第3节 函数的奇偶性、周期性-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

又a>1, 微拓展 即时训练 (1)A由题意可得 .1-a<0. 典例ACD对于A,(配方法)y=x -a≥1， >:牌) 2x十3=(x-1)2+2, a<0. 解得一2≤a≤一1， 由x∈[0,3)，再结合函数的图象（如图① 1+2a+5≥-a, f(x2)>0, 所示)，可得函数的值域为[2,6). ,整数a的取值可以为一2.故选A. f（x1)>f(x3), (2)答案Λ 故函教f(x)在区间（一1，+）是减 解析f(x)=一|r一4的图象知图 函数， 所示， 即时训练(1)C函数f(x)=(x一4) y=x2-2x43 要想函数f(x)=一|x一4|在区间 [3,十)上为减晶数，必须满足a≤3， /x2-4a,r≥0， ·x= 的图象如图 2 周为(31是{aa≤3)的子集， -x2+4x,x<0 1 所以“a=3”是“函数f（x)=-x一a在 所示， 01234X 区间[3，十)上为减函数”的充分不必 @ 要条件故选A. y Y y=2(2+1)-d 62 39 第三节函数的奇偶性、周期性 由图可知画数的单调递增区间为（一©，0） 夯实·必备知识 和(2，十o∞). 01234f 知识整合 (2)答案（-©，-）】 ② 1.f(一x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x) 解析令1=2x2-3x-2>0, 对于B,(分离常教法)y=2 原点 r-3 2.(1)f(x+T)=f(x)(2)最小最小 解得>2或<-豆 1 2,7=2+黑30… 正数 -3 自我训练 期f(x)的定义城为(-©，-号)U y≠2 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 故函数的值城为（一o∞，2）U(2,十o∞). (2.+o∞）. 2.D3.B4.(-2,0)U(0,2) 对于C,(换元法)设1=x一1，则r= 由f(1)=log1在(0，十∞)上单调递减， 研磨·高考题型 +1,且t≥0，六y=2(2+1)-t= 根据复合画数的单调性：同增异减，函数 [例1门(1)C对于A,函数f(x)=x的 1=2x2一3x一2的单调递减区间，即为 2-)+g 定义城为R,「（一x)=(一x)=一x= 一f(x),f(x)不是偶函数，A不是： f(x)的单调递增区问，再结合f（x)的定 由>0，再结合函数的图象（如图②所 对于B,函数f(x)=x一1|的定义域为 义域可知，∫(x)的单调递增区间为 示)，可得品数的位域为[十） R,f(-x)=|-x-1川=lx+1|≠f(x), (-,-) 对于D,函数的定义拔为[1，+∞)， f(x)不是偶品数，B不是： 对于C,函数f(x)=1的定义裁为R, [例3A国为对任意的∈(-0,0们 :y=√+T与y=√x-可在[1，十o) f(-x)=1=f(x),f(x)是偶函数， x1≠2)，有）f儿<0. 上均单调递增，.y=√+T+√一T C是； TI-I? 在[1，十∞)上为增函数， 所以f(x)在（一∞，0]上单调递减， ∴当，x=1时，ymn=√2， 对于D,通数《)千有的定义城为 又f(x)为偶函数， 即函数的值城为[2，十©). 所以f(x)在(0，十o)上单调递增， [例]A因为函数y=f(x)在定义城 R./-)=(-+=-fx)fx 则f(2)<f(3)<f(4), (-1,3)上是战函数，且f(2a一1)<f(2 不是偶函数，D不是.故选C 又f(-2)=f(2), (2)答案奇 -a）, 所以f(一2)<f(3)<f(4). -1<2a-1<3, 解析由题意得函数「(x)的定义城为 [例4]C令8-5.r=t,周为x∈ 则有{一1<2一a<3, R,定义域关于原点对称， 2a-1>2-a, 令x=y=0,则f(0+0)-f(0)+f(0)- [0,号)U(号，+∞)所以1e(0,8] 解得1<a<2,所以实数4的取值范围是 2f(0), U(-∞，0). (1,2).故选A 故f(0)=0. 令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x) 当0,8时通兼0=号 单调递 [例6]C:f(.x)= ar<0, (a-2)x+3a,x≥0 =0, 减：故0≥8)= 在R上是城函教， 故f（-x)=-f(x). 0<a<1, 故f(x)为奇函数， 当(-0,0)时，即1<0，所以f0)=兰 .a-2<0. 即时训练A对于A,(x)一？