夯实·必备知识 >》 知识整合 ②当α>0时，幂函数的图象都过点 1.幂函数 和 ,且在(0，十o∞)上单调递增： (1)幂函数的定义 ③当α<0时，幂函数的图象都过点 一般地，函数 叫做幂函数，其中x 且在(0，十∞)上单调递减； 是自变量，a是常数， ④当a为奇数时，y=x为 ;当a为 (2)常见的五种幂函数的图象 偶数时，y=x”为 =x)y=x2 y=x 2.二次函数 y=x习 (1)二次函数解析式的三种形式 y-x 一般式：f(x)= 0:1 顶点式：f(x)=a(x一m)2十n(a≠0)，顶点 坐标为 (3)幂函数的性质 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)， ①幂函数在(0，十○)上都有定义； x1,x2为f(x)的 31 金榜题名创新高考总复习数学 (2)二次函数的图象和性质 自我训练 y=ax2+bx+c 函数 y=ax2+bx+c 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 (a>0) (a<0) “/”或“X”) ()函数y=是幂函数。 图象 (抛物线 (2)若二次函数y=a.x2十bx十c的图象恒在 x轴下方，则a<0且△<0. (3)二次函数y=a(x一1)2十2的单调递增 定义域 R 区间是[1，+∞). () 值域 4ac-b2 ,十o∞ -o,4ac-b2 (4)若幂函数y=x是偶函数，则a为偶数. Aa () 2.已知幂函数f(x)的图象过点(2，√2)，则 对称轴 x=一 b 2a 位)等于 顶点 A.2 B.4 坐标 c号 D 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非 奇偶性 奇非偶函数 3.已知函数f(x)=x2-2x+2,x∈(-2,2)， 则函数f(x)的值域为 () 在(-o∞， b1上 b 2a 在(-∞，- 2a A.(2,10) B.[1,2) 单调递 上单调递 C.2,10] D.[1,10) 单调性 在[名+上 在[名+) 4.已知函数f(x)=x2+2(a-1)x十2在区间 (一∞，一3]上单调递减，则实数a的取值范 单调递 上单调递 围是 研磨·高考题型 》 ■ 题型一幂函数的图象与性质 (2)(2025·德州模拟)已知幂函数f(x)= [例1](1)如图所示，图中的曲线是幂函数 (m2+m-5)x+2m5在区间(0，十o∞)上单 y=x"在第一象限的图象，已知n取士2， 调递增，则f(3)等于 () 士2四个值，则相对应曲线C,C,C,C,的 A.27 B.9 n依次为 c D品 [尝试解答] -2.-222 22-2 C--22, D2-2,- 32 第二章函数 [思维升华] [思维升华] (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在 求二次函数解析式的三个策略 第一象限内三条线分第一象限为六个区域， (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式. 即x=1,y=1,y=x所分区域.根据a<0, (2)已知顶点坐标、对称轴、最大（小）值 0<a<1,a=1,a>1的取值确定位置后，其余 等，宜选用顶点式 象限部分由奇偶性决定 (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜 (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值 选用零点式 的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行 [即时训练] 比较 已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称 [即时训练] 轴为直线x=2,且方程f(x)=0的两个根 (1)(2025·安徽联考质检)若幂函数f(x) 的平方和为10，则f(x)的解析式为 =(m2-2m-2).x”m+1在区间(0，十oo)上 单调递减，则m= () 题型三 二次函数的图象与性质 A.3 B.1 [例3] 已知函数f(x)=x2十a,x十3-a, C.-1或3 D.1或-3 a∈R, (2)已知幂函数y=x1,直线y=x,y=1, (1)若y=f(x)在区间[一1,3]上是单调函 x=1将直角坐标系第一象限分成八个“卦 数，求a的取值范围； 限”（如图所示），那么，幂函数y=x寸的图 (2)若当0≤x≤2时，函数y=f(x)的最小 象在第一象限中经过的“卦限”是 () 值是关于a的函数m(a),求m(a)的表 达式 [尝试解答] A.