第5节 基本不等式的综合应用-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

即时训练(1)C“0<<之： 即时训练(1)D因为m>0,n>0且m 法二：由x十y-2xy=0,得r十y=2xy, 十n=2, .1-2x>0, 所以号+=2， 所以+-m+m(+) 1 r1-2)=号×2x1-2)<7× 则+y=安+w(+） =(+++) 2 =(传++2) 当且仅当2=1-2红时，中x=十时等 (6+2√只0) ≥(+2) 号成立， 4 周此，函教y=r1-2).(0<<)的 当且仅当公一知单m=台=子时， 等号成立 x+y-2xy=0, 最大值为g,故选C (2)C因为2a+b=2. 中时专成山 (2)C因为正数x,y满足x+2y=2, 所以(4a一1)十(2h-1)=2, (2)ADx+2y=1≥22√y,即xy≤ 所以w-…2)号(4) 刚十点 (方)广-号（售县收多=立时 -2' =号(4a-1)+(20-1刀 取等号），故A正确： 当且仪当x=2y,即x=1,y= 时取 ·(高+) 当=y号时>故 54 等号， =(0+号+2)≥2. B错误： 所以y的莱大值为 当且仅当治二物号 +-x+2(}+5）)-3+ r y 例3](1)B图为2a十b-9ab=0,变形 +工≥3+22 即a=号6=1时，等号咸立 y a+2w(+号) (当且仅当r=反-1，y=2,里时取 例4](1)A因为a>0,b>0,所以a十b 2 由题念a十2b= 9 ≥2√ah,当且仅当a=b时，等号成立. 等号），故C错接： 5+兽+，=1收碧 又ab=a十b十3，所以ub=a十b十3≥ r2+y2=(1-2y)2+y2=5y2-4y+1= 9 9 2√ab+3,整理可得ab-2ab-3≥0. 5(-号)广+=y=号时 =,单a=6=言时，等号成立，故 解得√ab≥3成ab≤-1（合去）. 逃B. 所以√ab≥3，所以ab≥9.所以当a=h= 十y取最小值写，故D正确。 延伸探究 3时，ah的最小值为9. 第五节基本不等式的综合应用 答案72 延伸探究 解析，8a十4b=ab,a>0,b>0. 答案6 研磨·高考题型 8+日=1 解析因为&>0，b>0,所以a十b≥ [例1](1)C对于A,因为√+5>0， 所以√2+5+ a+6=(8a+o(受+) 2a6,当且仅当a=b时，等号成立 √2+5 又ab=a+b+3,所以ab=a十b十3 -0++0≥2·+0 (生宁)，装理可得a+6-4a十0 +5.1 =2, b +5 a =72, -12≥0， 当且仅当VF+5=1 √F2+ 当且仅当64-地，脚a=6,b=24时取 b 解得a+6≥6或a十b≤-2（舍去） 即2=一4，故等号不成立，故A不 等号， 所以当a=b=3时，a十b的最小值为6. 特合： (2)A周为非负实数a,b满足a十b=1, （2A实载0,6满足+号=V瓜 对于B,因为x2+2>0,所以2十2十 所以(a+1)+(b十2)=4， a 1 2+222√（+2)·+2-2当且 所以[(a+1)+(6+2]-1 >0,6>0,且v而≥2√日·名，解 仅当.2+2= 十2即2=-1，故等号 1 所以中十 得ab≥2√2. 不成立，故B不符合： 1 2 =[a+1+(+2](ah+十) 当且仅当口6'即4=2,6=2恒 对于C,周为>0，所以2+≥ =(2+告+) ab=2/2, 时取等号.则ab的最小值为2②. 22…-2当且仅当2-亭即 ≥(++)- 即时调练(1)D法一：由x十y一2ry T=士1时取等号，故C符合： 对于D,因为|x|+3>0,所以|x|+3 b+2_a+1 =0,得x+y=2xy 、当且仅当+干2'即公-0时 ”时取 又>0>0≤（安）， +Tx+3≥2√1x+3)·T+ a+b=1, 等号， 所以+红士 -2,当且仅当+3-十3即 1 2 ,解得1+y≥2， 熔上，有十2的漫小值为1. |x|=一2，赦等号不成立，故D不特合. 当且仅当r=y=1时，等号成立， 故选C, 448 (2)C根据图形，利用射影定理得 即时训练D因为a,b∈(0，十∞)，由 CDP=DE·(OD, 第六节一元二次方程、不等式 又0D-AB-生，cD=AC.CB 已知可得A<(a+b)(日+合)： 夯实·必备知识 4a 知识整合 =ab, 周为（日+）a+6)= +5 4 b 片以DE-器-当 1.{x<x1或x>x2 2.(1)f(x)g(x)>0(<0)(2)f(x)g(x) 2 ≥0(0)且g(x)≠0 由于OD≥CD, 时等号成立， 3.(-o,-a)U(a,十∞)（-aa） 所以生>a>0.6>0 故实数A的取值范围为（一∞，9]，故 自我训练 选D. 1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.R 由于CD≥DE, [例3]解(1)每套会撒及吉祥物售价为 3.(-3,0]4.(-0,-6]U[1,+∞) 2 (a>0,b>0). 所以>。干一1十方 100元时，销售量为15一0.1×100=5 研磨·高考题型 a (万套)， [例1门ABD因为方程x2+x-2=0的 解为x1=1,2=一2，所以不等式x2十x 即时训练 (1)C 由图知：OC=号AB 供货单价为50+ 10=52(元)： 一2>0的解集为{x|x<-2或x>1 -空，oD-1B-BD1-- 总利润为5×(100-52)=240（万元）. 