的定义 (a-2)×0+3a≤a°， 城为R,f(-x)=-x=一f(x),画数 <0, f(x)是奇函数，A是： 所以函数的值城为（一∞，0）U 解0<a<分 对于B,f(x)=|x|的定义城为R, [子+m):故选C 的取值范周是(0，号] f(一x)=1一x|=f(x),孟数f(x)不是 奇函数，B不是： 452 对于C,f(x)=x2的定义战为R,f(一x) 所以f(2x)>f(x-3-4)=f(x一7)， 2-1-n 且g(-x)=ln2+ 2x+1 =(一x)2=f(x),函数f(x)不是奇高 所以2.x>x一7，得到x>-7, 数，C不是： 所以f(2x)一f(x一3)>一2的解集为 -h =一g(r）, 对于D,f(r)=x”-1的定义城为R, (-7,+0). f(-x)=(-x)2-1=f(x),函数f(x) 故C错误： 所以g(x)为奇函数. 对于D,因为f(x)为奇函数。 2.r-1 不是奇函数，D不是，故选A 若f代)=(x+aln2干为偶函数， [例2](1)B由题意知，函数f(x)的定 所以f(-x)+f(x)-0, 射y=x十a也应为奇函数，所以a=0 义域为R,关于原点对称， 所以f(-2025)+f(2025)=f(-2024) [例4幻(1)C国为f(x)是定义城为R的 设g(x)=f(x)-5=2-2, +f(2024》=…=f(-1)+f(1)=0, 偶函教， 则g(-x)=2-1-2=-g(x), 文f(0)■0，故f(-2025)+f(-2024) 所以f(-x)-f), 即g(x)是奇函数， +…+f(0)+…+f(2024)+f(2025) 故f(2+x)=f(-x)=f(x), 故g(m)十g(一m)=0, =0,故D错误. 所以「(x)的一个周期为2， 肿f(m)-5+f(-m)-5=0, (2)答案log2x(答案不唯一，符合条件 即f(m)十f(一m)=10, 即可) 故f(号)-∫（号-4）-f()- 因为f(m)=4, 解析图为对Vm,n>0,f(m》十f(n)= 所以f(一m)=6. f(mn). 5() (2)答案一十2x十1 所以f(.x)在(0，十∞)上可能为对数 (2)D因为f(.x)的周期为3， 解析国为f(x)是定义在R上的奇 函数， f(-1)=1,则f(2)=f(-1+3)= 函数， 故f(r)=logx(a>0,且a≠1)满足条 f(-1)=1, 则当x=0时，f(0)-0. 件①， 文f(0)=一2，则f(3)=f(0十3)=f(0) 当x>0时，-r<0,f(r)=一f(-x)= 又f(号)=-1，所以fx)=l0gx =-2, -(e-2x-1)=-c+2.x+1. 因为品数f(x)在R上的图象关于y轴 又f(0)=-e°+2×0+1=0. 故符合上述条件的品数可以为f(x) 对称， 则当x≥0时，f(x)=-e+2x+1. -log2r. 所以f(x)为偶函数， [例3]A国为f(x)是偶函数，所以由 即时调练(1)B因为函数∫(：x)为R 枚f1)=f(-1)=1, f(5)=-f(-5)→f(5)=-f(5)→ 上的奇函数， 则f(1)+f(2)+f(3)=0. f(5)=0, 则f(0)=e°十0十m=0,解得m=一1， 故f(1)+f(2)十f(3)+…+f(2025)= 当x>0时，由xf(x一1)>0→f(x-1) f(-1)=-f(1)=-(e+1-1)=- 675×0=0. >0=f(5)→f(lr-1|)>f(5), (2)答案D 即时训练ACD周为f(x十2)+f(x) 因为f(x)在[0，十∞)上单调递增， 解析对任意实数a≠b,有a）一(b =0, a-b 所以fx-1)>f(5)→x-1|>5→x 所以f(x)=-f(x十2)，f(x+4)= <0,所以函数g(x)在R上单调递减， >6,成x<-4, -f(x+2)=f(x), 又因为函数g(x)为定义在R上的奇函 而x>0,所以x>6: 所以f(x)的一个周期是4，故C正确： 数，且g(加)十g(m一2)>0，别g(m)> 当x<0时，由xf(x一1)>0→f(x-1) 又f(-x)=一f(x), g(2-m),所以m<2-m,2m<2,得m <0=f(5)→f(x-1|)<f(5). 所以f(x)为奇函数，f(0)=0, <1.故选D. 因为f(r)在[0，十∞)上单调递增， 所以f(2)十f(0)=0,即f(2)=0,故A (3)B法一：因为f(x)为偶盛数， 所以f(x-11)<f(5)→1x-1|<5→ 正确： 则f1)=f(-1), -4<x<6, 又f(x)的一个周期为4，且为奇西敏， 而x<0,所以一4<x<0,故选A. p0+aln言=(-1+ah3,解得@ 所以「(x十4)为奇函数，故B不正骑： 微拓展 0. 