Ⅵ，I B.IV,VI C.Ⅲ，Ⅷ D.Ⅲ，W 题型二 二次函数的解析式 [例2]已知二次函数f(x)满足f(2)=一1， f(一1)=一1，且f(x)的最大值是8，试确 定该二次函数的解析式， [尝试解答] 33 金榜题名创新高考总复习数学 [微拓展】 [思维升华」 二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 二次函数在闭区间上的最值主要有三种 在含参的二次函数中，常常出现两种情况的 类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动， 讨论： 不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区 (1)二次函数是确定的，但它的定义域区间 是随参数而变化的，我们称这种情况是“定 间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴 二次函数在动区间上的最值” 与区间的位置关系进行分类讨论 (2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图 [即时训练] 象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称 这种情况是“动二次函数在定区间上的最值” (1)已知y=(x-m)(x-n)+2025(m<n), 典例(1)已知函数f(x)= 2x2+x在区 且a,3(a<β)是方程y=0的两根，则a,3, m,n的大小关系是 间[a,b们上的最小值为3a,最大值为3b,则 a十b等于 A.a<m<n<B ( A.-4 B n.号 B.m<a<n<B C.2 C.m<a<<n (2)若函数f(x)=x一2bx十3a在区间 D.a<m<n [0,1]上的最大值为M,最小值为m,则M m的值 (2)(2025·镇江模拟)函数f(x)=x2一4x A.与a无关，与b有关 +2在区间[a,b们上的值域为[一2,2]，则 B.与a有关，与b无关 b一a的取值范围是 C.与a有关，且与b有关 请完成课时作业（十二） D.与a无关，且与b无关 第七节 指数与指数函数 [课标要求]1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质， 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点 等性质，并能简单应用 夯实·必备知识 >》 ■ 知识整合 (3)(Wa)"= 1.根式 当n为奇数时，a” (1)一般地，如果x”=a,那么 叫做a 当n为偶数时，a"=|a= Ja,a≥0， -a,a<0. 的n次方根，其中n>1,且n∈N". 2.分数指数幂 (2)式子a叫做 ,这里n叫做根指 正数的正分数指数幂：a=Va"(a>0,m, 数，a叫做被开方数. n∈N',n>1). 34即时训练Cf(4一x)=f(2-(x一 研磨·高考题型 又根据题意，函数有最大值8， 2))=f(x-2)=-f(2-x)=-f(x), [例1](1)B根据暴函数y=”的性质， 所以n=8, 即f(1一x)十f(x)-0,故f(x)的图象 在第一象限内的图象： 关于点(2,0)中心对称， 当>0时，n越大，y一”递增述度越快， 所以f)-a(x-号）+8 f(2一x)一f(x),则f(x)的图象关于 所以南线G的m-2C的m-: 国为2)=-1，所以a(2-专）广+8 直线x=1轴对称，故A、B错误： -1, 根据题意可得，「(x)在(0,1)上单调 当<0时，越大，曲线越陡峭，所以 曲线C的n-一子C的-2 解得a一一4， 递增， :八x)的图象关于直线工=1轴对称，关 所以f()=-4(-号)+8=-2 (2)A由题意，得m十m一5一1， 于点(2,0)中心对称， 即m2十m一6一0，解得m一2或m-一3， +4x+7. 则f(r)在(2,3)上单调递诚，故C正确： 当m=2时，可得函数f(x)=x, 法三：（利用“零点式”解题） 又f(x)=f(2一x)=一f(x一2)，则 此时函数f(x)在(0，十o)上单调递增， 由已知得f(r)十1=0的两根为x1一2， f(x+2)--f(x), 特合题意： 2=-1, .f(x+4)--f(r+2)-f(x),可知 当m-一3时，可得f(x)-x, 故可设f(x)+1-a(x一2)(xr+1)(a≠0)， f(x)的周期为4， 此时函数f(x)在(0，十o)上单调递减， 即f(x)-a.x2-ax-2a-1. 