故A正确： 2 所以能茨得的总利胸为240万元， 因为告-1长0，脚号<0，即十 (2)每套会撒及吉祥物售价为x元时，销 3)(x-2)≤0(x-2≠0)，解得-3≤x 在R1△OCD中，CD=√OC+OD 售量为(15一0.1x)万套，供货单价为 2,所以不等式的解集为{x一3≤r<2, a2+ (60+68正)无 故B正确： 由|x-2引≥1，可得x一2≤一1或x一2 所以0<0D.即≤√ la+ 10 2 单套利润为x一50一15-0.=1一50 ≥1， 解得r≤1或x≥3，所以不等式的解集为 (a>0,b>0),故遍C 100 《xx≤1或r≥3)，枚C错误： 150-x (2)BC因为ab>0,故当a<0,b<0时， 由x一1<1，可得一1<x一1<1，解得 不等式“时≥√a不成立，故A不正确： 周为15-0.1x>0,所以0<x<150. 2 所以单套利润为 0<<2,由<0，可得-4长<5 由重卖不等式得b“”性成主，当 100 y=x-50-150- 因此.“红一<1”美“<0”的充分 且仅当@=b时，等号成立，故B正确： 不必要条件，故D正确， 为a>0,所以云>0.>0，则十 (150-x)+ 1001+100 150-xJ [例2]解(1)由已知得f(1)=1-a 100 24<0. >2√后·=2，当且当a=b时， b ≤100-2√/(150-x)·150-x =80. 即(a+1)(2a-1)>0, 等号成立，故C正确： 当且收当150一x=10,即x=140时取等 解得a<-1或> 因为a2十≥2ab,所以(a+b)2≥4ab, 号 所以实数a的取值范圆为（一0，一1） 当a<0,b<0时满足ab>0.但a+h<0, 所以每套会暇及吉科物售价为10元 此时a十bs2ab ?Sa6故D不正晓 时，单套的利润最大，最大位是80元 U(分+e): 即时训练解(1)设每件定价为1元， (2)fx)=x2-ar-2a2=(x-2a)(x+ [例2]DA周为E>0,y>0,且2+ 依题意得(8-二5×0,2）≥25×8 a)>0. =1 令f(x)=0,得x1=2a,rg=一a: y 整理得2-651+1000≤0， 当2a<-a,即a<0时，解得.x<2a或x 所以2x+y-(2+(+）-5 解得25≤1≤40. >-a ,要使销售的总收入不低于原收入，该 当2a=-a,即a=0时，解得1≠0， +>5+名·= 商品每件定价最多为40元： 当2a>一a,即a>0时，解得x<一a或 (2)依题意知，当x>25时， x>2a. 当且仪当2-丝，且2+=1，即x= 编上所述，当a<0时， y y 不等我ar≥25×8+50+专(x2-60) 解集为(-∞，2a)U(-a,+o∞)： y=3时取等号，此时2x十y取得最小 当a=0时，解集为（一oo,0)U(0,十oo): 位9， 十后有解 当a>0时，解集为（一co,一a)U 若2x+y<m2-8m有解，则9<m2 等价于当x>25时，a≥150+ (2a.+oo). 8m,解得m>9或m<-1, 即时训练解(1)Vx∈R,f(x)≥一2 即实数m的取值范围为（一©，一1）U 6 有解， 恒成立等价于Hx∈R,ax2+(1一a)x+ (9,十∞). (2)C令x)=+3r+1 a≥0， 当a=0时，x≥0，对一切实数r不恒成 由题意可得a≤f(r)min· 立，则a≠0， 当x=30时，等号成立)， a≥10.2. r +3=5, 此时必有>0， △=(1-a)2-4a20. ·当该商品改革后的销售量《至少应达 当且仅当一子即一1时等号成立 a>0, 到10,2万件时，才可能使改革后的销售 即 3a2+2a-1≥0 解得a≥3 a≤f（x）mn=5, 敢入不低于原收入与总投入之和，此时 所以实数a的取值花国为（一o,5]. 该商品的每件定价为30元： 所以实载a的取值范国[十) -449第一章集合与常用逻辑用语、不等式 第五节 基本不等式的综合应用 [课标要求]1.掌握基本不等式及其常见变形.2.会求与基本不等式有关的恒成立问题.3.理解 基本不等式在实际问题中的应用. 研磨·高考题型 》 ■ 题型一基本不等式的常见变形应用 [尝试解答] [例1](1)下列不等式中等号可以取到的是 ( A.x+5+ -≥2 2+5 1 B+2++2≥2 [思维升华] Cr+>2 基本不等式的常见变形 D1+3+≥2 a< (2) 2 a+6 (2)《几何原本》中的几何代数法是以几何法 a 1+ ≤ab≤a+bs 2 研究代数问题，这种方法是后西方数学家处 a'b 理问题的重要依据，通过这一原理，很多的 0,b>0). 代数公理或定理都能够通过图形实现证明， [即时训练] 也称为无字证明.现有图形如图所示，C为 (1)(2025·辽宁联考)数学命题的证明方式 线段AB上的点，且AC=a,BC=b,O为 有很多种.利用图形证明就是一种方式.现 AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C 有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC 作AB的垂线交半圆于D,连接OD,AD, 中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边 BD,过点C作OD的垂线，垂足为E,则该 AB上异于顶点的一个动点，设AD=a, 图形可以完成的无字证明为 BD=b,用该图形能证明的不等式为() A生a>0,6>0 A安a>0.6>0 B.a2+b>≥2ab(a>0,b>0) (a>0,b>0) 2 B.2ab≤Vab(a>0,b>0) C.Jab≥ a+b 1+1 a2+b2 C.2°≤2(a>0,b>0) D.a+i≥a(a>0.b>0) 22 D.a2+b≥2ab(a>0,b>0) 13 金榜题名创新高考总复习数学 (2)(多选)已知a,b∈R,且ab>0,则下列不 题型三基本不等式的实际应用 等式一定成立的是 [例3]第19届亚运会于2023年9月在杭州 A生画 B.aba'tb 举办，某公益团队联系组委会举办一场纪念 品展销会，并将所获利润全部用于社区体育 c.