因为f(x)的图象关于(0,0)对称，所以 典例(1)AB对于A,令x=y=0,可 得(0)=f(0)+f(0)=2f(0),所以 喜a=0时，0=h签品 f(x)的图象也关于点（一4,0）对称，故D 正确。 f(0)=0. 由(2x-1)(2x+1)>0. 第四节 函数的对称性 令y=-x,得到f(-x)+f(r)=f(0) 解得>或rK- =0,即f(一x)=一f(x),所以f(r)为 夯实·必备知识 奇函数，故八正确： 知识整合 对于B,因为f(x)为奇函数， 1.(1)原点y轴(2)x=a(a,0) 关于原点对称。 所以f(一2)=一f(2)=一1，故B正确： 2.(a,0) 2(-x）-1 对于C,设1>2r=1y=一r, f-x)=(-xln2-)+i 3.(1)y轴(2)x轴(3)原点 可得f(x-x)=f(x1)十f(-x), 9=(加-加(》 自我训练 所以(x1)-f(g)=f(x1)+f(一xe) 1.(1)/(2)√(3)×(4)V =f(x1-x2). 又因为x1>xg,所以一x:>0, ) 2.B3.A4.(-1,2) 研磨·高考题型 所以f(1-x)>0,即fr)>f(2), 此时f(x)为偶西数，符合题意， [例1](1)A由函数f(x十1)为锅函数， 所以(x)在R上单调递增，国为f(一2) 故a=0. 可得函数f(x)的图象关于直线x=1 =-1, 法二：设g)=n多 2xr+11 对称， 所以f(一4)=f(一2-2)=2/（一2）= 所以f(2十x)=f(一x), -2, 马知g(x)的定义裁为(-o©，-)U 因为f(x)是定义在R上的奇西数， 由f(2.x)-f(x-3)>-2, 所以f(4+x)=f(-2-x)=-f(2+x) 可得f(2.r)>f(r-3)+f(-4) (2+∞ =-f(一x)=f(x), 453金榜题名创新高考总复习数学 [思维升华] x2+2ax+5,x<1 (1)比较函数值的大小时，先转化到同一 在区间（一∞，十∞）上 ,x≥1 个单调区间内，然后利用函数的单调性解决 (2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”, 是减函数，则整数a的取值可以为( 转化为自变量间的大小关系，应注意函数的 A.-2 B.2 定义域 C.0 D.1 (3)利用单调性求参数的取值（范围）.根 (2)“a=3”是“函数f(x)=一|x一a在区 据其单调性直接构建参数满足的方程（组） 间[3，十∞)上为减函数”的 () (不等式（组）)或先得到其图象的升降，再结 A.充分不必要条件 合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的 B.必要不充分条件 取值. C.充要条件 [即时训练] D.既不充分也不必要条件 (1)(2025·聊城模拟)已知函数f(x) 请完成课时作业（八） 第三节 函数的奇偶性、周期性 [课标要求]1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质 进行简单的应用。 夯实·必备知识 知识整合 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所 1.函数的奇偶性 有周期中存在一个 的正数，那么这 个 就叫做f(x)的最小正周期. 奇偶性 定义 图象特点 【常用结论】 1.函数奇偶性常用结论 般地，设函数∫(x)的定义 关于 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同 域为D,如果Hx∈D,都有 偶函数 -x∈D,且 ,那么 的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上 对称 函数f(x)就叫做偶函数 具有相反的单调性。 2.函数周期性常用结论 一般地，设函数∫(x)的定义 对f(x)定义域内任一自变量x的值： 关于 域为D,如果Yx∈D,都有 (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0): 奇函数 -x∈D,且 对称 (2)若f(x+a)= f则T=2a(a>0. 那么函数f(x)就叫做奇函数 自我训练 2.函数的周期性 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义 “√”或“×”) 域为D,如果存在一个非零常数T,使得对 (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0. 