则(-)-f(合)<f(号)小故 不符合题意， 又函数有最大值8，即 即暴函数f(x)=x,则f(3)=27. 4a(-2a-1)-(-a)2 D错误 =8. 4a 即时训练(1)A因为函数f(x)一 [例4]AC由f(1+x)-f(1-x)知， 解得a-一4. 「(x)的困象的对称轴为直线x一1， (m2一2m一2)xm-m+1为暴函数，且在 故所求函数的解析式为f(x)一一x十 所以f(0)=f(2): 区间(0，十o)上单调递减，所以m2一2m 4x十7. 由f(1+x)-f(1一x)知，f(2+x) 一2一1且m2一4m+1<0,又m2一2m 即时训练答案f(x)-x2一4x十3 3-0,可得m-一1我m=3. f(-x), 解析依题意，设函数f(x)一a(x一2) 又图象关于点(2,0)对称， 当m=一1时，满足m2一m十1>0， 十h(a≠0)， 即f(2+x)=-f(2-x),故f(4+x) 合去： 由二次品数f(x)的图象过点(0,3)，得 当m一3时，满足n2一4m十10. -f(-x), f(0)=3. 综上m一3.故选A. 所以一f(2+x)=f(4十x),即一f(r)= 所以4a+h-3,即h一3-4a, f(2+r), (2)B显然，图中图象下降的曲线表示 所以f(r)-a(x一2)2十3一4a, 的函数为y=x一1， 所以f(x)=f(x十4)，f(x)的一个周期 令f(x)=0,即a(x-2)2+3-4a=0, 为4. 因为-<0， 所以ar2-4ar+3=0, 又f(4+x)=-f(一x》且T=4, 所以函数y=x寸在(0，十∞)上单调 设方程的两很为山· 所以f(x)=f(4十x)=一f(一x), 递诚 则十=4= a 所以f(x)为奇蓝数 即时训练ABD因为f(x)为R上的 当x-合时1<（） =2<2 所以x号+=(c1+x)2-2x1西=16 奇函数， 6 且(x)-f(x十1)为偶函数， -(侵) 所以f(x)关于(0,0)中心对称，且直线x 所以16-6-10，解得4=1， 则y=x宁的图象在直线y=1的上方， 一1为对称轴， 在y一x1的图象的下方，即y一x÷的 所以f(x)-x2-4x+3. 所以直线x一一1色是对称轴， [例3]ACD由题意得a<0,对称轴为x 图象过W: 所以∫(x)的图象关于直线x=一1 对称， 当x=2时，2-1<2÷<2°=1， = =1，则b-2a>0,故A正确： 2a 所以f(x)=f(2一x),A、D正确： 期y一x于的图象在直线y一1的下方， 当r-一1时，y-a-b十c0,别a十c 由A分析知f八x)一f(2-x)=一f(一x), 在y=x1的图象的上方，即y=工的 b,故C正确： 故f(2+x)--f(x), 图象过理· 当x=0时，y=c>0,则abc<0,故D 所以f(4十x)=一f(2十x)=f(x), 正确： 工例2]解法一：（利用“一般式”解题） 所以f(x)是一个周期为4的周期函数， 设f(x)=ax2+bx十c(a≠0). 当x一1时，y-a+b+c>0,故B错误. 则g(2023)-f(2024)-/(0)-0,B 4a+2b+c=-1. [例4门解(1)函数f(x)-2+4r+3 正扇： 由题意得 a-b+c=-1, “图象的对称轴为直线工=一受 但不能说明g(x)的最小正周期为4，C lac =8 因为f(x)在区间[一1,3]上是单测 错误 Aa 函数， (a=-4, 第六节 二次函数与幂函数 解得b一4， 所以-号≥3或-号≤-1 夯实·必备知识 (c-7. 故a≤-6或a≥2. 所以所求二次函数的解析式为 知识整合 f(x)=-4x+4x+7. 1.1)y-(3)②1,1)(0.0) (2)当-兰<0，脚>0时，(x)在区间 法二：（利用“顶点式”解题） ③(1,1)①奇函数偶函数 [0,2]上单调递增，m(a)=f(0)=3-a: 2.(1)ar2+br十c(a≠0)(m,n)零点 设f(x)-a(x-m)2十n(a≠0). 周为f(2)=f(-1), 当0<-受<2，即-4a<0时， (2)减增增减 自我训练 所以鹅物线的对称轴为工2十（一卫 2 八)在区同[0、一受]上单调追浅，在 1.(1)×(2)√(3)×(4)× 2.C3.DL,(-∞，4] 立，所以m一立 [一受，2]上单增 455 (2)答案[2,4] 对于CD,因为新近线为y=2,所以a= 解析解方程f(x)一x2一1x十2-2，得 2,故x-0时，y-1, 当-号>2，即a≤-4时，f(x)在区间 x=0或x=4, 故选项C符合，D不符合： [0,2]上单调递减，m(a)=f(2)-a+7. 