+g≥2 D.2abatb 设施建设.据市场调查，当每套纪念品（一个 a b a+b 2 题型二与基本不等式有关的恒（能）成立 会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售 量可达到(15一0.1x)万套.为配合这个活 问题 动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货 [例2](1)已知x>0,y>0,且2+1=1，若 y 价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中 2x十y<n2一8n有解，则实数m的取值范 固定价格为50元，浮动价格（单位：元）与销 围为 售量（单位：万套）成反比，比例系数为10. A.(-∞，-1)U(9,十∞) 约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利 B.(-∞，-1]U[9,+∞) 润=售价一供货价格。 C.(-9,-1) D.[-9,1] (2)若对于任意的x>0,不等式。+3x+1 ≥a恒成立，则实数a的取值范围为( (1)每套会徽及吉样物售价为100元时，能 A.[5,十∞) B.(5,+o∞) 获得的总利润是多少万元？ C.(-∞，5] D.(-oo,5) (2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单 [尝试解答] 套的利润最大？最大值是多少元？ [尝试解答] [思维升华] Vx∈M,使得f(x)≥a,等价于f(x)mn a; Vx∈M,使得f(x)≤a,等价于f(x)mx a. ]x∈M,使得f(x)≥a,等价于f(x)mx ]x∈M,使得f(x)≤a,等价于f(x)mm d. [即时训练] [思维升华] 已知a,bE0,十o).若后+青>。产6恒成 利用基本不等式求解实际问题时，要根 立，则实数入的取值范围为 ( 据实际问題设出变量，注意变量应满足实际 A.λ≥5 B.1>9 意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模 C.λ≤5 D.A≤9 型，再利用基本不等式求得函数的最值、 14 第一章集合与常用逻辑用语、不等式 [即时训练] 费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问： 第31届世界大学生夏季运动会于2023年7 月28日至8月8日在四川成都举行，某公 当该商品改革后的销售量a至少应达到多 司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗 少万件时，才可能使改革后的销售收入不低 下的某商品进行一次评估.该商品原来每件 于原收入与总投人之和？并求出此时商品 售价为25元，年销售8万件. 的每件定价 (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量 将相应减少2000件，要使销售的总收入不 低于原收入，该商品每件定价最多为多 少元？ (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响 力，提高年销售量，公司决定立即对该商品 进行全面技术革新和营销策略改革，并提高 定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元 作为技改费用，投入50万元作为固定宣传 请完成课时作业（五） 第六节一元二次方程、不等式 [课标要求]1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次 方程的根的个数以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法. 夯实·必备知识 知识整合 2.分式不等式与整式不等式 1.二次函数y=ax2十b.x十c(a>0)与一元二 (1)f>0(<0)台 g(x) 次方程ax2十b.x十c=0(a>0),不等式a.x 十bx十c>0(a>0)的解的对应关系 (2g≥t≤0 方程的判别式 3.简单的绝对值不等式 △>0 4=0 △<0 △=b2-4ac x|>a(a>0)的解集为 |x<a(a>0)的解集为 二次函数 【常用结论】 的图象 1.一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式a.x2+bx+c>0(a≠0)，x∈R恒 成立台a>0且△<0； 有两个不相 有两个相等 等的实数根 (2)不等式ax2+bx十c<0(a≠0)，x∈R恒 方程的根 的实数根x 没有实数根 r1·r2(x1 成立台a<0且△<0： x2) 2a (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先 考虑a=0的情形. 不等式的解集 x≠ b 2.对于不等式ax2十bx十c>0,求解时不要忘 记a=0时的情形. 15