每一个x∈D都有x+T∈D,且 那么函数y=f(x)就叫做周期函数，非零常 (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数 数T叫做这个函数的周期. () 24 第二章函数 (3)对于函数y=f(x),若f(一2)=-f(2), 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2) 则函数y=f(x)是奇函数. () =f(x),当x∈[-1,1]时，f(x)=x2+1, (4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k 则f(2024.5)等于 () ∈N·)也是函数f(x)的一个周期.() 2.设奇函数f(x)在(0，十∞)上为单调递增函 A号 R号 数，且f(2)=0,则不等式f-)-fD≥0 C.2 D.1 4.已知f(x)是定义在 y 的解集为 R上的奇函数，其在 A.[-2,0]U[2,+∞) [0,十∞)上的图象如 -3-2-1,012八3 B.(-∞，-2]U(0,2] 图所示.则不等式 -2 C.(-∞，-2]U[2,+∞) xf(x)>0的解集为 D.[-2,0)U(0,2] 研磨·高考题型 >》 ■ 题型一函数奇偶性的判断 [即时训练] [例1](1)(2025·盐城检测)下列函数中， (2025·福州模拟)下列函数中，是奇函数 是偶函数的是 的是 ( A.f(x)= B.f(x)=|x-1 A.f(r)=x B.f(x)=x D.( C.f(x)=x2 D.f(x)=x2-1 C.f(x)=1 题型二 函数奇偶性的应用 (2)已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有 命题点1利用奇偶性求值（解析式） f(x十y)=f(x)+f(y),则函数f(x)为 [例2](1)已知函数f(x)=2-2+5,若 函数.（填“奇”“偶”或“非奇非偶”） f(m)=4,则f(一m)等于 () 尝试解答] A.4 B.6 C.-4 D.-6 (2)(2025·吕梁月考)已知f(x)是定义在 R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=e十 2x一1，则当x≥0时，f(x)= [尝试解答] [思维升华] 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇 非偶函数 (2)判断f(x)与f(一x)是否具有等量 关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判 断奇偶性的等价等量关系式f(x)十f(一x) =0(奇函数)或f(x)一f(一x)=0(偶函数)) 是否成立， 25 金榜题名创新高考总复习数学 命题点2利用奇偶性解不等式 ③指数函数f(x)=a(a>0,且a≠1)，对应 [例3](2025·辽宁丹东质检)若偶函数 f(x)在[0，+∞)上单调递增，且f(5) Fx+0=f)f)或f)=号 -f(-5),则不等式xf(x-1)>0解集是 ④对数函数f(x)=logx(a>0,且a≠1)，对 A.(-4,0)U(6,+∞) 应f(zy)=f(x)+f(y)或f()=f(x) B.(-4,6) f(y)或f(x")=nf(x). C.(-∞，-4)U(6,+o∞) 典例(1)（多选）已知函数f(x)的定义域为 D.(-∞，-4)U(0,6) R,且f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时， [尝试解答] f(x)>0,且满足f(2)=1,则下列说法正确 的是 A.f(x)为奇函数 B.f(-2)=-1 C.不等式f(2x)-f(x-3)>-2的解集为 (-5,十0∞) D.f(-2025)+f(-2024)+…+f(0)+ +f(2024)+f(2025)=2024 (2)已知函数f(x)满足：①对Hm,n>0, [微拓展] 抽象函数 f(m)+f(m)=f(mm):②f(侵)=-1.