解方程f(x)-r2-4r+2=-2,得x |-a,x<1, =2, 当0<a<1时，f(x)- a+7,a≤-4， a-a,r≥1， 由于函数f(x)在区间[a,b们上的值战为 综上，m(a) c-u+3,-4a0 当x≥1时，数单调递增，当x<1时 [-2,2]. 函数单调递减， 3-a,420. 若画数f(x)在区间[a,b们上单调， 函数图象的渐近线为y-a,而0<a<1, 微拓展 则[a,J-[0,2]或[a,b]-[2,4幻，此时b 故ABD不符合.故选C 1 2x2+r 一a取得最小值2： 典例(1)A因为f(x)一一 (2)答案(0,2) 若函数f(x)在区间[a,b们上不单调， 解析在同一平而直角坐标系中画出y 且当b一4取最大值时，[a,b]=[0,4] =|2一2引与y=b的图象，如图所示， 所以b一a的最大值为4， 称轴为x=1,开口向下，函数在（一∞，1门 所以b一G的取值范周是[2,4门. y y-12-2 上单调递增，在[1，十∞)上单调递减， 依题3动<号，所以长行， 第七节指数与指数函数 ..y=2 =6 所以f(x)在区间[a,b们上单调递增， 夯实·必备知识 +a=3a 知识整合 …y=-2 f(a)=3a 1.(1)x(2)根式(3)aa 所以 1f(b)-3b, +6-3动. 1 2.0 ∴当0<6<2时，两函数图象有两个交 3.a+& a a'b' 点，从而函数f(r)-|2-2|-b有两个 所以口山为方程宁十2红=0的两报： 4.(2)(0,+∞)(0,1)y>10<y<1 零点 y>10<y<1增减 .实数b的取值范围是(0,2) 所以4十b-一 1 自我训练 即时训练BD观察图象得，函数∫(x) 2 1.(1)×(2)×(3)√(4)× =a一b是减函数， (2)A函数f(x)-x2-2hr+3a的图 2.D3.A1.5 因此0<a<1, 象开口向上，且对称轴为直线x一， 研磨·高考题型 设图象与y轴交点的纵坐标为y。,则0 ①当b>1时，f(x)在[0,1]上单调递减， <m<1, 则M-f(0)-3a,m-f(1)-1-2b+ [例1] 解 D原式-（） 一2× 当x一0时，y一1一b,于是得0<1一b< 3a,此时M一m一2b一1，故M一m的值与 ()-2+() 1,解得0<b<1, 4无关，与b有关： 所以0<a<1,0<b<1 ②当<0时，f(r)在[0,1]上单调递增， 则M-f(1)-1-2b+3a,m-f(0)- -[()]-2x[()门 -2+ [例3]A周为函数y-(号)在R上 3a,此时M一m=1-2b,故M一m的值与 a无关，与b有关： 号-2×是-2+品 单调地浅，（宁）广<（告）广<安 ③当0b≤1时，m-f(b)-3a一b2, 若0≤b≤克，则11D≥f(0.有M- 号-号-2+品=-0 所以a>b>1, 48 因为西数y=a(a>1)在R为增函数 所以a>d, f(1)-1-2b+3a,.∴.M-m--2b+ ②原式=2X3X3X(2)广×g×3 1,故M-m的值与a无关，与b有关， 又y-(b>1)在(0，十∞)上单调递增 =6×2++×3+4+ 所以a”>, 若6>号则1<0)，有M-f0) -6×3-18. 综上，>>.故选A. =3a, 即时训练BC对于A,/一3- [例4门Dy一-3·2+3的值域为 .M一m=b,故M一m的值与a无关， /3=3立=3*=≠一3，所以A [1,7]. 与b有关， 错误； 1≤-3·2+3≤7. 综上，M-m的值与a无关，与b有关. 对于B,(a)(-3a÷b广)÷ 又2r>0,.0<2≤1或2≤24 即时训练(1)Cy=(x一m)(x一n)十 (宁）-+4-中·+- r≤0或1≤≤2. 2025(m<n)为二次函数，图象开口 [例5]解(1)因为定义域为R的函数 向上 --9a(a>0,b>0),所以B正确： 国为a,3(a<3)是方程y=0的两根， (x)= 一2十书是奇函数， 对于C,√万=Vg+=9t=3+=5,所 2+1+2 故a,a<B)为二次函数的图象与t轴 的两个交点的横坐标， 以C正确： 所以f0)=二1+也-0，解得b=1. 其中f(m)=f(m)=2025, 对于D,因为(x十x1)2=2+2+x 经检验，当b一1时，f(x)一 -2+1 画出大致图象如图所示， =4,所以x十x1=士2，所以D错误. 2+1+2 [例2](1)C当a>1时，f(r) 11-2 =2025 |a'-a,x≥1. 21+2 la-a',<1, 显然当x≥1时，函数单调递增，当x<1 =交·2+i 时，虽数单调递减， B n 1.1-2 函数图象的渐近线为y一a,而a>1,故 -1+2 一一f(x),函数为奇函数， 显然m<a<<. AB不符合： 所以b-1. 456