请写 抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性 出一个符合上述条件的函数f(x) 质、解不等式等，一般通过代入特殊值求值、 通过f(x1)一f(x2)的变换判定单调性、出 [思维升华】 现f(x)及f(一x)判定抽象函数的奇偶性、 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求 换x为x十T确定周期性， 参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转 化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等 (1)判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数f(x十y)= 式，利用方程思想求参数的值. …,判断符号时要变形为f(x2)一f(x1) (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其 对称区间上的图象，结合几何直观求解相关 f[(x2-x1)+x1]-f(x1)或f(x2)-f(x,) 问题， =f(x2)-f[(x1一x2)十x2] ②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)=…, [即时训练] 判断符号时要变形为f(x2)一f(x,) (1)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0 f· 时，f(x)=e'+x十m,则f(一1)等于() 一f(x1)或f(x2)-f(x1) A.e B.-e f(x2)-f C.e+1 D.-e-1 I, (2)(2025·四川自贡质检)已知g(x)为定 (2)常见的抽象函数模型 义在R上的奇函数，且对任意实数a≠b,有 ①正比例函数f(x)=kx(k≠0)，对应f(x 8(a)-g(b) 士y)=f(x)士f(y): a-b <0,若g(m)十g(m-2)>0,则 ②暴函数f(x)=x”,对应f(xy)=f(x)》 实数m的取值范围是 ( f(y)或f f(x) A.(3,+∞) B.(-∞，3) f(v) C.(1,+o∞) D.(-o∞，1) 26 第二章函数 (3)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)· [尝试解答] 2x二为偶函数，则a等于 In 2x+1 A.-1 B.0 c D.1 [思维升华] (1)求解与函数的周期有关的问题，应根 题型三函数的周期性 据题目特征及周期定义，求出函数的周期. [例4幻(1)(2025·安康模拟)设f(x)是定义 (2)利用函数的周期性，可将其他区间上 域为R的偶函数，且f(2十x)=f(一x), 的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化 f(-)=则f()等于 到已知区间上，进而解决问题 B.一2 [即时训练] (多选)(2025·深圳模拟)已知非常数函数 c D名 f(x)的定义域为R,满足f(x十2)+f(x) =0,f(-x)=一f(x),则 () (2)(2025·泸州模拟)已知定义在R上的 A.f(2)=0 函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为 B.f(x十4)为偶函数 3,又f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+ C.f(x)为周期函数 f(2)+f(3)+…+f(2025)的值是( D.f(x)的图象关于点（一4,0）对称 A.2024 B.2023 C.1 请完成课时作业（九） D.0 第四节 函数的对称性 [课标要求]1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式 解决问题 夯实·必备知识 >》 知识整合 3.两个函数图象的对称 1.奇函数、偶函数的对称性 (1)函数y=f(x)与y=f(一x)的图象关于 对称： (1)奇函数关于 对称，偶函数关于 (2)函数y=f(x)与y=一f(x)的图象关于 对称 对称； (2)若f(x十a)是偶函数，则函数f(x)图象 (3)函数y=f(x)与y=一f(-x)的图象关 的对称轴为 ;若f(x十a)是奇函数， 于 对称 则函数f(x)图象的对称中心为 自我训练 2.若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a十x), 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 则函数的图象关于直线x=a对称： “/”或“X”) 若函数y=f(x)满足f(a一x)=一f(a十x), (1)若函数y=f(x)是奇函数，则函数y= 则函数的图象关于点 对称 f(x一1)的图象关于点(1,0)对称.() 27